2. Визначення приросту капіталу за відомими інвестиціями

Розглянемо задачу визначення капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями (капіталовкладеннями). Чисті інвестиції – це загальні інвестиції, які надходять в економіку за певний інтервал часу (зазвичай за рік), із відрахуванням інвестицій на відшкодування основних фондів (витраченого капіталу). Таким чином, за одиницю часу капітал збільшується на обсяг чистих інвестицій.

Припустимо, що капітал K = K( t ) збільшується за одиницю часу t на обсяг чистих інвестицій I = I ( t ). Тоді чисті інвестиції – це похідна від капіталу за часом t, тобто I ( t ) = K′( t ).

Часто в економічних дослідженнях доводиться знаходити приріст капіталу за інтервал часу від t₁ до t₂, тобто ∆ K = K ( t₂ ) – K ( t₁ ). Оскільки K = K( t ) є первісною для функції I = I ( t ), то використовуючи формулу, яка пов’язує первісну з визначеним інтегралом, можна записати:

(10)

Приклад. За даними чистими інвестиціями I ( t )=50000 t обчислити приріст капіталу з першого по третій рік і визначити за скільки років приріст капіталу становитиме 2,5 млн. ум. грош. од.

Розв’язання. Приріст капіталу знаходимо за інтервал часу від t₁=1 до t₂=3. Використовуємо формулу (10)

.

За умовою задачі , звідси , .

Відповідь. Приріст капіталу складе 2,5 млн. ум. од. Через 10 років.

2. Оцінка ступеня нерівномірності розподілу доходів населення

Розглянемо функцію y = f ( x ), яка характеризує нерівномірний розподіл доходів населення, де у – частка сукупного доходу, яку одержує частина х населення. Графік цієї функції наз. кривою Лоренца (рис. ). Очевидно,що

0 ≤ f ( x ) ≤ x x [ 0, 1 ], і нерівномірність розподілу доходів тим вища, чим більша площа фігури ОАВ.

Тому як міру нерівномірності використовують коефіцієнт Джині k , який дорівнює відношенню площі фігури ОАВ до площі трикутника ОАС.

Приклад. За даними досліджень розподілу доходів населення деякої країни, крива Лоренца описується функцією , де у – частка сукупного доходу, яку одержує частина x населення. Обчислити коефіцієнт Джині.

Розв’язання. Коефіцієнт Джині обчислюється за формулою

, оскільки .

Тоді

.

Відповідь. Досить високе значення коефіцієнта Джині свідчить про суттєво нерівномірний розподіл доходів населення даної країни.

5. Застосування в фінансових задачах

За формулою (10)

обчислюють загальний вклад S_t через Т років, і – питома процентна ставка , р – процентна ставка на рік.

Задачу визначення початкового вкладу S₀ за умови, що відомий вклад S_t , одержаний через t років за річної процентної ставки р , називають дисконтуванням.

Повну дисконтну суму за час Т обчислюють за формулою

. (11)

Приклад. Визначити дисконтну суму за три роки за процентної ставки 8 %, якщо базові капіталовкладення становили 10 млн. грн., а очікуване зростання капіталу - 1 млн. грн.

Розвязання. Капіталовкладення задаються функцією, з формули для маємо

млн. грн.