ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

Данный пример показывает, что даже относительно небольшое изменение «внутренней» динамики — увеличение физического объема 1-го товара в «средний» момент времени « 1 » с 12 до 18 единиц — привело к увеличению индекса физического объема за весь период (0, 2) с 2.426 до 2.510 и к соответствующему снижению индекса цен с 2.061 до 1.992. «Концевые» (на начало и конец периода) значения факторных величин при этом оставались неизменными. В обоих вариантах факторные индексы транзитивны, поскольку индексы за период (0, 2) равны произведению индексов за периоды (0, 1) и (1, 2).

Можно сказать, что факторные индексы Дивизиа обладают свойством транзитивности в усиленной дефинитивной форме, т.к. это свойство определяет сам способ расчета индексов за периоды, включающие подпериоды. Такая особенность факторных индексов в конечном счете является следствием того, что физический объем x(t), как таковой, и относительная величина a(t) в общем случае не на-

Таблица 3.5. Индексы Дивизиа

блюдаемы, и для их измерения, собственно говоря, и создана теория индексов, в частности индексов Дивизиа. Полезно напомнить, что индекс Дивизиа результирующей величины и все индивидуальные индексы Дивизиа удовлетворяют требованию транзитивности в обычной форме.

Итак, индексы «момент к моменту» продолжают удовлетворять требованиям мультипликативности, транзитивности (в дефинитивной форме), симметричности, но теряют свойство среднего.

Факторные индексы Дивизиа обычно записывают в следующей форме:

В том, что это форма эквивалентна используемой выше, легко убедиться. Для этого достаточно вспомнить, что, например для индекса объемной величины:

Индексы Дивизиа могут служить аналогом прикладных индексов, рассмотренных в пунктах 1–3 данного раздела, в случае, если речь идет о величинах x и y типа запаса, поскольку такие величины измеряются на моменты времени.

3) Индексы «период к периоду».

Чаще всего предметом индексного анализа является динамика величин типа потока, поэтому именно непрерывные индексы «период к периоду» являются наиболее полным аналогом прикладных индексов, рассмотренных в пунктах 1–3 этого раздела.

Сначала необходимо определить следующие индивидуальные величины (здесь и далее нижний индекс-указатель объекта i опущен):

Таким образом, при переходе к суммарным за период величинам проявилось принципиальное различие объемных и относительных величин. Первые аддитивны во времени и складываются по последовательным моментам времени, вторые — неаддитивны и рассчитываются за период как средние хронологические с весами, определенными динамикой объемной факторной величины. Именно с этим обстоятельством связана возможная несимметричность факторных индексов, которая имеет место для большинства прикладных индексов, рассмотренных в пункте 3.2.

Индивидуальные индексы «период к периоду» строятся естественным способом:

[ ] (t1, τ )

λ[ ] (t0, t1, τ ) = [ ] (t0, τ ) ,

где λ[ ](t0, t1, τ ) — индекс, сопоставляющий периоды [t1, t1 + τ ] (текущий) и [t0, t0 + τ ] (базисный), а на месте [ ], как и прежде, стоит либо y — для объемной результирующей величины (стоимости), либо x — для объемной факторной величины (объема), либо a — для относительной величины (цены).

Если динамика (траектория изменения) показателя [ ](t) в базисном и текущем периодах одинакова, то для любого t [t0, t0 + τ ] индекс «момент к моменту»

λ[ ](t, t+t1 −t0) неизменен и равен λ[ ](t0, t1). Тогда для любого t [t1, t1 + τ ] имеет место равенство [ ] (t) = [ ] (t − t1 + t0) λ[ ] (t0, t1), и индекс «период к периоду» объемной величины ( [ ] — есть либо y, либо x) можно представить следующим

образом:

t0+τ

[ ] (t) dt

←−−−−−−−−−−−−−−t0 →

=1

т.е. он совпадает с индексом «момент к моменту».

Для того чтобы такое же равенство имело место для индексов относительной величины, необходима идентичность динамики в базисном и текущем периодах времени не только самой относительной величины, но и объемной факторной величины. Иначе веса αx(t) в базисном и текущем периодах времени будут различны

и интегралы в числителе и знаменателе выражения индекса «период к периоду» относительной величины (после выноса λa(t0, t1) за знак интеграла в числителе) не будут равны друг другу.

Тогда, если в базисном и текущем периодах времени одинакова динамика всех индивидуальных величин, то индексы «период к периоду» совпадают с индексами Дивизиа. Чаще всего считается, что различия в динамике индивидуальных величин в базисном и текущем периодах времени не существенны, и в качестве непрерывных аналогов прикладных индексов поэтому принимают индексы Дивизиа. Именно на таком допущении построено изложение материала в следующем пункте.

В случае, если указанные различия в динамике величин принимаются значимыми, приходится вводить поправочные коэффициенты к индексам Дивизиа, чтобы приблизить их к индексам «период к периоду». Теоретический анализ таких индексных систем в непрерывном времени затруднен и не дает полезных для практики результатов.

3.6.Прикладные следствия из анализа индексов в непрерывном времени

Теоретически «правильными» в этом пункте принимаются индексы Дивизиа. Это предположение можно оспаривать только с той позиции, что внутренняя динамика сопоставляемых периодов времени существенно различается. Здесь предполагается, что эти различия не значимы. Из проведенного выше анализа индексов Дивизиа следует по крайней мере три обстоятельства, важные для построения прикладных индексов.

1) Факторные индексы за период, включающий несколько «единичных» подпериодов, правильно считать по цепному правилу, а не непосредственно из сопоставления величин на конец и на начало всего периода. Для иллюстрации разумности такого подхода проведены расчеты в условиях примера, приведенного в конце предыдущего пункта. Результаты этих расчетов сведены в таблицу 3.6.

Из приведенных данных видно, что

–во-первых, агрегатные индексы, рассчитанные в целом за период (по «концам»), не реагируют, по понятным причинам, на изменение внутренней динамики и одинаковы для вариантов (а) и (б); индекс Ласпейреса — особенно в варианте (а) — заметно преуменьшает реальный (по Дивизиа) рост физического объема, индекс Пааше, наоборот, преувеличивает этот рост. В другой (числовой) ситуации индекс Ласпейреса мог бы преувеличивать, а индекс Пааше преуменьшать реальную динамику. Важно то, что оба эти индекса дают оценки динамики существенно отличные от реальной.

–во-вторых, рассчитанные по цепному правилу индексы имеют более реалистичные значения. Так, например, реальный рост физического объема в варианте (а), равный 2.426, заметно преуменьшенный индексом Ласпейреса в целом за период — 2.333, получает более точную оценку тем же индексом Ласпейреса, рассчитанным по цепному правилу, — 2.383. Цепные индексы дают более правильные оценки динамики. Но, вообще говоря, это свойство цепных индексов не гарантировано. Так, в варианте (б) физический рост 2.510 преуменьшен индексом Пааше в целом за период — 2.500 (хотя и в меньшей степени, чем индексом Ласпейреса — 2.333), и преувеличен этим же индексом по цепному правилу — 2.525.

Принимая предпочтительность цепного правила, следует с сомнением отне-

стись к принятым правилам расчета объемов в неизменных (сопоставимых) ценах: (x0, a0), (x1, a0), . . . , (xt, a0), . . . , (xN , a0) (см. п. 3.2). Правильнее считать

физический объем в году t в ценах, сопоставимых с базисным периодом, как y0λ01x · . . . · λtx−1, t или yt/ λ01a · . . . · λta−1, t . В этом случае теряется наглядность,

но приобретается соответствие теории. Следует отметить, что в действующей сейчас Системе национальных счетов, рекомендованных ООН в 1993 г. для использования национальными правительствами, при расчете индексов применяется цепное правило, но при расчете физических объемов в неизменных ценах — обычный под-

ход, основанный на индексах Пааше в целом за период. Это противоречие остается, по-видимому, для сохранения принципа наглядности.

2)Индексы Дивизиа рассчитываются как средние индивидуальных индексов

снекоторыми весами, занимающими промежуточное положение между базисным и текущим моментами (периодами) времени. Из рассмотренных прикладных индексов такому подходу в большей степени удовлетворяют индексы Фишера.

Действительно, в рассматриваемом примере индекс физического объема Фишера в целом за период — 0.415 — более точно отражает реальную динамику, чем индекс Пааше или Ласпейреса — в варианте (а). В варианте (б) более точным оказывается индекс физического объема Пааше. Зато индексы Фишера, рассчитанные по цепному правилу, дают практически точное приближение к реальной динамике.

3) Если предположить (как это делалось в предыдущем пункте), что индивидуальные моментные индексы всех величин не меняются во времени в отдельных периодах, то расчет индексов Дивизиа как средних геометрических индивидуальных индексов становиться вполне операциональным. Сложность заключается лишь

вопределении средних хронологических весов по результирующей величине. В случае двух продуктов соответствующие интегралы, как это показано в предыдущем пункте, берутся аналитически. В общем случае их всегда можно найти численным приближением. Однако такой подход вряд ли применим в практике, поскольку он достаточно сложен с точки зрения вычислений и не обладает наглядностью хоть

вкакой-нибудь степени. Возможен компромисс, при котором веса для средних геометрических индивидуальных индексов находятся как средние базисных и текущих долей объектов в результирующей величине по формуле, более простой и наглядной, чем интеграл теоретической средней хронологической.

Для индекса результирующей величины, которая аддитивна по объектам, справедливы следующие соотношения:

где αri , αsi — доли объектов в результирующей величине, соответственно, в базисном и текущем периодах времени.

Теперь рассчитываются два индекса результирующей величины λrsy (r), λrsy (s) как средние геометрические индивидуальных индексов по весам, соответственно, базисного и текущего периодов:

будет иметь решение 0 < γrs < 1.

Тогда αrsi = γrsαri + (1 − γrs) αsi могут сыграть роль средних хронологических весов в формулах индексов Дивизиа (соотношения, аналогичные (3.4)):

Теперь эти соотношения являются формулами расчета прикладных индексов, обладающих всеми свойствами теоретических индексов Дивизиа: они мультипликативны, транзитивны (в дефинитивной форме), симметричны и являются средними индивидуальных индексов.

В прикладном анализе иногда используют похожие индексы, называемые по имени автора индексами Торнквиста. В их расчете в качестве γrs всегда принимают 0.5, и потому индекс результирующей величины Торнквиста не равен в общем случае его реальному значению. Предложенные здесь индексы можно назвать модифицированными индексами Торнквиста.

Для того чтобы оценить качество прикладных индексов, проводился численный эксперимент, в котором значения факторных признаков (объем и цена) задавались случайными числами (случайными величинами, равномерно распределенными на отрезке [0, 1]), и определялись отклонения прикладных индексов от значения теоретического индекса Дивизиа (по абсолютной величине логарифма отношения прикладного индекса к теоретическому). Рассматривались три системы: 2 продукта — 2 периода (как в приводимом выше примере), 2 продукта — 3 периода, 3 продукта — 2 периода. В случае двух продуктов значения модифицированного индекса Торнквиста и индекса Дивизиа совпадают, т.к. уравнение

имеет относительно αrs1 единственное решение. Поэтому в этих случаях индекс Дивизиа сравнивался с индексами Ласпейреса, Пааше и Фишера, рассчитанными в целом за период и по цепному правилу. В случае 3-х продуктов индекс Дивизиа, рассчитанный с использованием численной оценки интеграла среднехронологических весов (для этого единичный период времени делился на 100 подпериодов), сравнивался также и с модифицированным индексом Торнквиста. В каждом из этих трех случаев проводилось около 1 000 000 численных расчетов, поэтому полученные оценки вероятностей достаточно точны.

Оценки вероятности для случая «2 продукта — 2 периода» приведены в таблице 3.7. В этой же таблице стрелочками вверх и вниз отмечено, как меняются

Таблица 3.7. Вероятности того, что индекс в подлежащем дает большую ошибку, чем индекс в сказуемом таблицы (для индексов объемной факторной величины)

соответствующие показатели при переходе к ситуации «2 продукта — 3 периода» и далее «3 продукта — 2 периода».

По данным этой таблицы преимущество цепного правила проявляется не столь очевидно. Цепные индексы Ласпейреса и Пааше лишь в 48% случаев (чуть меньше половины) дают более высокую ошибку, чем те же индексы, рассчитанные в целом за период. Это преимущество растет (падает соответствующий показатель вероятности) с увеличением числа объектов (продуктов) в агрегате и исчезает с увеличением числа периодов (при 3-х периодах соответствующие вероятности становятся больше 0.5). Зато преимущество индекса Фишера становится явным. Рассчитанные в целом за период, эти индексы хуже соответствующих индексов Ласпейреса и Пааше только в 41.5% случаев, причем их качество повышается с ростом как числа объектов, так и количества периодов. Особенно «хороши» цепные индексы Фишера: они лишь в 5–6% случаев дают ошибку большую, чем любые другие индексы. К сожалению, с ростом числа объектов и количества периодов их качество снижается.

В ситуации «3 продукта — 2 периода» рассчитывались модифицированные индексы Торнквиста. Они оказались самыми лучшими. Вероятность того, что они дают более высокую ошибку, чем индексы Ласпейреса и Пааше, а также Фишера, рассчитанного в целом за период, на 2–3% ниже, чем для цепного индекса Фишера.

Итак, можно сказать, что модифицированные индексы Торнквиста, рассчитываемые как средние геометрические индивидуальных индексов с особыми весами,

в наилучшей степени соответствуют теории. Тем не менее, в существующей практике статистики индексы как средние геометрические величины фактически не применяются. В действующей (рекомендованной ООН в 1993 г.) Системе национальных счетов применение индексов Торнквиста (обычных, не модифицированных) рекомендуется лишь в весьма специфических ситуациях.

Индексы как средние геометрические индивидуальных применялись в практике статистики, в том числе в России и СССР, в первой трети ХХ века. Затем практически всеобщее распространение получили агрегатные индексы. Это произошло по крайней мере по двум причинам. Первая: агрегатные индексы наглядны и поэтому понятны. Вторая: средние геометрические величины, если веса взвешивания принять за константы, весьма чувствительны к крайним значениям индивидуальных индексов. Так, например, очень большое значение какого-то одного индивидуального индекса приведет к существенному преувеличению общего индекса (в крайней ситуации, когда базисное значение индивидуальной величины равно нулю, т.е., например, какой-то продукт в базисном периоде еще не производился, общий индекс окажется бесконечным). Наоборот, очень малое значение единственного индивидуального индекса существенно преуменьшит общий индекс (обратит его в ноль, если текущее значение соответствующей индивидуальной величины равно нулю — данный продукт уже не производится в текущем периоде).

Указанные доводы против среднегеометрических индексов вряд ли серьезны. По поводу первого из них следует еще раз напомнить, что наглядность и понятность нельзя считать критерием истины. Второй довод не выдерживает критики, поскольку резким изменениям могут подвергаться малые индивидуальные величины, которые входят в среднюю с малыми весами и поэтому не могут заметно повлиять на ее уровень. В крайних ситуациях, когда индивидуальный индекс по какому-то объекту принимает нулевое или бесконечное значение, такой объект вообще не должен участвовать в расчете общего индекса (его вес в среднем геометрическом равен нулю).

Действительно,

не производился в базисном моменте, либо уже не производится в текущем моменте времени).

которое в пределе при n → ∞ совпадет с исходным значением этой компоненты. При конкретном n < ∞ и любом tj , которое в таком случае обязательно больше нуля и меньше единицы,

˜ →

λyij 1,

при yi(0) → 0 или yi(1) → 0. Это можно доказать аналитически, но проще показать

це сверху, во втором — снизу, т.е. в крайней ситуации, когда либо yi(0), либо yi(1)

единице. Это означает, что данный i-й объект не участвует в расчете среднегеометрического индекса.

Индексы Дивизиа при гипотезе неизменности во времени всех индивидуальных моментных индексов, а вслед за ними — модифицированные индексы Торнквиста — должны рассчитываться по сопоставимому набору объектов (продуктов). В такой набор входят только такие объекты, которые существовали как в базисном, так и в текущем периодах времени (только те продукты, которые производились и в базисном, и в текущем периодах). Это правило выступает дополнительным аргументом в пользу цепных индексов, поскольку за длительные периоды времени наборы объектов (продуктов) могут меняться заметно, тогда как их изменения за короткие единичные периоды не так существенны.

В заключение следует заметить, что мультипликативные индексные выражения, построенные на основе индексов Дивизиа и модифицированных индексов Торнквиста, естественным образом обобщаются на случай более одного относительного фактора в мультипликативном представлении результирующей величины.