ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

При переходе от r к s резко увеличивается (с 0.3 до 0.7) доля 1-го объекта с высоким уровнем относительного показателя. В результате значение итогового индекса — 1.43 — оказывается больше значений обоих индивидуальных индексов — 0.8 и 1.25. При переходе от s к r ситуация противоположна (в данном случае индексы обратимы), и итоговый индекс меньше индивидуальных.

Характерно, что этот парадокс возникает в достаточно простой ситуации, когда объемы xi аддитивны.

3) Собственно проблемы индексного анализа возникают в случае, когда xi неаддитивны. Такая ситуация имеет место в приведенном выше примере (а). Именно данный пример представляет классическую проблему индексного анализа. В его терминах часто излагается и сама теория индексов. Общий индекс, называемый в этом случае индексом стоимости, который рассчитывается по формуле

λrs = (xs, as) ,

y (xr , ar )

необходимо разложить на два частных факторных индекса (представить в виде произведения этих частных индексов):

λrsx — индекс объема (физического объема) и

λrsa — индекс цен.

В случае аддитивности xi аналогичные проблемы возникают для индекса не объемной величины y, который раскладывается на факторные индексы естественным образом (как было показано выше), а относительной величины a = xy . Общий индекс этой величины, называемый индексом переменного состава и удовлетворяющий соотношению

надо представить как произведение факторных индексов: λrsα — индекс структуры (структурных сдвигов) и λrs(a) — индекс индивидуальных относительных величин, называемый индексом постоянного состава.

3.2. Способы построения индексов

Возникающая проблема разложения общего индекса на факторные индексы может решаться различным образом. Возможны следующие подходы:

Индекс объема считается как отношение текущей стоимости в базисных ценах к фактической базисной стоимости, а индекс цен — как отношение фактической текущей стоимости к текущей стоимости в базисных ценах.

В этом случае индекс объема рассчитывается делением фактической текущей стоимости на базисную стоимость в текущих ценах, а индекс цен — делением базисной стоимости в текущих ценах на фактическую базисную стоимость.

Оба эти варианта имеют очевидный содержательный смысл, но результаты их применения количественно различны, иногда — существенно.

(3) Промежуточный вариант, реализуемый, например, если взять среднее геометрическое с равными весами индексных выражений (1) и (2) :

(4) Индекс объема можно рассчитать как некоторое среднее взвешенное индивидуальных индексов объема:

где k, как правило, принимает значение либо 1 (среднее арифметическое), ли-

бо 0 (среднее геометрическое), либо −1 (среднее гармоническое). А индекс цен

λrs

по формуле λrsa = λyrs , так чтобы выполнялось мультипликативное индексное вы-

x

ражение.

(5) Обратный подход:

и другими способами.

производства, инфляция, уровень жизни и т.д.), во-вторых, они и только они позволяют иметь практические приложения многих абстрактных разделов макроэкономики как научной дисциплины. Так, например, даже самое элементарное макроэкономическое уравнение денежного обмена

P Q = M V ,

где P — уровень цен, Q — товарная масса, M — денежная масса, V — скорость обращения денег, не имеет непосредственно никакого практического смысла, ибо ни в каких единицах, имеющих содержательный смысл, не могут быть измерены P и Q. Можно измерить лишь изменения этих величин и — только с помощью техники индексного анализа. Например, измеримыми могут быть переменные уравнения денежного оборота в следующей форме:

Y 0λ01P λ01Q = M 1V 1,

где Y 0 — валовой оборот (общий объем производства или потребления) базисного периода в фактических ценах.

Проблема выбора конкретного способа построения индексов из всего множества возможных способов решается на практике различным образом.

В советской статистике был принят подход (1). Аргументация сводилась к следующему. Количественный (объемный) признак является первичным по отношению к качественному (относительному) и поэтому при переходе от базисных условий к текущим сначала должен меняться он (количественный признак):

x0, a0 → x1, a0 → x1, a1 .

Первый шаг этого «перехода» дает индекс объема, второй — индекс цен. Внятных разъяснений тому, почему количественный признак первичен и почему именно первичный признак должен меняться первым, как правило, не давалось. Тем не менее, применение этого подхода делает весьма наглядным понятие объемов (производства, потребления, . . . ) в сопоставимых или неизменных ценах.

Действительно, пусть оценивается динамика в последовательные периоды времени t = 0, . . . , N , и индексы для любого периода t > 0 строятся по отношению к одному и тому же базисному периоду t = 0. Тогда при использовании подхода (1) указанный выше «переход» для любого периода t > 0 принимает

форму x0, a0 → xt, a0 → xt, at , и выстраивается следующая цепочка показателей физического объема: (x0, a0), (x1, a0), . . . , (xt, a0), . . . , (xN , a0). Оче-

видна интерпретация этих показателей — это объемы в сопоставимых (базисных) или неизменных ценах. Однако «наглядность» не всегда обеспечивает «правильность». Об этом пойдет речь в пункте 3.6.

В современной индексологии проблема выбора решается в зависимости от того, какому набору требований (аксиом, тестов) должны удовлетворять применяемые индексы. Требования — это свойства, которыми должны обладать индексы. Выше были определены три таких свойства: мультипликативности, транзитивности

исреднего. Приведенные выше подходы к построению индексов с этой точки зрения не одинаковы. Все они удовлетворяют требованию мультипликативности — по построению. А транзитивными могут быть, например, только в подходах (4−5) , при k = 0. Свойством среднего могут не обладать индексы цен подходов (4, 6, 8)

ииндексы объемов в подходах (5, 7, 9).

Иногда добавляют еще одно требование — симметричности. Это требование означает, что оба факторных индекса должны рассчитываться по одной и той же формуле, в которой лишь меняются местами переменные и нижние индексы с x на a или наоборот. Из всех приведенных выше подходов только (3) приводит к индексам, отвечающим этому требованию. Многие экономисты считают это требование надуманным. Так, например, даже при естественном разложении общего индекса, которое имеет место в случае аддитивности объемного признака, факторные индексы асимметричны.

При выборе способа расчета индексов полезно проводить математический анализ используемых формул. В некоторых случаях эти математические свойства таковы, что результат расчета неизбежно будет содержать систематическую ошибку.

Пусть, например, речь идет о расчете индекса цен как среднего индивидуальных индексов (подход (5)), и веса взвешивания остаются неизменными во времени.

В данном случае (как и в ряде других случаев) имеет смысл проверить, как ведет себя индекс на осциллирующих рядах индивидуальных цен. Цены осциллируют — значит меняются циклически с периодом две единицы времени:

Поэтому общий индекс цен за период времени, включающий четное количество временных единиц, всегда равен единице:

λat, t+2T = 1.

Этот результат понятен, поскольку индивидуальные цены лишь колеблются, не изменяя своего общего уровня. Этот же общий индекс можно рассчитать по цепному правилу:

λt,a t+1λta+1, t+2 . . . λat+2T −1, t+2T .

Индекс в такой форме в дальнейшем будет называться цепным и обозначаться λt,a t+1, ..., t+2T или λta t+2T , где « » заменяет последовательность временных подпериодов — единиц времени внутри общего периода.

Рассчитанный таким образом индекс равен единице только при использовании среднего геометрического (при k = 0) в расчете индексов за каждую единицу времени. Это проверяется непосредственной подстановкой формулы среднего геометрического при неизменных во времени весах индивидуальных индексов. Из свойства мажорантности средних следует, что при использовании средних арифметических общий цепной индекс будет обязательно больше единицы, а при использовании средних гармонических — меньше единицы. Другими словами, результат будет либо преувеличен, либо преуменьшен. Причем ошибка будет тем выше, чем длиннее рассматриваемый период (чем больше T ). Из этого следует два вывода:

–при расчете общего индекса как среднего индивидуальных индексов веса не должны оставаться постоянными во времени,

–общий индекс как среднее арифметическое индивидуальных индексов может преувеличить реальный рост изучаемой величины, а как среднее гармоническое — преуменьшить его.

Формальный анализ индексного выражения позволяет выяснить, с какими погрешностями связано его использование при изучении реальных процессов.

Например, полезно исследовать, к каким погрешностям приводит нетранзитивность индексов.

Как уже отмечалось, в общем случае индексы всех приведенных выше подходов не обладают свойством транзитивности. В частности, индекс цен подхода (1) не транзитивен, т.к.

Вопрос о том, какая из этих величин больше, сводится, как не сложно убедиться, путем элементарных преобразований к вопросу о соотношении следующих двух возможных значений индекса λ01a :

x1, a1 x2, a1 (x1, a0) и (x2, a0) ,

которые можно обозначить, соответственно, через λ01a (1) и λ01a (2). Их, в свою очередь, можно представить как средневзвешенные индивидуальных индексов цен λ01ai (индексы-указатели опущены):

λ (1) = (α (1) , λ) , λ (2) = (α (2) , λ),

Для рыночной экономики характерно сокращение объемов покупок товара при росте цен на него. Если предположить, что динамика цен и объемов устойчива в рассматриваемом периоде, и направленность их трендов (вверх или вниз) не меняется на нем

(такое предположение необходимо сделать, т.к. динамика цен на подпериоде 01 связывается в данных индексах с динамикой объемов на подпериоде 12), то в таких условиях

λ01a (1) > λ01a (2).

Из этого следует, что для рыночной экономики значение цепного индекса λ012a в подходе (1) больше значения соответствующего обычного индекса λ02a .

Аналогичный анализ индексов цен подхода (2) показывает, что для них характерно противоположное соотношение: цепной индекс принимает меньшее значение, чем обычный индекс за период времени.

Несколько слов о терминах.

Факторные индексы, используемые в подходах (1−2) , называются агрегатными. Такие индексы были предложены немецкими экономистами Э. Ласпейресом и Г. Пааше во второй половине XIX века. Индекс Ласпейреса строится так, чтобы в числителе и знаменателе неизменными оставались объемы или цены на базисном уровне, поэтому знаменателем этого индекса является фактическая базисная стоимость, а числитель образован и базисными, и текущими значениями. Этот индекс является среднеарифметическим индивидуальных индексов с базисными весами. Таковыми являются индекс объема в подходе (1) и индекс цен подхода (2).

Вчислителе и знаменателе индекса Пааше одинаковыми объемы или цены фиксируются на текущем уровне. Его числителем является фактическая текущая стоимость, знаменатель имеет смешанный состав. Такой индекс выступает среднегармоническим индивидуальных индексов с текущими весами. Это — индекс цен подхода (1) и индекс объема подхода (2).

Вмультипликативном представлении общего индекса стоимости один из факторных индексов — индекс Ласпейреса, другой — Пааше.

В20-х годах XX века Фишером было предложено рассчитывать индексы как средние геометрические соответствующих индексов Ласпейреса и Пааше с равными весами. Потому индексы подхода (3) называются индексами Фишера. Фишер показал, что в его системе тестов (требований, аксиом) они являются наилучшими из всех возможных (им рассмотренных).

Индексы цен, рассчитанные каким-то способом, например, как в подходах (5),

(7), (9), или заданные нормативно (при прогнозировании) с целью дальнейшего определения индексов объемов из требования мультипликативности иногда называют дефляторами стоимости (например, дефляторами ВВП — валового внутреннего продукта). А такой способ расчета индексов цен и объемов — дефлятированием.

На практике при построении индексов цен часто используют нормативный подход (9). Причем структуру весов обычно принимают облегченной — не по всем товарам (их, как правило, бывает много), а по товарам-представителям, каждый из которых представляет целую товарную группу. Такой характер имеют, например, индексы цен по потребительской корзине, в которую включаются от нескольких десятков до нескольких сотен основных потребительских продуктов.

Итак, рассмотрены основные проблемы и подходы, существующие при проведении индексного анализа, с помощью которого изучается вопрос о том, во сколько раз меняется значение величины при переходе от одних условий к другим — в целом и за счет отдельных факторов.

3.3.Факторные представления приростных величин

Во многом схожие проблемы возникают и в анализе вопроса о том, на сколько и за счет каких факторов меняется значение изучаемой величины. В таком анализе общее изменение величины во времени или в пространстве требуется разложить по факторам, вызвавшим это изменение:

ys − yr = ∆rsy = ∆rsx + ∆rsa .

В случае, когда y — результат (какая-то результирующая величина, например, объем производства), x — затраты (например, основной капитал или занятые в производстве), a — эффективность использования затрат (отдача на капитал или производительность труда), то говорят о проблеме разложения общего прироста результирующей величины на экстенсивные и интенсивные факторы.

При изучении изменений относительной величины at = αt, at во времени или в пространстве — в случае аддитивности объемных признаков xi — возникает аналогичная проблема разделения прироста этой величины ∆rsa на факторы изменения структуры ∆rsα и изменения индивидуальных относительных величин ∆rs(a) . Так, например, общее различие материалоемкости совокупного производства между двумя регионами можно попытаться разбить на факторы различия отраслевых структур производства и отраслевых материалоемкостей производства.

Эти проблемы можно решить так же, как и в подходах (1−3) индексного анализа.

(1 ) В подходе (1) индексного анализа общий индекс λrsy умножается и делится на величину (xs, ar ), и после перегруппировки сомножителей получается искомое индексное выражение. Теперь, аналогично, к общему приросту ∆rsy прибавляется и из него вычитается та же величина (xs, ar ). После перегруппировки слагаемых

образуется требуемое пофакторное представление:

∆rsy = [(xs, ar ) − (xr , ar )] + [(xs, as) − (xs, ar )] =

= (xs − xr , ar ) + (xs, as − ar ) = ∆rsx + ∆rsa .

(2 ) Теперь работает величина (xr , as) :

∆rsy = [(xs, as) − (xr , as)] + [(xr , as) − (xr , ar )] =

= (xs − xr , as) + (xr , as − ar ) = ∆rsx + ∆rsa .

(3 ) Берется среднее арифметическое пофакторных представлений (1 ) и (2 ) с равными весами:

Существует более общий подход, в рамках которого пофакторное представление общего прироста результирующей величины строится на основе определенного мультипликативного индексного выражения λrsy = λrsx λrsa .

Для относительного прироста результирующей величины можно записать следующее тождество:

λrsy − 1 = (λrsx − 1) + (λrsa − 1) + (λrsx − 1)(λrsa − 1).

Выражение для общего абсолютного прироста результирующей величины получается умножением обеих частей этого соотношения на yr , равный (xr , ar ).

Первое слагаемое правой части этого тождества показывает влияние изменения объемной величины (экстенсивные факторы), второе слагаемое — влияние изменения относительной величины (интенсивные факторы), а третье слагаемое — совместное влияние этих факторов. Эта ситуация иллюстрируется рисунком 3.1.