Лекція 10 (Іванова Ю.І

ТЕОРІЯ ОДНОРЕСУРСНОЇ ФІРМИ

Припустимо, що фірма виробляє один вид продукції в кількості , для чого використовується тільки один ресурс . Фірма цілком характеризується своєю виробничою функцією , що виражає залежність обсягу продукції, що випускається, від обсягу витраченого ресурсу .

Далі вважатимемо, що виробнича функція двічі диференційована й задовольняє дві умови.

Умова 1. В області визначення функції , яку називатимемо економічною областю , дана функція неспадна, тобто збільшення обсягу ресурсу не спричинює зменшення випуску продукції.

Математично це означає, що для двох довільних точок таких, що , виконується нерівність .

Отже, в області похідна невід’ємна, тобто Похідну називають граничним продуктом.

Умова 2. Існує підмножина економічної області така, що для всіх

Зупинимося на економічному змісті цих двох умов. Умова 1 стверджує, що виробнича функція – не якась абстрактна, вигадана математиком-теоретиком. Вона відображує економічно важливе й водночас тривіальне твердження: в розумній економіці збільшення витрат ресурсу не може спричинити зменшення випуску продукції.

Умову 2 в економіці називають законом спадної доходності: зі збільшенням обсягу ресурсу з деякого моменту (при вході в область )починає зменшуватися граничний продукт.

Розглянемо дії фірми. Нехай - ціна одиниці ресурсу, а - ціна одиниці продукції, що випускається. Отже, прибуток фірми є функцією від обсягу ресурсу ( і цін, але вони вважаються сталими). Тоді

Розглянемо задачу фірми: потрібно знайти максимальне значення прибутку – функції за умови, що , тобто

(1)

Обчислимо похідну функції та прирівняємо її до нуля:

Звідки (2)

Очевидно, що обсяг ресурсу додатний, а отже, точка , що задається формулою (2), є точкою екстремуму. Оскільки ми припустили, що то це точка максимуму.

Точку , яка визначається зі співвідношення (2), називають оптимальним розв’язком задачі фірми.

Розглянемо економічний зміст співвідношення (2). Нагадаємо, що - граничний продукт, а - це вартість граничного продукту, додатково виробленого з одиниці ресурсу. Але вартість одиниці ресурсу дорівнює , тобто дістаємо рівновагу: можна залучити у виробництво додаткову одиницю ресурсу, витративши на її закупівлю грош. од., але в результаті виграшу не буде, оскільки після переробки ресурсу й реалізації продукції одержимо стільки ж грошей, скільки витратили на придбання одиниці ресурсу. Отже, оптимальна точка, що задається співвідношенням (2), є точкою рівноваги: вже неможливо вижати з ресурсів більше, ніж витрачено на їх закупівлю.

Очевидно, нарощування випуску продукції фірмою відбувалося поступово: спочатку вартість граничного продукту була вищою за закупівельну ціну ресурсів, що потрібні для його виробництва. Нарощування обсягу виробництва триває доти, доки починає виконуватися співвідношення (2): рівність вартості граничного продукту та закупівельної ціни ресурсу, потрібного для його виробництва.

За певних умов, накладених на виробничу функцію, оптимальний розв’язок задачі фірми, що визначається співвідношенням (2), єдиний для всіх і .

Приклад. Обсяг видобування щебеня (т/год) залежить від кількості праці (людино-год): . Ціна щебеня – 40 грн./ т, заробітна плата робітника – 30 грн./ год. Крім заробітної плати, інші витрати не враховуються. Знайдемо оптимальну кількість праці (кількість робітників).

За кількості робітників прибуток фірми

Отже,

Знайдемо похідну функції прибутку:

Та стаціонарні точки з умови: тобто , звідки = 16.

Знайдемо другу похідну:

Та її значення в стаціонарній точці :

Тому - точка максимуму.

Прийняття оптимальних рішень в економічних дослідженнях

1.Оптимальні ціна, граничні витрати

та обсяг виробництва фірми

Нехай монополіст, знаючи (наприклад, із маркетингових досліджень) функцію попиту на свою продукцію, вирішує, скільки її виробляти й за якою ціною продавати. Якщо монополіст установить достатньо високу ціну, то споживачі за певний період придбають у нього не дуже багато продукції. Якщо він вироблятиме більше, то йому доведеться знизити ціну, аби продати всю продукцію за певний період часу. При цьому прибуток збільшиться за рахунок зростання обсягу продажу (доход) і водночас зменшиться через зменшення ціни (витрати). Результат залежатиме від того, що буде більше: доход чи витрати. Як же монополіст може визначити оптимальний обсяг випуску продукції? Для цього він має знати залежність прибутку (якщо враховувати витрати випуску) від обсягу продукції.

Нехай задано функцію доходу й функцію витрат фірми. Тоді функція її прибутку від випуску продукції має вигляд

Визначимо, за якого обсягу продукції прибуток фірми буде максимальним.

З теорії відомо, що задача визначення максимуму функції розв’язується за допомогою апарату диференціального числення.

2. Задача вибору фірмою

оптимального обсягу виробництва

Зазначену задачу розглянемо як приклад, з якого буде видно, наскільки важливе дослідження функцій для прийняття оптимальних рішень.

Аби одержати максимальний прибуток, фірма має випускати продукцію обсягом , так щоб значення було максимальним. Практично обсяг продукції , де - це верхня межа обсягу продукції, який може випускати фірма. Математично задача зводиться до знаходження максимуму функції прибутку на відрізку . Оскільки теоретично функція прибутку може досягати максимального значення й на кінцях проміжку при і , то обидві ці ситуації, коли фірма не випускає нічого або випускає продукцію на межі своїх виробничих можливостей , є крайніми. Зараз ми не розглядатимемо їх і припустимо, що функція прибутку досягає максимуму в точці Отже, нехай виконуються такі умови:

1. функції і визначені й диференційовні на відрізку ;

2. функція прибутку досягає максимуму в деякій точці і

У випадку, коли максимум прибутку , умова природно виконується, оскільки (немає випуску – немає доходу, немає доходу – немає прибутку).

Якщо виконуються обидві умови, то функція диференційована й на відрізку має максимум у точці Тоді за теоремою Ферма Оскільки , то в точці дістаємо рівність

(3)

Пригадавши, що похідна функції витрат виражає граничні витрати, а похідна - граничний доход, то, використовуючи цю термінологію, дістанемо базовий економічний принцип: оптимальний продуктивний рівень фірма досягає, коли граничний річний доход дорівнює граничним витратам.

У випадку, коли обсяг виробництва не впливає на ціну продукції , маємо , . Рівність (3) набирає вигляду

(4)

Приклад . Знайдемо оптимальний обсяг продукції фірми, якщо відомі ціна одиниці продукції p=15 грош. од. і функція витрат

Запишемо функцію прибутку фірми вразі виробництва одиниць продукції:

.

Очевидно, , якщо . Оскільки - неперервна функція, то на відрізку , у деякій точці , вона набуває свого найбільшого значення. Оскільки при , то - найбільше значення при будь-якому . Використовуючи рівність (4), дістанемо

.

Звідси

Оскільки фірма намагається одержати максимальний прибуток, то вона випускатиме дві одиниці продукції. Фактично ми з’ясували, що за ціни =15 грош. од. фірмі вигідно випускати для продажу дві одиниці продукції.

Оскільки річний доход і прибуток фірми залежать від її місця на ринку, то слід розглянути випадок монополії, коли фірма постачає повний обсяг продукції під реалізацію. В цій ситуації ціна визначається функцією попиту. Інакше кажучи, ціна товару, за якою споживачі купують його, залежить від попиту , де - стала. Якщо відома функція ціни , то функція прибутку , й необхідною умовою її максимуму є , яку можна записати у вигляді

. (5)

У кожному окремому випадкові рівність (5) можна використовувати для знаходження максимуму функції прибутку, але слід зауважити, що не всі критичні точки функції прибутку , де , є максимальними, оскільки умова (5) є необхідною, але не достатньою.

Розглянемо тепер загальніший випадок, коли ціна продукції є диференційованою функцією від обсягу випуску продукції .

Обчислимо похідну функції доходу фірми

Тоді рівність (3) запишемо у вигляді , звідки дістанемо рівняння для ціни (6)

Оскільки , то з рівності (6) випливає, що ціна не нижча від граничних витрат Насправді, якщо фірма займає суттєву частку ринку, то збільшення її випуску спричиняє насичення ринку й падіння ціни. В цьому разі і з рівності (6) випливає, що ціна більша за граничні витрати .

5