Економічні застосування

1. Застосування в динамічних процесах

.

1. Розглянемо задачу про обсяг продукції.

Нехай деяке підприємство (фірма) виробляє продукцію з інтенсивністю (продуктивністю праці) f = f ( t ). Знайдемо обсяг продукції q, виробленої за інтервал часу [0; T].

Очевидно, що інтенсивність виробництва продукції не змінюється ( f = f ( t ) = const ), то обсяг продукції q, виробленої за інтервал часу [0; T], обчислюється за формулою q = f T.

Визначений інтеграл чисельно дорівнює обсягу виробленої продукції підприємством (фірмою) з продуктивністю праці f = f ( t ) за інтервал часу [0; T].

2. В економічній теорії виробнича функція Кобба-Дугласа, яка враховує технічний прогрес, має вигляд

,

де К – обсяг фондів; L – обсяг трудових ресурсів; λ – інтенсивність розвитку виробництва, пов’язаного з технічним прогресом. Тоді, згідно з економічним змістом виробничої функції Кобба-Дугласа можна показати, що обсяг виробленої за Т років продукції визначається за формулою . (1)

Приклад. Знайдемо обсяг продукції, виробленої фірмою за два роки, якщо виробнича функція Кобба-Дугласа має вигляд f ( t ) = ( 1 + 2 t ) ∙ e ^{5 t}.

Розв’язання. За формулою (1) дістанемо

.

2. Обчислення середніх значень економічних функцій

В економічних задачах часто використовують теорему про середнє значення, яку ви розглядали, коли вивчали властивості визначених інтегралів.

Якщо С = С ( t ), R = R ( t ), P = P ( t ) – відповідно змінні витрати, доход прибуток підприємства (фірми), то їхні середні значення за час від t = t₀ до t = t₁ обчислюються за формулами:

, (2)

, (3)

(4)

відповідно.

Приклад. Знайти середній доход зо 10 міс. поточного року, якщо задано функцію доходу фірми , де t – час.

Розв’язання. За умовою середній доход фірми потрібно визначити за інтервал часу від 0 до 10. використовуємо формулу (3), маємо

.

Раніше ми розглядали різні граничні функції (граничний доход, граничні витрати, граничний прибуток). Також було показано, що граничні функції можна дістати з відповідних економічних функцій диференціюванням. Інтегрування дає змогу розв’язати обернену задачу: знайти дану економічну функцію за відповідною граничною функцією.

Якщо C ′ ( x ), R ′ ( x ), P ′ ( x ) - відповідно функції граничних витрат, доходу та прибутку підприємства (фірми), то при реалізації х одиниць товару (продукції) зміни витрат, доходу й прибутку зі збільшенням реалізації виробленої продукції від a до b одиниць обчислюються за формулами

; (5)

; (6)

. (7)

Якщо витрати на виготовлення одиниці продукції зростають за законом y = f ( x ), то фактичне зв’язування обігових коштів при цьому обчислюється за формулою

(8)

Умовне зв’язування обігових коштів (якщо всі витрати виплатити в перший день) C_yмов = t ∙ C, де t – тривалість циклу виробництва, а С – загальні витрати.

Коефіцієнт готовності одиниці продукції обчислюється за формулою

(9)

Приклад. Задано граничний прибуток фірми Р ′ ( х ) = 23,5-0,01х. Визначити зростання прибутку, якщо реалізація продукції збільшується з 1000 до 1500 одиниць.

Розв’язання. Зростання прибутку фірми знайдемо за формулою (7):

.

Відповідь Прибуток зросте на 5500 ум. од.