1.21.2. Аналитический и графический способы вырезания узлов

При использовании способа вырезания узлов вырезают узел фермы и прикладывают к нему: активные силы; реакции внешних связей; реакции стержней и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к узлу фермы. Так как в начале расчёта фермы неизвестно какие из стержней растянуты и какие сжаты, то условно принимается, что все стержни растянуты (т. е. реакции стержней направлены от узлов). Если в результате вычислений получают ответ со знаком минус, то соответствующий стержень сжат. Найденные реакции стержней равны по модулю внутренним усилиям в стержнях. Последовательность вырезания узлов определяется условием, что число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать число уравнений равновесия сил (двух для плоской системы сил и трёх для пространственной).

Рассмотрим изображённую на рис. 1.52 плоскую ферму, загруженную сосредоточенными силами F₁, F₂, F₃.

Рис. 1.52

Дано: F₁ = 4 кН; F₂ = 9 кН; F₃ = 2 кН; b = 2 м; α = 30^о.

В этой ферме требуется определить реакции опор фермы, а также внутренние усилия S_i в стержнях способом вырезания узлов. Дополнительно требуется определить реакции S₇, S₈, S₉ в трёх стержнях фермы способом Риттера.

Решение.

А. Определение реакций ra, xb, yb внешних связей

Порядок решения задач статики приведён в подразделе 1.7 данного пособия. Рассматривается равновесие всей фермы как абсолютно твёрдого тела. Как правило, выбирается правая система отсчёта OXY. К ферме прикладываются активные силы F₁, F₂, F₃. Отбрасывается связь в точке А. Так как к шарнирно-неподвижной опоре в точке А присоединяется один стержень, который может быть или растянут или сжат, то линия действия реакции R_A направлена вдоль стержня. К шарнирно-неподвижной опоре в точке В подсоединяется три стержня, поэтому линия действия реакции R_B заранее неизвестна и, следовательно, эту реакцию раскладывают на её составляющие X_В, Y_В по координатным осям OX, OY.

Система внешних сил (F₁, F₂, F₃, R_A, X_B, Y_B), действующих на ферму, плоская произвольная, поэтому аналитические условия её равновесия выражаются тремя уравнениями:

Σ + Σ = 0 = – F₁ – R_A + X_B = 0; (1)

Σ + Σ = 0 = – F₂ – F₃ + Y_B = 0; (2)

Σ M_В(F_i^E) + Σ M_В(R_i^E) = 0 =

= F₁2·b·tg() – F₂2·b – F₃3·b + R_A3·b·tg() = 0. (3)

Решая эту систему уравнений, получим:

из уравнения (3)

=

= = 11,198 кН;

из уравнения (1) X_B = F₁ + R_A = 4 + 11,198 = 15,198 кН;

из уравнения (2) Y_B = F₂ + F₃ = 9 + 2 = 11,000 кН.

Если величины полученных проекций реакций на координатные оси системы отсчёта имеют знак плюс, то направление реакций внешних связей на чертеже показано правильно. При противоположном условии реакции направлены в другие стороны. Однако на чертеже исправления проводить не следует. В последующих расчётах значения реакций применяют с полученными знаками.

Б. Определение усилий в стержнях способом вырезания узлов

Вырезаем узел, где приложена активная сила F₃, и изображаем его на чертеже. Реакции S₁₁, S₁₂ растянутых стержней 11, 12 направлены от узла (рис. 1.53).

Система сил (F₃, S₁₁, S₁₂), действующая на узел, плоская сходящаяся. Аналитические условия равновесия такой системы сил выражаются системой уравнений:

Σ + Σ = 0 = – S₁₂ – S₁₁·cos(α) = 0; (1)

Σ + Σ = 0 = – F₃ + S₁₁·sin(α) = 0. (2)

Р

Рис. 1.53

ешая эту систему уравнений, получим:

из уравнения (2)

S₁₁ = F₃/sin(α) = 2/0,5 = 4,000 кН;

из уравнения (1)

S₁₂ = – S₁₁·cos(α) = – 4·0,866 = – 3,464 кН.

Так как значение S₁₁ > 0, а значение S₁₂ < 0, то стержень 11 растянут, а стержень 12 сжат.

Аналитический расчёт сразу же следует проверить графическим построением замкнутого силового многоугольника. Система сил (F₃, S₁₁, S₁₂) уравновешенная, поэтому силовой треугольник, построенный на силах F₃, S₁₁, S₁₂, должен быть замкнут. Силовой треугольник строится в выбранном масштабе (см. рис. 1.53). Построение начинается с известной силы F₃. На силовом многоугольнике определяется истинное направление реакций растянутых стержней.

Графическая проверка подтвердила, что стержень 11 растянут, а стержень 12 сжат.

Графическую проверку рекомендуется выполнять сразу же после аналитических расчётов, так как этим устраняются ошибки в последующих расчётах.

Т

Рис. 1.54

ак как теперь известны реакцииS₁₁, S₁₂ растянутых стержней, то вырезается следующий узел, к которому приложена активная сила F₂ (рис. 1.54).

Вырезанный узел находится в равновесии под действием сходящейся системы сил (F₂, S₁₂, S₁₀, S₉). Необходимо ещё раз отметить, что реакции растянутых стержней направляются от узла. Аналитические условия равновесия вырезанного узла выражаются системой уравнений:

Σ + Σ = 0 = – S₉ + S₁₂ = 0; (1)

Σ + Σ = 0 = – F₂ + S₁₀ = 0. (2)

Из уравнения (1) S₉ = S₁₂ = – 3, 464 кН < 0;

из уравнения (2) S₁₀ = F₂ = 9,000 кН > 0.

Таким образом, стержень 9 сжат, а стержень 10 растянут. Этот расчёт проверяется графическим построением силового многоугольника (см. рис. 1.54).

Необходимо отметить, что построение силового многоугольника начинают с известных сил F₂ и S₁₂, а точка пересечения линий действия реакций S₉, S₁₀ определит их направление и модуль. При этом если известно, что стержень сжат (стержень 12), то его реакцию (S₁₂) направляют к узлу.

Графическое построение подтвердило правильность проведенных расчётов.

Определение остальных реакций S_i растянутых стержней проводится аналогичным способом. Результаты вычислений сводятся в таблицу.

Таблица

Реакции внешних связей			Реакции растянутых стержней
RA, кН	XB, кН	YB, кН	S1, кН		Si, кН		S10, кН	S11, кН	S12, кН
11,198	15,198	11,000					9,000	4,000	–3,464

Усилия в отдельных стержнях загруженной фермы могут оказаться нулевыми. Такие стержни принято называть нулевыми.

Рассмотрим леммы, пользуясь которыми можно определить нулевые стержни плоской фермы, не производя её расчета.

Л

Рис. 1.55

емма 1. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся два стержня, то усилия в этих стержнях равны нулю (рис. 1.55).

Лемма 2. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся три стержня, из которых два расположены на одной прямой, то усилие в третьем стержне равно нулю. Усилия в первых стержнях равны между собой (рис. 1.56).

Л

Рис. 1.56

емма3. Если в узле плоской фермы сходятся два стержня и к узлу приложена внешняя сила, линия действия которой совпадает с осью одного из стержней, то усилие в этом стержне равно по модулю приложенной внешней силе, а усилие в другом стержне равно нулю (рис. 1.57).

Рис. 1.57