ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

Раскрыв скобки и приведя подобные, можно получить следующее выражение:

c−1m11 = c−1m−1M−−11m−1,

которое выполняется как равенство, только если

m11 = m−1M−−11m−1,

т.е. если (в соответствии с (6.18))

m11 = s2q1.

Таким образом, a и f совпадают с точностью до обратного преобразования только тогда, когда полная дисперсия равна объясненной, т. е. связь функциональна и e = 0.

Что и требовалось доказать.

Итак, преобразования в пространстве переменных в простых регрессиях лишь в особых случаях приводят к получению новых оценок, обычно меняются только шкалы измерения. Некоторые из этих шкал находят применение в прикладном анализе. Такой пример дает стандартизированная шкала, которая возникает, если C = S−1, где S — диагональная матрица среднеквадратических отклонений переменных.

Оценки параметров регрессии после преобразования оказываются измеренными в единицах среднеквадратических отклонений переменных от своих средних, и они становятся сопоставимыми между собой и с параметрами других регрессий.

В этом случае система нормальных уравнений формируется коэффициентами корреляции, а не ковариации, и f−j = R−−j1r−j , где R−j — матрица коэффициентов корреляции объясняющих переменных между собой, r−j — вектор столбец коэффициентов корреляции объясняющих переменных с объясняемой переменной.

Действительно (предполагается, что j = 1), соотношения (6.33) при указанной матрице C имеют следующую форму:

Для того чтобы вектор параметров приобрел необходимую для простой регрессии форму, его надо разделить на s1 . Тогда и e делится на s1 (т.е. на s1 делятся обе части уравнения (6.36)). После переноса объясняющих переменных в правую часть получается следующее уравнение регрессии:

r−

Что и требовалось доказать.

Преобразование в пространстве переменных в ортогональной регрессии при использовании любой квадратной и невырожденной матрицы C = In приводит

кполучению новых оценок параметров.

Впункте 4.2 при n = 2 этот факт графически иллюстрировался в случае, когда

В общем случае верно утверждение, состоящее в том, что в результате преобразования и «возвращения» в исходное пространство для получения оценок a надо решить следующую задачу:

где Ω = C−1C−1.

Действительно:

После преобразования в пространстве переменных задача ортогональной регрессии записывается следующим образом (6.24, 6.25):

где, учитывая (6.33), MY = C M C, f = C−1a.

Выражение (6.37) получается в результате элементарных преобразований (6.38).

Понятно, что решение задачи (6.37) будет давать новую оценку параметрам a при любой квадратной и невырожденной матрице C = In . Такую регрессию иногда называют регрессией в метрике Ω−1 .

–сравните эти оценки с оценками линии регрессии, полученными в 1.1;

–рассчитайте расчетные значения переменных.

1.7.Оцените матрицу оценок и значений главных компонент ( AQ и Q), а также расчетное значение переменных.

1.8.Пусть единицы измерения x1 увеличились в 100 раз. Как в этом случае должна выглядеть матрица преобразования D? Как изменятся оценки уравнения прямой и ортогональной регрессий?

Задачи

1. Может ли матрица

являться ковариационной матрицей переменных, для которых строится уравнение регрессии? Ответ обосновать.

оценки параметров уравнения прямой (x1 = a12x2 + 1N b1 + e1) и обратной

вектор-столбец остатков по прямой и обратной регрессии. Убедитесь, что сумма остатков равна нулю, вектора остатков и x2 ортогональны при прямой регрессии, вектора остатков и x1 ортогональны при обратной регрессии. Найдите объясненную и остаточную дисперсии различными способами,

а также коэффициент детерминации.

3.Предположим, что мы, используя модель регрессии x1 = x−1a−1 + 1N b1 + + e1 , из условия минимизации e1e1 получили следующую систему линейных

b1 + 2a12 + a13 = 3,

уравнений: 2b1 + 5a12 + a13 = 9,

b1 + a12 + 6a13 = −8.

Запишите условия задачи в матрично-векторной форме, решите ее, используя метод, указанный в приложении для обратных матриц, и найдите оценки параметров регрессии.

4.Оцените регрессию x1 = a12x2 + a13x3 + 1N b1 + e1 и рассчитайте:

–оценку остаточной дисперсии,

–объясненную дисперсию,

–коэффициент детерминации,

N= 5 .

5.Дисперсии двух переменных совпадают, корреляция отсутствует. Изобразить на графике — в пространстве переменных — линии прямой, обратной

иортогональной регрессий. Ответ обосновать.

6.Дисперсии выпуска продукции и количества занятых по предприятиям равны, соответственно, 10 и 20 , их ковариация равна 12 . Чему равен коэффициент детерминации в регрессии выпуска по занятым, коэффициент зависимости выпуска от занятых по прямой, обратной и ортогональной регрессии?

7.Дисперсии временных рядов индекса денежной массы и сводного индекса цен равны, соответственно, 150 и 200, их ковариация равна 100. Чему равен параметр влияния денежной массы на цены по модели прямой регрессии и доля объясненной дисперсии в дисперсии индекса цен?

точную дисперсию уравнения регрессии первой переменной по второй.

9.В регрессии x1 = a12x2 + 1N b1 + e1 , где x1 = (5, 3, 7, 1) коэффициент детерминации оказался равным 50%. Найдите сумму квадратов остатков.

10.Оцените модель x1 = a12x2 + 1N b1 + e1 , используя следующие данные:

11. Две парные регрессии построены на одних и тех же данных: x1 = a12x2 + + 1N b1 + e1 и x2 = a21x1 + 1N b2 + e2 . R12 — коэффициент детерминации в первой регрессии, R22 — во второй. Запишите соотношение между R12 и R22 . Ответ обосновать.

12.Возможна ли ситуация, когда угловые коэффициенты в уравнениях прямой и обратной регрессии построены на одних и тех же данных, соответственно равны 0.5 и 3.0. Почему?

13.Что геометрически означает R2 = 0 и R2 = 1?

14.Регрессия x1 = α12x2 + β1 + ε1 оценивается по двум наблюдениям. Чему равен коэффициент детерминации?

1 1

15. Для x = (x1, x2) = 2 2 оцените параметры ортогональной регрессии

63

икоэффициент детерминации. Покажите, что линия ортогональной регрессии находится между линиями прямой и обратной регрессии.

16.Какая из двух оценок коэффициента зависимости выпуска продукции от количества занятых в производстве больше: по прямой или по ортогональной регрессии? Ответ обосновать.

17.Какая из двух оценок коэффициента зависимости спроса от цены больше: по прямой или по ортогональной регрессии? Ответ обосновать.

2.Болч Б., Хуань К.Дж. Многомерные статистические методы для экономики. — М.: «Статистика», 1979. (Гл. 7).

3.Джонстон Дж. Эконометрические методы. — М.: «Статистика», 1980. (Гл. 2, 11).

4.Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ: В 2-х кн. Кн.1. — М.: «Финансы и статистика», 1986. (Гл. 1, 2).

5.Езекиэл М., Фокс К. Методы анализа корреляций и регрессий. — М.: «Статистика», 1966. (Гл. 5, 7).

6.Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Вып. 2. — М.: «Статистика», 1977. (Гл. 10, 11).

7.Лизер С. Эконометрические методы и задачи. — М.: «Статистика», 1971. (Гл. 2).

8.(*) Маленво Э. Статистические методы эконометрии. Вып. 1. — М.: «Статистика», 1975. (Гл. 1).

9.Judge G.G., Hill R.C., Griffiths W.E., Luthepohl H., Lee T. Introduction to the Theory and Practice of Econometric. John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 5).

10.William E., Griffiths R., Carter H., George G. Judge Learning and Practicing econometrics, N 9 John Wiley & Sons, Inc., 1993. (Ch. 3).