2.19. Определение скоростей точек тела с помощью мгновенного центра скоростей

Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек при плоскопараллельном движении тела основан на понятии мгновенного центра скоростей.

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка сечения S тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Легко убедиться в том, что если тело движется не поступательно, то такая точка в каждый момент времени существует и притом единственная.

П

Рис. 2.32

усть заданы скоростиV_A и V_B двух точек А и В тела. Тогда точка Р, лежащая на пересечении перпендикуляров к соответствующим векторам V_A и V_B будет мгновенным центром скоростей, так как V_Р = 0 (рис. 2.32).

Таким образом, в каждый момент времени плоскопараллельное движение тела можно представить как вращательное относительно оси, проходящей через МЦС. Исходя из этого, имеем:

V_A = ω·AP; V_{A ┴} AP; V_B = ω·BP; V_{B ┴} BP,

где ω – модуль угловой скорости тела.

Отсюда следует V_A/AP = V_B/BP = ω, т. е. модули скоростей точек тела пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей.

Полученные результаты приводят к следующим выводам:

1. для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей V_A и V_B каких-нибудь двух точек А и В тела (или траектории этих точек). МЦС находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных в точках А и В к скоростям этих точек (или к касательным к траекториям);

2. для определения скорости любой точки тела надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь точки А тела и направление скорости другой его точки В. Тогда, восстановив из точек А и В перпендикуляры к V_A и V_B, определим МЦС (точку Р) и по направлению V_A найдем направление поворота тела. После того, зная V_A, найдем скорость V_В любой точки тела. Направлен вектор V_В перпендикулярно ВР (V_{В ┴} ВР) в сторону поворота тела;

3. модуль угловой скорости тела равен отношению модуля скорости какой-нибудь точки к её расстоянию до мгновенного центра скоростей: ω = V_A/АР = V_В/ВР = V_С/СР = ….

2.20. Различные случаи определения положения мгновенного центра скоростей

Случай 1

П

Рис. 2.33

усть известен вектор скоростиV_A точки А и линия действия вектора скорости V_В точки В (рис. 2.33).

Восстановив перпендикуляры к скоростям в точках А и В, определим положение МЦС (точка Р) и направление вращения тела. Тогда: V_A = ω·АР; ω = V_A/АР; V_В = ω·ВР; V_С = ω·СР; V_{A ┴} АР; V_{В ┴} ВР; V_{С ┴} СР, где ω – модуль угловой скорости тела.

В такой последовательности можно определить скорость любой точки тела.

На рис. 2.34 – 2.36 представлены другие случаи графического определения МЦС.

Порядок определения МЦС для случаев 2, 3, 4 не требует особых комментариев. Все формулы, полученные для первого случая, остаются справедливыми и для остальных случаев.

Рис. 2.34

Рис. 2.35

Р

Рис. 2.36

ассматривается особый случай плоскопараллельного движения, при котором скорости точекV_A и V_В параллельны (рис. 2.37).

Рис. 2.37

Если скорости точек А и В параллельны, то мгновенный центр скоростей находится в бесконечности (АР = ; ВР =и т. д.). Очевидно, что в этом случае ω =V_A/AP = V_A/= 0. Поэтому скорости точек плоской фигуры в рассматриваемый момент времени геометрически равны:V_A = V_B = V_C =…

Следует отметить, что при поступательном движении плоской фигуры скорости всех её точек в каждый момент времени также геометрически равны и мгновенный центр скоростей этой фигуры находится в бесконечности. Если условие V_A = V_B = V_C = …остается справедливым в течение некоторого промежутка времени, а не только в отдельный момент, то движение плоской фигуры является поступательным. Если же V_A = V_B = V_C только в некоторый момент времени, то утверждать, что плоская фигура движется поступательно, нельзя. В этом случае говорят, что движение тела является мгновенно поступательным. При мгновенно поступательном движении происходит смена направлений вращения, при этом углов

Рис. 2.38

ая скорость= 0, а угловое ускорение ≠ 0 (рис. 2.38).

График зависимости =f(t) разбит на две зоны. В зоне I тело вращается по ходу часовой стрелки, а в зоне II – против хода часовой стрелки. При мгновенно поступательном движении = 0, = tg(β) ≠ 0.