X/y . Уравнение есть уравнение кривой, а это отношение, целиком зависящее от

него и производное (выше - согласно одному лишь правилу) от него, есть,

напротив, линейное отношение, которому пропорциональны определенные линии; р

: 2у или а - х : у сами суть отношения прямых линий кривой, а именно

отношения координат и параметра; но этим мы еще ничего не узнали. Мы хотим

знать о других встречающихся в кривой линиях, что им присуще указанное

отношение, хотим найти равенство двух отношений. - Следовательно, вопрос,

во-вторых, состоит в том, какие прямые линии, определяемые природой кривой,

находятся в таком отношении? - Но это то, что уже ранее было известно, а

именно, что такое полученное указанным путем отношение есть отношение

ординаты к подкасательной. Древние нашли это остроумным геометрическим

способом; изобретатели же нового времени открыли лишь эмпирический способ,

как придать уравнению кривой такой вид, чтобы получилось то первое

отношение, о котором уже было известно, что оно равно отношению, содержащему

ту линию (здесь - подкасательную), которая подлежит определению. Отчасти это

придание уравнению желаемого вида было задумано и проведено методически -

дифференцирование, - отчасти же были изобретены воображаемые приращения

координат и воображаемый, образованный из этих приращений и такого же

приращения касательной характеристический треугольник, дабы

пропорциональность отношения, найденного путем понижения степени уравнения,

вместе с отношением ординаты и подкасательной была представлена не как нечто

эмпирически взятое лишь из давно знакомого, а как нечто доказанное. Однако

это давно знакомое оказывается вообще (а наиболее очевидно в указанной выше

форме правил) единственным поводом и соответственно единственным основанием

для допущения характеристического треугольника и указанной

пропорциональности.

Лагранж отбросил это подобие доказательности (Simulation) и вступил на

подлинно научный путь; его методу мы обязаны тем, что усмотрели, в чем дело,

так как он состоит в том, чтобы отделить друг от друга те два перехода,

которые следует сделать для решения задачи, и рассматривать и доказывать

каждую из этих сторон отдельно. Одна часть этого решения - при более

подробном изложении хода действия мы продолжаем пользоваться как примером

элементарной задачей нахождения подкасательной - теоретическая или общая

часть, а именно нахождение первой функции из данного уравнения кривой,

регулируется особо; эта часть дает некоторое линейное отношение,

следовательно, отношение прямых линий, встречающихся в системе определения

кривой. Другая часть решения состоит в нахождении тех линий в кривой,

которые находятся в указанном отношении. Это теперь осуществляется прямым

путем (Theorie des fonct. anal., p. II, ch. II), т. е. не прибегая к

характеристическому треугольнику, а именно к бесконечно малым дугам,

ординатам и абсциссам, и не давая им определений ау и dx, т. е. членов

указанного отношения, а также не устанавливая в то же время непосредственно

значения равенства этого отношения с самими ординатой и под-касательной.

Линия (равно как и точка) имеет свое определение лишь постольку, поскольку

она составляет сторону некоторого треугольника, и определение точки также

имеется лишь в треугольнике. Это, скажем мимоходом, основное положение

аналитической геометрии, которое приводит к координатам, или, чтб то же

самое, в механике к параллелограмму сил, именно поэтому совершенно не

нуждающемуся в больших усилиях доказать его. - Подкасательная теперь

принимается за сторону треугольника, другие стороны которого составляют

ордината и соотносящаяся с ней касательная. Последняя как прямая линия имеет

своим уравнением р - aq (прибавление + Ь бесполезно для определения и

делается лишь ради излюбленной всеобщности); определение отношения p/q есть

а, коэффициент величины q, который есть соответственная первая функция

уравнения, но который должен вообще рассматриваться лишь как а = p/q , т.

е., как сказано, как сущностное определение прямой линии, применяемой как

касательная к данной кривой. Далее, поскольку берется первая функция

уравнения кривой, она также определение некоторой прямой линии; далее, так

как р, одна координата первой прямой линии, и у, ордината кривой,

отождествляются, стало быть, точка, в которой указанная первая прямая линия,

принимаемая как касательная, соприкасается с кривой, есть также начальная

точка прямой линии, определяемой первой функцией кривой, то все дело в том,

чтобы показать, что эта вторая прямая линия совпадает с первой, т. е. есть

касательная, или, выражаясь алгебраически, показать, что так как у = fх и р

= fq, а теперь принимается, что у=р, стало быть, fx=fQ,, то и f`x=F'Q. Что

употребляемая как касательная прямая и та прямая линия, которая определена

из уравнения его первой функцией, совпадают, что вторая прямая есть,

следовательно, касательная, - это показывается с помощью приращения i

абсциссы и приращения ординаты, определяемого разложением функции. Здесь,

стало быть, также появляется пресловутое приращение; однако способ, каким

оно вводится для только что указанной цели, и разложение функции по этому

приращению следует отличать от упомянутого выше пользования приращением для

нахождения дифференциального уравнения и для характеристического

треугольника. Способ, каким оно применяется здесь, правомерен и необходим;

он входит в круг геометрии, так как геометрическое определение касательной,

как таковой, требует, чтобы между ней и кривой, с которой она имеет одну

общую точку, не могло быть другой прямой линии, также проходящей через эту

-точку. Ибо с принятием этого определения качество касательной или

не-касательной сводится к различию по величине, и касательной оказывается та

линия, на которую единственно с точки зрения важного здесь определения

приходится большая малость. Эта на первый взгляд лишь относительная малость

не содержит в себе ничего эмпирического, т. е. ничего зависящего от

определенного количества, как такового; она качественно положена природой

формулы, если различие момента, от которого зависит сравниваемая величина,

есть различие в степени; так как последнее сводится к i и i2 и так как i,

которое ведь в конце концов должно означать некоторое число, следует

представлять затем как дробь, то i2 само по себе меньше, чем i, так что само

представление, что i можно приписывать любую величину, здесь излишне и даже

неуместно. Именно поэтому доказательство большей малости не имеет ничего

общего с бесконечно малым, для которого, стало быть, вообще здесь нет места.

Я хочу здесь еще сказать о Декартовом методе касательных, хотя бы только

ради его красоты и ради ныне скорее забытой, но вполне заслуженной его

славы; впрочем, он имеет отношение и к природе уравнений, о которой мы

должны будем затем сделать еще одно замечание. Декарт излагает этот

самостоятельный метод, в котором искомое линейное определение также находят

из той же производной функции, в своей оказавшейся и в других отношениях

столь плодотворной геометрии (Oeuvres compl. ed. Cousin, torn V, liv. II, p.