14.2 Динамикалық детерминерленген модельдер

Бір өлшемді жағдайда кірістегі x = x(t) және шығыстағы y = y(t) арасындағы байланыс қарапайым дифференциалды теңдеумен көрсетіледі

мұнда(14.5)

бастапқы dⁱy(0)/dtⁱ, i = 0,1,…, n-1 шарттарымен   бірге.

Модель (p+l+1) параметрлерімен c= (a₀,…,a_p-1,b₀,…,b_l) анықталады.

Кірістегі және шығыстағы сигналдары дискретті түрде берілген болса, объект динамикасын сипаттау үшін дифференциалды теңдеулер орнына айырымдық теңдеулер қолданылады. Кірістегі және шығыстағы сигналдары дискретті мәндерін x_k-I = x[(k-j)] және y_k-j = y[(k-j)] деп белгілеп,                                      айырымдық теңдеуді (дифференциалды теңдеудің аналогы) келесі түрде жазамыз

                      (14.6)

Сонымен бірге бастапқы шарттарды да орнату қажет.

Модельдің құрылымдық параметрлері p және l болып табылады, олар құрылымдық идентификациялау процесінде таңдалынады.

         (14.5) модельді жиі жағдайда дифференциалдық теңдеулер жүйесі ретінде көрсеткен ыңғайлы.  y₁ = y, y₂ = y⁽¹⁾, y₃ = y⁽²⁾. … , y_k = y^(k-1)белгілейік. Онда (14.1) жүйе түрінде келесідей жазылады

    (14.7)

(14.5) жүйесі (14.7) түрге келтіріледі, бірақ (14.7) жалпы жағдайда (14.5)-ке келтірілмейді.

Жалпы түрде

Онда жүйенің векторлық түрі  

Y = (y₁,…, y_p) – күй векторы, X’=(x, x⁽¹⁾, …, x^(l)) – әсерлер векторы, A –коэффициенттердің квадратты матрицасы, B – коэффициенттердің төртбұрышты матрицасы. Сонымен, идентификациялау процедурасын құру үшін бастапқы ақпарат болып идентификацияланатын модельдің (14.5) түрі және  [0,T] аралығындағы (X_t, Y_t)  бақылаулар болып табылады.

a_i, b_j параметрлерді анықтау керек. Жалпы кезде бақылаулар нәтижелерін (14.5) модель теңдеуіне қойғанда ол теңдеуде теңдік орындалмайды. Сонымен, (14.5) теңдеуінде оң жақ және сол жақтағы бөліктерінің айырмашылығы минималданатындай a_i, b_j мәндерін іздейміз.

         Сәйкессіздік функцияны келесідей құрастырамыз: (14.5) теңдеуге объекттің бақылаулары - X_t, Y_t функцияларын қойғанда, теңдеудің оң және сол жақ бөліктерінің айырмашылығының орта квадраты ретінде:

                      (14.8)         (14.8)-ді a_i мен b_j бойынша минимумдаймыз. Минимумдау нәтижесі – с* идентификацияланатын параметрлер мәні болып табылады.

         (14.8) функциясының барлық белгісіз параметрлері бойынша туындыларын тауып (функция тегіс болғандықтан), сызықты теңдеулер жүйесін аламыз, осы жүйенің шешімі минимумдау есебінің шешімі болады.

         Алынған жүйені стандартты есептеу әдістерімен шешуге болады. Бірақ жүйе коэффициенттерін есептеу үшін объекттің кірудегі x_t және шығудағы  y_t сигналдарының туындыларын білу керек. Егер де осы сигналдар аналитикалық түрде берілген болса, ешқандай қиыншылық жоқ. Кері туындыларды алу әдісін таңдау керек, бұл таңдау анықталған шарттардан тәуелді байланысты және есеп үшін бөлек анықталады:

1)     сандық дифференциалдауды қолдану, яғни туындылардың жуықтаған нүктелік бағаларын

         (14.9)

∆t - бағалаудың негізін орнататын интервал. Бұл әдістің екі кемшілігі бар. Біріншіден, туындылар бағаларының дәлдігі олардың реті жоғарыланғанмен бірге төмендейді. Практикада екінші реттен жоғары туындыларды жақсы бағалау мүмкін емес. Екіншіден, t=0 болғанда i-ші туындыны бағалау үшін функцияның t<0 интервалындағы мәндерін білу қажет, яғни z(-∆t), z(-2∆t), …, z(-i∆t). Бұл мәндер өлшеулерде жоқ, сондықтан (4)-те интегрелдау шектерін [0, T] емес, [i∆t, T] деп аламыз, мұнда i – максималды туындының нөмірі.

2) функцияны ρ(t) салмағымен тегістеу аппаратын қолдануға болады.

3) функцияны белгілі функциялар жүйесі бойынша қатарға жіктеуді қолдануға болады (тегістеу операциялар болғандықтан, туындыларды анықтаудың қателіктері аз болады).

         Идентификациялау есебінің шешімі болу үшін минимумдау есебін шешу нәтижесінде алынған жүйенің анықтауышы нөлге тең болмауы керек. Егер де осы шарт орындалмаса, объекттің кірістері мен шығыстарының басқа іске асыруларын қолдану қажет немесе модель ретін төмендету (идентификацияланатын параметрлер p және l санын азайту) керек. Бірінші амал мақсатқа жеткізбеуі мүмкін, ал екіншісі тізбектеліп қолданғанда түбінде мақсатқа жеткізеді.