Лекція 11 (Іванова Ю.І

Приклад. ( тема: вибір оптимального обсягу виробництва) Розглянемо задачу вибору оптимального обсягу виробництва фірмою, функцію прибутку якої можна змоделювати залежністю

Знайдемо похідну :

Перевіримо необхідні умови локального екстремуму. Прирівнюємо похідну до нуля : Тоді дістаємо

Щоб визначити, чи є обсяг випуску оптимальним для фірми, треба проаналізувати характер зміни знака похідної при переході через точку ( тобто перевірити достатні умови локального екстремуму): при маємо , і функція прибутку спадає; при маємо , і функція прибутку зростає.

Отже, в точці =4 функція прибутку набуває мінімального значення, і обсяг випуску не є оптимальним.

Яким же має бути оптимальний обсяг випуску фірми? Відповісти на це запитання дає змогу додаткове дослідження виробничих потужностей фірми. Якщо фірма не може виробляти за розглядуваний період більш як 8 одиниць продукції, то оптимальне рішення для неї – взагалі нічого не виробляти, а здавати в оренду приміщення або обладнання й одержувати доход. Якщо фірма може виробляти більш як 8 одиниць продукції, то оптимальним рішенням для неї буде випуск на межі своїх виробничих можливостей.

Приклад. ( тема: вибір оптимального обсягу виробництва) Фірма реалізує свою продукцію за ціною за одиницю, а витрати виробництва при цьому задаються кубічною залежністю Знайдемо оптимальний для фірми обсяг виробництва продукції й максимальний прибуток.

Позначимо обсяг продукції через . Запишемо функцію прибутку , де - доход від реалізації продукції.

У нашому випадкові

Знаходимо похідну функції прибутку:

Знаходимо критичні точки першого роду. Для цього прирівняємо похідну до нуля: Тоді , звідки

Отже, і , причому - сторонній розв’язок.

Знаходимо і визначаємо знак другої похідної при

Дістанемо при всіх .

Отже, при = прибуток буде максимальним. Знаходимо його:

3. Закон спадної ефективності

виробництва

Цей закон стверджує, що в разі збільшення одного з основних факторів виробництва, наприклад капітальних витрат k, приріст виробництва, починаючи з деякого значення k, є спадною функцією.

Інакше кажучи, обсяг випуску продукції u як функція від k описується графіком зі зміною характеру опуклості вниз на опуклість угору.

Характерний вигляд цієї функції:

Де a, b, c –відомі додатні числа (визначаються структурою організації виробництва); u_lim гранично можливий обсяг випуску продукції.

Обчислимо похідні функції:

Критична точка другого роду знаходиться з умови u′′ ( k )=0 звідки маємо

Графік функції змінює характер опуклості в точці перегину . До цієї точки збільшення капітальних витрат приводить до інтенсивного росту обсягу випуску продукції, а після цієї точки приріст обсягу продукції знижується, , тобто ефективність капіталовкладень витрат зменшується.

Таким чином, у стратегії капіталовкладень дуже важливим моментом є визначення критичного обсягу витрат, за перевищення якого додаткові витрати призводитимуть до дедалі меншої віддачі за даної структури виробництва. Знаючи цей прогноз, можна вдосконалювати й змінювати структуру організації виробництва, «поліпшуючи» показники у бік підвищення ефективності капіталовкладень.

4. Оптимізація оподаткування

підприємств

Розглянемо економічну ситуацію щодо дій уряду держави з оподаткування підприємств в фірм і визначимо, як пов’язані прибуток фірми та обсяг податків, що надходять державі за даної податкової ставки. Нехай ціна на продукцію p ( q ) = a – b q, a > 0, b > 0, тобто лінійно зменшується зі збільшенням обсягу готової продукції на ринку, а витрати C = C ( q ) залежать від обсягу продукції q таким чином: C ( q ) = c q² + d q + e, де a, b, c, d, e - деякі додатні числа. Нехай податок є акцизом зі ставкою t, тобто з кожної проданої одиниці товару держава одержує податок t, і податкова сума становить T = t q. Тоді фірма має прибуток

P ( q ) = p q – C ( q ) – T = q ( a – b q ) – c q² – d q – e – t q.

Для того щоб максимізувати прибуток, фірма шукає оптимальний обсяг виробництва. Обчислимо похідну функції прибутку:

P’( q ) = a – 2 b q – 2 c q – d – t = a – d – t – 2 q ( b + c )

Перевіримо необхідні умови екстремуму. Для цього прирівняємо до нуля похідну функції прибутку: P’ ( q ) = 0, 2 q ( b + c ) = a – d – t. Дістанемо критичну точку:

Оскільки P’’ ( q ) = - 2 ( b + c ) < 0, то згідно з достатніми умовами локального екстремуму q^* – справді точка максимуму.

Оскільки t > 0, то така податкова ставка призводить до зниження оптимального випуску продукції.

Для прогнозування дій уряду зі встановлення податкової ставки t обчислимо податковий доход держави:

,

Тобто в даній країні крива доходів держави є параболою, вітки якої напрямлені вниз .

Знайшовши похідну , визначимо критичні точки з умови T’ = 0, тобто 2 t = a – d,

Оскільки друга похідна , то максимум досягається при і становить

Оптимальний випуск продукції при цьому значенні t^* становить , і відповідний прибуток фірми .

Взагалі прибуток фірми за податкової ставки t ,

звідки випливає, що зі збільшенням податкової ставки t прибуток фірми зменшується, якщо 0 ≤ t ≤ a – d, і існує область значень податкової ставки при , в якій прибуток фірми від’ємний, хоча доходи держави додатні. Це відбувається тому, що за критерій вибору обсягу випуску було взято максимум прибутку фірми, але не було обумовлено, що цей максимум має бути додатним.

Якщо вважати, що при випуск продукції справді стане нульовим, то доход держави при також дорівнюватиме нулю. Тому зрозуміло, що вже біля відбувається різке скорочення ділової активності.

Приклад. Нехай t - податкова ставка. Відомі функція доходу R ( q ) = 16 q – q² і функція витрат C ( q ) = q² + 1 фірми. Визначимо, яким має бути податок t, щоб сумарний податок T з усієї продукції був найбільшим.

Запишемо функцію прибутку фірми P ( q ) = R ( q ) – C ( q ) – T. У нашому випадкові

P ( q ) = 16 q – q ² – q² – 1– t q= 16 q – 2 q² – t q – 1.

З’ясуємо, при якому значенні функція прибутку набуває максимального значення. Оскільки необхідна умова максимуму прибутку P’ ( q ) = 0, то P’ ( q ) = 16 – 4 q – t . Розв’яжемо рівняння 16 – 4 q – t =0, або 4 q =16– t . Отже, q ^* = 4 – t / 4 . Оскільки P’’ ( q ) = – 4 < 0, то q^* – точка максимуму. Отже, оптимальний обсяг q^*= q_опт.

Підставимо добуте значення обсягу продукції у вираз сумарного доходу:

І знайдемо умови, за яких T буде максимальним.

Обчислимо похідну: Знаходимо стаціонарні точки: T’ = 0. Дістанемо 4 – t / 2 = 0, t = 8. Тоді q^* = 4 – 8 / 4 = 4 – 2 = 2 .

Обчислимо максимальний прибуток фірми:

P_max = P ( q ) = 16 ∙2 – 2 ∙ 2² – 8 ∙2 – 1 = 32 – 8 – 16 – 1 = 7

Оптимальний з погляду податкового законодавства акцизний податок

T = 2 ∙ 8 = 16.

Цікаво порівняти ці цифри з цифрами в разі відсутності оподаткування. При t = 0 розв’язок задачі на знаходження максимуму функції прибутку дав би такі результати: q = 4, P_max = 31.

Отже, зменшення оподаткування стимулює збільшення випуску продукції й сприяє збільшенню прибутку від її реалізації. Зрозуміло, чому виробники докладають стільки зусиль, щоб знизити податкову ставку.

4