1 (Единицей), потому что приращение всегда встречается в разложении только

как множитель, а множитель "единица" как раз и достигает той цели, чтобы

приращение не приводило к какой-либо качественной определенности и к

какому-либо количественному изменению, dx же, обремененное ложным

представлением о некоторой количественной разности, и другие знаки, как,

например, i, обремененные бесполезной здесь видимостью всеобщности, всегда

выглядят как определенное количество и его степени и притязают на то, чтобы

быть таковыми; это притязание приводит к стремлению, несмотря на это,

избавиться от них, отбросить их. Для сохранения формы ряда, развернутого по

степеням, можно было бы с таким же успехом присоединять обозначения

показателей как indices к единице. Но и помимо этого необходимо

абстрагироваться от ряда и от определения коэффициентов по месту, которое

они занимают в ряде: отношение между всеми ими одно и то же; вторая функция

- производная от первой, точно так же как первая - от первоначальной, и для

той, которая по счету вторая, первая производная функция есть в свою очередь

первоначальная.

По существу же своему интерес составляет не ряд, а единственно лишь

получающееся в результате разложения в ряд степенные определение в своем

отношении к непосредственной для него величине. Стало быть, вместо того

чтобы считать это определение коэффициентом первого члена разложения, было

бы предпочтительнее (так как каждый член обозначается как первый

относительно следующих за ним членов ряда, а такая степень в качестве

степени приращения, как и сам ряд, не относится сюда) употреблять простое

выражение "производная степенная функция", или, как мы сказали выше,

"функция возведения величины в степень", причем предполагается, что

известно, каким образом производная берется как заключенная внутри некоторой

степени разложения.

Но если в этой части анализа собственно математическое начало есть не что

иное, как нахождение функции, определенной через разложение в степенной ряд,

то возникает еще один вопрос:

что делать с полученным таким образом отношением, каково применение его и

пользование им, или [вопрос]: действительно, для какой цели ищут такие

функции? Дифференциальное исчисление вызвало к себе большой интерес именно

тем, что оно находило такие отношения в конкретных предметах, сводимых к

этим абстрактным аналитическим отношениям.

Но относительно применимости из самой природы сути вещей в силу вскрытого

выше характера моментов степени само собой вытекает прежде всего следующее,

еще до того, как будет сделан вывод из случаев применения. Разложение в ряд

степенных величин, посредством которого получаются функции их возведения в

степень, если абстрагироваться от более точного определения, отличается

прежде всего вообще тем, что величина понижается на одну степень. Такое

действие, следовательно, находит применение в таких предметах, в которых

также имеется такое различие степенных определений. Если будем иметь в виду

пространственную определенность, то найдем, что она содержит те три

измерения, которые мы, чтобы отличить их от абстрактных различий высоты,

длины и ширины, можем обозначить как конкретные измерения, а именно линию,

поверхность и тотальное пространство; а поскольку они берутся в их

простейших формах и в соотношении с самоопределением и, стало быть, с

аналитическими измерениями, то мы получаем прямую линию, плоскостную

поверхность (и ее же как квадрат) и куб. Прямая линия имеет эмпирическое

определенное количество, но с плоскостью появляется то, чтб обладает

качеством, степеннбе определение; более детальные видоизменения, например

то, что это происходит уже и с плоскими кривыми, мы можем оставить без

рассмотрения, поскольку здесь дело идет прежде всего о различии лишь в общем

виде. Тем самым возникает также потребность переходить от более высокого

степенного определения к низшему

Видимость случайности, представляемая дифференциальным исчислением в

разном его применении, упростилась бы уже пониманием природы сфер применения

и специфической потребности и условия этого применения. Но в самих этих

сферах важно далее знать, между какими частями предметов математической

задачи имеет место такое отношение, которое специфически полагается

дифференциальным исчислением. Пока что мы сразу должны заметить, что при

этом нужно принимать во внимание двоякого рода отношения. Действие понижения

степени уравнения, рассматриваемое со стороны производных функций его

переменных величин, дает результат, который в самом себе поистине есть уже

не уравнение, а отношение. Это отношение составляет предмет собственно

дифференциального исчисления. Но именно поэтому, во-вторых, здесь имеется

также отношение самогб более высокого степеннбго определения

(первоначального уравнения) к низшему (производной функции). Это второе

отношение мы должны оставить пока без внимания; впоследствии оно окажется

предметом, характерным для интегрального исчисления.

Рассмотрим сначала первое отношение и для определения момента, в котором

заключается интерес действия (это определение должно быть заимствовано из

сферы так называемого применения), возьмем простейший пример кривых,

определяемых уравнением второй степени. Как известно, отношение координат в

степеннбм определении дано непосредственно уравнением. Следствиями основного

определения являются определения других связанных с координатами прямых

линий: касательной, подкасательной, нормали и т. п. Но уравнения между этими

линиями и координатами суть линейные уравнения; те целые, в качестве частей

которых определены указанные линии, - это прямоугольные треугольники,

составленные прямыми линиями. Переход от основного уравнения, содержащего

определение, к этим линейным уравнениям содержит указанный выше переход от

первоначальной функции, т. е. от той функции, которая есть уравнение к

производной функции, которая есть отношение и притом отношение между теми

или иными содержащимися в кривой линиями. Связь между отношением этих линий

и уравнением кривой и есть то, что требуется найти.

Небезынтересно отметить относительно истории [дифференциального

исчисления ], что первые открыватели умели указать найденное ими решение

лишь всецело эмпирически, не будучи в состоянии объяснить само действие,

оставшееся совершенно внешним. Я ограничиваюсь здесь указанием на Барроу,

учителя Ньютона. В своих Lect. opt. et geom., в которых он решает задачи

высшей геометрии по методу неделимых, отличающемуся прежде всего от того,

что составляет особенность дифференциального исчисления, он излагает также

свой метод определения касательных, "так как на этом настаивали его друзья"

(lect. X). Нужно прочесть у него самого, как он решает эту задачу, чтобы

составить надлежащее представление о том, каким образом этот метод дан как

совершенно внешнее правило - в том же стиле, как в учебниках арифметики

прежде излагалось тройное правило или, еще лучше, так называемая проба

арифметических действий девяткой. Он чертит те маленькие линии, которые

впоследствии были названы [бесконечно малыми] приращениями в

характеристическом треугольнике кривой, и затем в виде простого правила

предписывает отбросить как излишние те члены, которые в ходе развертывания

уравнения выступают как степени указанных приращений или как произведения

(etenim isti termini nihilum valebunt) 115, а также следует отбросить те

члены, которые содержат величины, определяемые лишь на основе

первоначального уравнения (последующее вычитание первоначального уравнения

из уравнения, составленного вместе с приращениями), и, наконец, заменить

приращение ординаты самой ординатой и приращение абсциссы - подкасательной.

Нельзя, если позволительно так выразиться, изложить способ более

школьно-педантически; последняя подстановка - это допущение

пропорциональности приращений ординаты и абсциссы ординате и

под-касательной, сделанное в обычном дифференциальном методе основой

определения касательной; в правиле Барроу это допущение выступает во всей

своей наивной наготе. Был найден простой способ определения подкасательной;

приемы Роберваля и ферма сводятся к чему-то сходному - метод нахождения

наибольших и наименьших значений, из которого исходил Ферма, покоится на тех

же основаниях и на том же образе действия. Математической страстью того

времени было находить так называемые методы, т. е. указанного рода правила,

и притом делать из них секрет, что было не только легко, но в некотором

отношении даже нужно, и нужно по той же причине, почему это было легко, а

именно потому, что изобретатели нашли лишь эмпирически внешнее правило, а не

метод, т. е. не то, чтб выведено из признанных принципов. Подобные так

называемые методы Лейбниц воспринял от своего времени; Ньютон также

воспринял их от своего времени, а непосредственно - от своего учителя;

обобщением их формы и их применимости они проложили новые пути в науках, но,

занимаясь этим, они чувствовали также потребность освободить образ действия

от формы чисто внешних правил и старались дать ему надлежащее обоснование.

Анализируя метод более подробно, мы увидим, что истинный ход действия в

нем таков. Во-первых, степенные определения (разумеется, переменных

величин), содержащиеся в уравнении, низводятся до их первых функций. Но этим

меняется значение членов уравнения. Поэтому уже нет уравнения, а возникло

лишь отношение между первой функцией одной переменной величины и первой

функцией другой. Вместо рх = у2 мы имеем р : 2у или вместо lax - х2 = у2

имеем а - х : у, что впоследствии стали dv обычно обозначать как отношение