13 Дәріс. Сызықты динамикалық объекттерді идентификациялау. Тура әдістері

 

Дәрістің мазмұны:

-   Арнайы түрлі сигналдар көмегімен идентификациялау.

 

Дәрістің мақсаты:

-    импульсті өтпелі функция және жиілік сипаттамалар көмегімен сызықты объектті идентификациялау әдістерін оқу.

 

13.1 Екінші ретті процестердің өтпелі функциясы көмегімен графикалық идентификациялау

         Екінші ретті объект келесі теңдеумен бейнеленеді

                                                                                (13.1)

Кірістегі әсер х = а. t>0  болғанда кірудегі әсер бірлік функция

x=a=1  болатын шартында T₁, T₂   және k-ны есептейік.

Алдындағыдай (бірінші ретті объект) басында теңдеудің жалпы шешімін жазамыз

                                                                           (13.2)

t=0 болғанда y=0,  осы бастапқы шарттары үшін интегралдау тұрақтыларын табамыз

Осыдан    

Сонда ізделінетін дербес шешім

                                            (13.3)

Осы өрнекке графиктің үш нүктесінің координаттарын қойып, ізделінетін шамаларға үш теңдеуді алуға болады. Бірақ бұл теңдеулер трансцендентті болғандықтан, шешімін табу оңай емес. Осы орайда бірінші ретті объектке қолданған әдісті пайдалануға болады.

 

13.2 Импульсті өтпелі функциясы көмегімен графикалық идентификациялау

         Импульсті өтпелі функциялары көмегімен сызықты жүйелерді идентификациялау процедурасы өтпелі функциямен идентификациялауға ұқсас. Осындай идентификациялау үшін идентификацияланатын жүйе кірісіне импульсті әсерді (делта-функцияны) беру керек. Сондықтан идентификациялау басқару процесінен тыс орындалады.

Бірлік импульс үшін Лаплас түрлендіруі бірге тең: X(s) = 1. Сонда шығудағы сигнал үшін Лаплас түрлендіруі Y(s) = W(s) және Y(t) = L^-1[Y(s)] = L^-1[W(s)]= g(t). Басқа сөзбен айтқанда, сызықты жүйе үшін импульсті өтпелі функциясы оның беріліс функциясының кері Лаплас түрлендіруіне сәйкес. Бұл нәтиже идентификациялау үшін өте маңызды.

Бірінші ретті жүйелер келесі беріліс функциясымен сипатталады

Онда импульсты өтпелі функция келесі түрде жазылады

.                                                                     (13.4)

T және K параметрлері графиктен анықталады:

бастапқы нүктеде  , ал g(t) функциясы  мәніне жететін уақыт T-ға тең:

.                                                             (13.5)

Т тұрақтысын келесі жолмен де табуға болады: g(t) графигінің басынан жанаманы өткізіп, оның уақыт осімен қиылысқан нүктесін аламыз, себебі  теңдеуіне сәйкес келесіні жазуға болады       және    t = T  болғанда келесіні аламыз   ( жанама теңдеуінен)

Практика жүзінде жүйенің кіріс сигналы импульске жуықтау болады және g(t) ешқашанда  шамасынан басталмайды. Бұл жағдайда t=0 аймағындағы максималды  еңкею t=0 шамасының кері бағытынан  шамасына жететіндей жалғастырылады.

 

13.3 Жиілік сипаттама көмегімен идентификациялау

Реттеу жүйелерді анализдеу және синтездеу үшін жиілік сипаттамалар кең қолданылады. Бірақ оларды объект теңдеулерін анықтауға да пайдалануға  болады. Жиілік әдіс амплитуда-фазалық сипаттамаларды қолданады. Жиілік сипаттама көмегімен идентификациялау синустық немесе жиіліктері қарастырылып отырған интервалда өзгеретін синустық сигналдарды жуықтайтын сигналдарды қолдануда негізделген.

Бұл әдістердің көп артықшылықтары бар: гармоникалық кіріс сигналдары өлшеулердің әртүрлі нүктелерінде ортогоналды болып табылады, сондықтан жиілік сипаттамалардың әр нүктесі басқалардан тәуелсіз анықталады; осы жағдайға байланысты әдістің үлкен дәлдігі бар; өңдеудің қарапайымдылығы; өлшеулерді бекітілген жүйеде орындауға болады; бөгеттер әсерлерінің төмен деңгейлері.

Кемшіліктері: күрделілігі және төменгі жиілікте өлшеу жүргізу үшін құрылғылардың көп мөлшерде болуы; өлшеу уақытының үлкен болуы; сигналдарды түрлендірудің қажеттілігі; өлшеу шарттары және зерттелетін объекттің параметрлері бақылау кезінде өзгеріп кетуі.

Фурье түрлендіруін қолданғанда кірістегі және шығыстағы сигналдар келесідей байланысады:

                            Y(jω) = W(jω)·X(jω),

мұндағы W(jω) – ω жиілігіндегі жүйенің беріліс функциясы. Бұл комплексті шама

W(jω) = α(ω) + j·β(ω);

│W(jω)│= ;

φ(ω) = arg[W(jω)]= 

         Егер де объект кірісіне синустық A₀sin(ωt)  әсер берілсе, онда тұрақтанған шығудағы сигналдың өлшенген мәні келесідей болады

y(t) = A₁sin[ωt + φ(ω)] + n(t),

мұнда n(t)  - өлшеу қателігі, =│W(jω)│, φ = Arg[W(jω)].

W(jω) жиілік сипаттаманы анықтау үшін әртүрлі ω жиіліктерде A₀sin(ωt) синусоидалды кіріс сигналдар беріліп, оларға сәйкес шығудағы A₁sin[ωt + φ.сигналдар жазылады. Қажетті жиілік сипаттаманы алу үшін A₁/A₀ және φ шамалары қарастырып отырған ω әр мәні үшін анықталады. Басқа сөзбен айтқанда кірудегі және шығудағы сигналдардың жазулары бойынша ω_i жиіліктегі амплитудалардың қатынастары қарастырылып, |W(jω_i)| анықталады. Фазалық φ(ω_i)ығысуды  x(t) және y(t) қисықтардың максимумдарын салыстырып табады. Алынған жиілік сипаттамалар объекттің теңдеуін анықтауға мүмкіндік береді.

Объектті идентификациялау процедурасын мысалда қарастырайық. Тәжірибеден алынған жиілік сипаттамалар негізінде жүйенің беріліс функциясын анықтаймыз. Тәжірибелерді өткізіп, кірудегі және шығудағы сигналдарды өлшеп, содан кейін жоғарыда айтылғандай объекттің амплитудалық  А(ω)  және фазалық φ(ω) сипаттамаларын анықтап, жиіліктің қарастырып отырған әр мәні үшін келесіні жаза аламыз

         P(ω_i) = A(ω_i)·cosφ(ω_i),

Q(ω_i) = A(ω_i)·sinφ(ω_i)

Модельдің құрылымдық параметрлері (бұл арада теңдеу реті) құрылымдық идентификациялау қадамында анықталатынын еске салайық. Теңдеудің белгілі ретін (болжанатын) алайық. Анық болуы үшін объект үшінші ретті деп есептейік. Онда

                                                         (13.6)

Беріліс функцияның коэффициенттерін анықтау керек. Алмастырып, беріліс функцияны оның нақты және жорамал бөліктерінің қосындысы ретінде жазамыз   

Осыдан

Комплексті өрнектердің нақты және жорамал бөліктерінің коэффициенттерін теңестіріп, келесіні аламыз

         

Бұл теңдеулер ω-ның барлық мәндері үшін орындалады.

Осы теңдеулерге жиіліктердің әртүрлі ω_i және оларға сәйкес P(ω_i), Q(ω_i) мәндерін қойып, беріліс функциясының белгісіз коэффициенттерін анықтауға алгебралық теңдеулер жүйесін аламыз. Тәжірибелік өлшеулерде, сонымен бірге осы өлшеулер негізінде есептелінген P(ω_i), Q(ω_i) функцияларында қателіктер бар болады, сондықтан есептелген коэффициенттері нақты коэффициенттері-мен сәйкес келмейді. Коэффициенттер мәндерін нақтылау үшін  есептеулер басқа жиіліктермен қайталанады және екі есептеулердің орта мәні алынады.

Егер де объект реті болжанатын реттен жоғары болса, қате есептеулердегі коэффициенттер мәні бірінші мәндерден көп өзгеше болады. Басқа сөзбен айтқанда, коэффициенттерде өте үлкен айырмашылық болса, объект реті төмен алынған (бұл айырмашылық тәжірибе қателігі емес).

Полигармоникалық кірістегі сигналдарды қолданғанда бөгеттерге тұрақтылық көбейеді. Кірістегі сигналдардың жиілік спектрі белгілі болғандықтан, кірудегі және шығудағы сигналдардың өлшеу нәтижелері негізінде барлық қажетті гармоникалар үшін Фурье коэффициенттерін табуға болады.