ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

Такой способ построения индексного выражения полностью аналогичен подходу (1). Пусть теперь последовательность включения факторных величин изменилась. Например, объемный признак по-прежнему меняет свое значение первым, затем — второй и, наконец, первый относительный признак:

(xr , ar1, ar2) → (xs, ar1, ar2) → (xs, ar1, as2) → (xs, as1, as2).

Тогда

Общее количество возможных последовательностей включения факторных величин равно числу перестановок из 3 элементов: 3! = 6, т.е. имеется 6 возможных мультипликативных индексных выражений. Аналогом индексного выражения (3) является среднее геометрическое с равными весами указанных 6-ти вариантов.

Аналогичным образом строятся пофакторные представления типа (1 −3 ) и типа (1 − 3 ). Во 2-м случае, если принята исходная последовательность «включения» факторных признаков:

1 × 1 × 1 → λrsx × 1 × 1 → λrsx λrs1 × 1 → λrsx λrs1 λrs2 ,

то

∆rsx = yr (λrsx − 1) , ∆rs1 = yr λrsx (λrs1 − 1) , ∆rs2 = yrλrsx λrs1 (λrs2 − 1);

если относительные признаки в принятой последовательности меняются местами:

1 × 1 × 1 → λrsx × 1 × 1 → λrsx × 1 × λrs2 → λrsx λrs1 λrs2 ,

то

∆rsx = yr (λrsx − 1) , ∆rs1 = yr λrsx λrs2 (λrs1 − 1) , ∆rs2 = yr λrsx (λrs2 − 1),

и общее количество вариантов таких представлений — 6. Аналогом представления (3 ) будет являться среднее арифметическое этих 6-ти вариантов с равными весами.

В общем случае при n относительных величин в мультипликативном представлении результирующей величины имеется (n + 1)! вариантов индексных выражений, аналогичных (1−2), и пофакторных представлений, аналогичных (1 −2 )

и (1 −2 ) (в основном случае, рассмотренном в пунктах 3.1–3.2, n = 1, и имелось по 2 таких варианта). Усреднение этих вариантов с равными весами дает результаты, аналогичные, соответственно, подходам (3), (3 ) и (3 ).

В пунктах 3.1–3.4 рассмотрены проблемы, которые возникают в практике построения индексных выражений и пофакторных представлений динамики результирующей величины. Проведенный анализ можно назвать прикладным.

3.5. Индексы в непрерывном времени

Для лучшего понимания проблем, возникающих при индексном анализе, и возможностей решения этих проблем полезно рассмотреть их на примере индексов в непрерывном времени. Анализ индексов в непрерывном времени можно назвать теоретическим. В этом случае динамика объемных и относительных величин задается непрерывными дифференцируемыми функциями y(t), x(t), a(t), и возможны три типа индексов: в момент времени t (моментные), сопоставляющие два момента времени t1 и t0 («момент к моменту») и два периода времени [t1, t1 + τ ] и [t0, t0 + τ ], τ |t1 − t0| («период к периоду»). Ниже рассматриваются эти три типа индексов.

1) Моментные индексы.

Индивидуальными индексами такого типа являются моментные темпы роста, рассмотренные в пункте 1.8 (нижние индексы-указатели объекта опущены):

где λ[ ](t) — моментный темп роста, ∆λ[ ](t) — моментный темп прироста, а на месте [ ] стоит либо y — для объемной результирующей величины (стоимости), либо x — для объемной факторной величины (объема), либо a — для относительной величины (цены).

Легко убедиться в том, что эти индивидуальные индексы вслед за (3.1) обладают свойством мультипликативности или, как говорят, удовлетворяют требованию (тесту) мультипликативности (здесь и далее при описании моментных индексов указатель на момент времени (t) опущен):

т.е. λy = λxλa.

Вопрос о транзитивности моментных индексов обсуждается ниже в связи с переходом к индексам «момент к моменту». Понять, как перемножаются индексы

в бесконечной последовательности бесконечно малых моментов времени, можно только в интегральном анализе.

Агрегированный моментный индекс или собственно моментный индекс объемной результирующей величины строится следующим образом (возвращаются нижние индексы-указатели объекта):

где αi = yyi , т.е. λy =

Таким образом, индекс результирующей величины есть средняя геометрическая индивидуальных индексов с весами-долями объектов в этой объемной результирующей величине. Как видно из приведенного доказательства, это — следствие аддитивности результирующей величины.

Не сложно провести разложение общего индекса на факторные:

и, если факторные индексы определить как

λx = λαxii , λa = λαaii ,

то получается искомое мультипликативное выражение λy = λxλa.

Чрезвычайно интересно, что и факторный индекс объемной величины, которая может быть неаддитивной, и факторный индекс относительной величины, которая принципиально неаддитивна, рассчитываются так же, как общий индекс аддитивной результирующей величины — как средние геометрические индивидуальных индексов. Причем во всех этих трех индексах используются одинаковые веса — доли объектов в результирующей величине.

Итак, моментные индексы мультипликативны, транзитивны, что будет показано ниже, обладают свойством среднего и симметричны по своей форме. Следовательно, обсуждаемые выше проблемы являются следствием не принципиальных особенностей индексов, а разных способов привязки их ко времени.

108 Глава 3. Индексный анализ

2) Индексы «момент к моменту» (индексы за период времени).

Индивидуальные индексы такого типа рассмотрены в пункте 1.8 как непрерывные темпы роста за период (нижние индексы-указатели объектов опущены):

либо y — для объемной результирующей величины (стоимости), либо x — для объемной факторной величины (объема), либо a — для относительной величины (цены).

Это выражение, прежде всего, означает транзитивность моментных индексов. Чтобы убедиться в этом, можно провести следующие рассуждения (указатель [ ] в этих рассуждениях опущен).

Пусть моментный индекс в периоде [t0, t1] неизменен и равен λ(t1), тогда,

t1

вычислив ln λ(t)dt, можно увидеть, что

t0

λ (t0, t1) = λ (t1)t1−t0 ,

т.е. для того, чтобы привести моментные индексы к форме, сопоставимой с индексами за период, надо их возводить в степень, равную длине периода.

Теперь, разбив общий период [t0, t1] на n равных подпериодов длиной

τ = t1 − t0 и обозначив t(j) = t0 + jτ , можно записать исходное выражение n

связи индекса за период с моментными индексами в следующем виде:

n t(j)

В результате перехода к пределу при n → ∞ получается соотношение, которое можно интерпретировать как свойство транзитивности моментных индексов. Возведение цепного моментного индекса в степень τ необходимо, как было только что показано, для приведения его к форме, сопоставимой с индексом за период.

Индивидуальные индексы «момент к моменту» транзитивны по своему определению:

t2 t1 t2

ln λ[ ] (t0, t2) = ln λ[ ] (t) dt = ln λ[ ] (t) dt + ln λ[ ] (t) dt =

t0 t0 t1

= ln λ[ ] (t0, t1) + ln λ[ ] (t1, t2) ,

т.е. λ[ ](t0, t2) = λ[ ](t0, t1) · λ[ ](t1, t2).

Их мультипликативность следует непосредственно из мультипликативности моментных индексов. Действительно:

t1

ln λy (t0, t1) = (ln λx(t) + ln λa(t)) dt = ln λx(t0, t1) + ln λa(t0, t1),

Теперь рассматриваются агрегированные индексы «момент к моменту» (возвращаются нижние индексы-указатели объекта). Индексы такого типа были предложены в конце 20-х годов XX века французским статистиком Ф. Дивизиа, и поэтому их называют индексами Дивизиа.

Как было показано выше, моментный индекс результирующей величины является средним геометрическим индивидуальных индексов. Для индекса Дивизиа результирующей величины такое свойство в общем случае не выполняется. Действительно:

и, если бы веса αi(t) не менялись во времени, их можно было бы вынести за знак интеграла и получить выражение индекса как среднего геометрического индивидуальных индексов. Однако веса меняются во времени, и такую операцию провести нельзя. Можно было бы ввести средние за период веса по следующему правилу:

110 Глава 3. Индексный анализ

которое являлось бы средним геометрическим, если бы сумма средних за период весов равнялась единице. Но равенство единице их суммы в общем случае не гарантировано.

Имеется один частный случай, когда общий индекс является средним геометрическим индивидуальных. Если индивидуальные моментные индексы не меняются

Тем не менее, индекс Дивизиа результирующей величины обладает свойством среднего в общем случае. В силу аддитивности yi, этот индекс является обычной средней относительной и, как отмечалось в пункте 2.2, может быть представлен как среднее арифметическое индивидуальных индексов с базисными весами (по знаменателю) или среднее гармоническое индивидуальных индексов с текущими весами (по числителю).

Вслед за мультипликативностью моментных индексов, индексы Дивизиа также мультипликативны. В этом не сложно убедиться, если определить факторные индексы Дивизиа естественным образом:

Действительно:

= ln λx (t0, t1) + ln λa (t0, t1) ,

т.е. λy (t0, t1) = λx (t0, t1) · λa (t0, t1).

Факторные индексы не могут быть представлены как средние геометрические индивидуальных индексов — кроме частного случая, когда индивидуальные моментные индексы неизменны во времени. Это было показано на примере индекса результирующей величины. В случае аддитивности xi факторный индекс объема все-таки обладает свойством среднего (как и индекс результирующей величины). В общем случае факторные индексы требованию среднего не удовлетворяют.

Непосредственно из определения индексов Дивизиа следует их транзитивность. Но факторные индексы этим свойством обладают в специфической, не встречавшейся ранее форме. До сих пор при наличии транзитивности общий за период индекс можно было рассчитать двумя способами: непосредственно по соотношению величин на конец и начало периода или по цепному правилу — произведением аналогичных индексов по подпериодам:

λ (t0, tN ) = λ (t0, t1) · λ (t1, t2) · . . . · λ (tN −1, tN ) , t0 < t1 < . . . < tN .

Именно выполнение этого равенства трактовалось как наличие свойства транзитивности. Теперь (для факторных индексов Дивизиа) это равенство — определение общего индекса (t0, tn), т.к. другого способа его расчета — непосредственно по соотношению факторных величин на конец и начало общего периода — не существует. В частности, общий за период факторный индекс зависит не только от значений факторных величин на начало и конец периода, но и от всей внутрипериодной динамики этих величин.

Эту особенность факторных индексов Дивизиа можно проиллюстрировать в случае, когда моментные темпы роста всех индивидуальных величин неизменны во времени. В этом случае, как было показано выше (указатели периода времени (t0, t1) опущены),

112 Глава 3. Индексный анализ

Таблица 3.2. Объемы производства и цены в три последовательных момента времени

где λy, λy1, λy2 — общий (агрегированный) и индивидуальные индексы «момент к моменту» для результирующей величины y. Указанная особенность факторных индексов Дивизиа иллюстрируется на примере, исходные данные для которого приведены в двух таблицах 3.21 и 3.3.

Динамика физических объемов дана в 2 вариантах (через знак «/»). Физический объем 1-го продукта в момент времени « 1 » в варианте (а) составляет 12 единиц, в варианте (б) — 18. Это — единственное отличие вариантов.

Результаты расчетов сведены в двух таблицах 3.4 и 3.5.

Расчет средних хронологических весов за периоды (0, 1) и (1, 2) в 1-й результирующей таблице проводился по формулам (3.5), индексы 2-й таблицы за периоды (0, 1)

1Физические объемы производства продуктов имеют разные единицы измерения (например, тонны и штуки) и не могут складываться, т.е. x неаддитивен.

Таблица 3.3. Индексы наблюдаемых величин