ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

1 ˆ ˆ — вектор ковариаций переменных с переменной . Первую часть m = N Z X z x

оператора (7.5) часто записывают в форме:

ˆ ˆ −1 ˆ ˆ (7.6) a = Z Z Z X.

МНК-оценки e обладают следующими свойствами ((6.6, 6.12) в предыдущей

Коэффициент детерминации рассчитывается следующим образом (см. (6.20)):

где s2x — дисперсия объясняемой переменной, s2e — остаточная дисперсия,

— объясненная дисперсия.

Уравнение регрессии часто записывают в форме со скрытым свободным членом:

При таком представлении уравнения регрессии оператор МНК-оценивания

M и m также, как M и m, являются матрицей и вектором вторых моментов, но не центральных, а начальных. Кроме того, их размерность на единицу больше.

Оператор (7.12) дает, естественно, такой же результат, что и оператор (7.5). Этот факт доказывался в п. 4.2 для случая одной переменной в правой части уравнения.

x¯

и записать систему нормальных уравнений, решением которой является (7.12) в следующей форме:

Вторая (нижняя) часть этой матричной системы уравнений эквивалентна второй части оператора (7.5). После подстановки b, выраженного через a, в первую (верхнюю) часть данной матричной системы уравнений она приобретает следующий вид:

M a + z¯ za¯ + z¯ x¯ − z¯ za¯ = m + z¯ x,¯

и после приведения подобных становится очевидной ее эквивалентность первой части оператора (7.5).

Что и требовалось доказать.

Кроме того, можно доказать, что

Этот факт потребуется ниже. (Правило обращения блочных матриц см. в Приложении A.1.2.)

Справедливость этого утверждения проверяется умножением M −1 из (7.17) на M из (7.16). В результате получается единичная матрица.

МНК-оценки вектора e ортогональны столбцам матрицы Z:

Доказательство наличия этого свойства получается как побочный результат при выводе оператора оценивания (7.12) путем приравнивания нулю производных остаточной дисперсии по параметрам регрессии, как это делалось в п. 6.2.

Поскольку последним столбцом матрицы Z является 1N , из (7.18) следует,

т.е. e¯ = 0. Из остальной части (7.18):

что в данном случае означает, что cov(Z, e) = 0.

Действительно, раскрывая (7.20):

(7.15) ˆ ˆ

Z e = Z e + z¯ 1N e = Z e = 0.

←−−→

=0

Таким образом, (7.18) эквивалентно (7.7).

Однако уравнения (7.10) допускают и иную интерпретацию. Если последним в Z является не 1N , а столбец «обычной» переменной, то это — регрессия без свободного члена. В таком случае из (7.18) не следует (7.19), и свойства (7.7) не выполняются. Кроме того, для такой регрессии, очевидно, не возможна сокращенная запись уравнения. Этот случай в дальнейшем не рассматривается.

В дальнейшем будет применяться в основном форма записи уравнения со скрытым свободным членом, но чтобы не загромождать изложение материала, символ « » будет опускаться, т.е. соотношения (7.10, 7.11, 7.12, 7.13, 7.18) будут использоваться в форме

Случаи, когда a, Z, m, M означают не a, Z, m, M , а собственно a, Z, m, M , будут оговариваться специально.

7.2. Основные гипотезы, свойства оценок

Применение основной модели линейной регрессии корректно, если выполняются следующие гипотезы:

g1. Между переменными x и z существует линейная зависимость, и (7.10) является истинной моделью, т.е., в частности, правильно определен набор факторов z — модель верно специфицирована.

g2. Переменные z детерминированы, наблюдаются без ошибок и линейно независимы.

g3. E(ε) = 0.

g4. E (εε ) = σ2IN .

Гипотеза g2 является слишком жесткой и в экономике чаще всего нарушается. Возможности ослабления этого требования рассматриваются в следующей главе. Здесь можно заметить следующее: в тех разделах математической статистики, в которых рассматривается более общий случай, и z также случайны, предполагается, что ε не зависит от этих переменных-регрессоров.

идоказывается ряд утверждений о свойствах этих МНК-оценок.

1)a — несмещенная оценка α.

Действительно:

и

g3

E (a) = α.

2) Ее матрица ковариации Ma удовлетворяет следующему соотношению:

где tr(·)— операция следа матрицы, результатом которой является сумма ее диагональных элементов.

Далее, в силу коммутативности операции следа матрицы

tr (B) = tr (IN ) − tr (ZL) = N − tr (LZ) = N − n − 1.

←−→

Что и требовалось доказать.

Тогда оценкой матрицы ковариации Ma является (в разных вариантах расчета)

и, соответственно, несмещенными оценками дисперсий (квадратов ошибок) оценок параметров регрессии:

4) Дисперсии a являются наименьшими в классе линейных несмещенных оценок, т.е. оценки a относятся к классу BLUE (см. п. 5.1). Это утверждение называется теоремой Гаусса—Маркова.

Доказательство этого факта будет проведено для оценки величины c α, где c — любой детерминированный вектор-столбец размерности n + 1. Если в качестве c выбирать орты, данный факт будет относиться к отдельным параметрам регрессии.

Пусть d X — любая линейная оценка c α, где d — некоторый детерминированный вектор-столбец размерности N .

и для того, чтобы эта оценка была несмещенной, т.е. чтобы d Zα = c α, необходимо

Чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо знать истинное значение остаточной дисперсии σ2 , но известна только ее оценка. Для получения соответствующей формулы в операциональной форме, как и в п. 5.1, проводятся следующие действия.

Сначала доказывается, что

Это доказательство проводится так же, как и в пункте 5.1 для (5.9). Только теперь матрица B, связывающая в (7.31) оценки ошибок с их истинными значениями, имеет ранг N − n − 1 (см. свойства матрицы B, следующие из (7.32)), а не N − 1, как аналогичная матрица в (5.10).

Затем обращается внимание на то, что e и a не коррелированы, а значит, не коррелированы случайные величины в (7.41, 7.43).

Действительно (как и в 5.1):

Что и требовалось доказать.

Поэтому по определению случайной величины, имеющей t-распределение:

Таким образом, для получения операциональной формы доверительного интер-

Полезно заметить, что данный в этом пункте материал обобщает результаты, полученные в п. 5.1. Так, многие приведенные здесь формулы при n = 0 преобразуются в соответствующие формулы п. 5.1. Полученные результаты можно использовать также и для проверки гипотезы о том, что αj = 0 (нулевая гипотеза).

которая в рамках нулевой гипотезы, как это следует из (7.44), имеет t-распреде- ление.

Проверка нулевой гипотезы осуществляется по схеме, неоднократно применяемой в I части книги. В частности, если уровень значимости t-статистики sl (напо-

минание: sl таково, что tcj = tN −n−1,sl) не превышает θ (обычно 0.05), то нулевая гипотеза отвергается с ошибкой (1-го рода) θ и принимается, что αj = 0. В про-

тивном случае, если нулевую гипотезу не удалось отвергнуть, считается, что j-й фактор не значим, и его не следует вводить в модель.

Операции построения доверительного интервала и проверки нулевой гипотезы в данном случае в определенном смысле эквивалентны. Так, если построенный доверительный интервал содержит нуль, то нулевая гипотеза не отвергается, и наоборот.

Гипотеза о нормальности ошибок позволяет проверить еще один тип нулевой гипотезы: αj = 0, j = 1, . . . , n, т.е. гипотезы о том, что модель некорректна и все факторы введены в нее ошибочно.

При построении критерия проверки данной гипотезы уравнение регрессии используется в сокращенной форме, и условие (7.40) записывается в следующей

где a и α — вектора коэффициентов при факторных переменных размерности n, M — матрица ковариации факторных переменных. Тогда

Действительно:

Матрица M −1 вслед за M является вещественной, симметричной и положительно полуопределенной, поэтому ее всегда можно представить в виде:

где C — квадратная неособенная матрица.

Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить (6.29) и записать аналогичные соотношения: M −1Y = Y Λ, Y Y = Y Y = In , Λ 0, где Y — матрица, столбцы