ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

Можно назвать σy , σ1, σ2 абсолютными, а σyy , σx11 , σx22 — относительными ошибками, и, как только что показано, сделать следующие утверждения.

Если ошибки аргументов не коррелированы ( ω = 0), то квадрат абсолютной ошибки суммы или разности равен сумме квадратов абсолютных ошибок аргументов, а квадрат относительной ошибки произведения или частного от деления равен сумме квадратов относительных ошибок аргументов.

Если ошибки аргументов коррелированы положительно ( ω > 0), то ошибка суммы или произведения возрастает (предполагается, что x1x2 > 0), а разности или частного от деления — сокращается. Влияние отрицательной корреляции ошибок аргументов противоположное.

Выражение (5.4), которое фактически дает формулу ошибки среднего, также является частным случаем (5.16).

В случае, если ошибки величин xj не коррелированы друг с другом и имеют одинаковую дисперсию σ2 ( Ω = σ2In ), то

т.е. чем резче меняется значение функции в точке расчета, тем в большей степени ошибки исходной информации влияют на результат расчета. Возможны ситуации, когда результат расчета практически полностью определяется ошибками «на входе».

В случае, если известны дисперсии ошибок εj , а информация о их ковариациях отсутствует, можно воспользоваться формулой, дающей верхнюю оценку ошибки результата вычислений:

n

σy |σj gj | = ∆y ,

j=1

где σj — среднеквадратическое отклонение εj .

Пусть в данном случае σ — диагональная матрица {σj }, тогда Ω = σRσ, где R — корреляционная матрица ( rjj = ).

Тогда (5.16) преобразуется к виду:

= g σRσg.

Пусть далее |σg| — вектор-столбец {|σj gj |}, а W — диагональная матрица {±1} такая, что σg = W |σg|.

Тогда

По сравнению с R в матрице W RW лишь поменяли знаки некоторые недиагональные элементы, и поэтому все ее элементы, как и в матрице R, не превышают единицы:

W RW 1n1n.

Умножение обеих частей этого матричного неравенства справа на вектор-столбец |σg| и слева на вектор строку |g σ| сохранит знак « », т.к. эти векторы, по определению, неотрицательны. Следовательно:

5.3. Упражнения и задачи

Упражнение 1

Дана модель xi = β + εi = 12 + εi, i = 1, . . . , N . Используя нормальное распределение, в котором каждое значение ошибки εi независимо, имеет среднее 0 и дисперсию 2, получите 100 выборок вектора ε размерности (N × 1), k = = 1, . . . , 100 , где N = 10 (в каждой выборке по 10 наблюдений). Прибавив к каждому элементу этой выборки число 12 получите 100 выборок вектора x.

–покажите, что b — относится к классу несмещенных линейных оценок;

–рассчитайте дисперсию b ;

–проверьте b на состоятельность;

N

–сравните b с простой средней b = N1 i=1 xi;

4.Случайная величина измерена три раза в неизменных условиях. Получены

значения: 99, 100, 101. Дать оценку истинного значения этой величины

и стандартную ошибку данной оценки.

5.Измерения веса студента Иванова на четырех весах дали следующие результаты: 80.5 кг, 80 кг, 78.5 кг, 81 кг. Дайте оценку веса с указанием ошибки измерения.

6.Пусть β — величина ВВП в России в 1998 г. Несколько различных экспертов рассчитали оценки ВВП xi. Какие условия для ошибок этих оценок xi −β должны выполнятся, чтобы среднее xi было несмещенной и эффективной оценкой β?

7.Проведено пять измерений некоторой величины. Результаты этих измерений следующие: 5.83, 5.87, 5.86, 5.82, 5.87 . Как бы вы оценили истинное значение этой величины при доверительной вероятности 0.95 ? А при вероятности

0.99 ?

8.Предположим, что исследователь, упоминавшийся в задаче 7, полагает, что истинное стандартное отклонение измеряемой величины равно 0.02. Сколько независимых измерений он должен сделать, чтобы получить оценку значения величины, отличающуюся от истинного значения не более чем на 0.01:

а) при 95%-ном доверительном уровне?

б) при 99%-ном доверительном уровне?

9. Случайная величина измерена три раза в неизменных условиях. Получена оценка истинного значения этой величины 5.0 и стандартная ошибка этой

1

оценки √ . Каким мог быть исходный ряд?

3

10.Пусть имеется 25 наблюдений за величиной x, и по этим данным построен 95%-ный доверительный интервал для x: [1.968; 4.032]. Найдите по этим данным среднее значение и дисперсию ряда.

11.Пусть xi — продолжительность жизни i-го человека ( i = 1, . . . , N ), x — средняя продолжительность жизни, элементы выборки случайны и независимы. Ошибка измерения исходного показателя для всех i составляет 5%,

какова ошибка x ? Вывести формулу σx2¯, рассчитать коэффициент вариации для x, если x1 = 50, x2 = 60, x3 = 70.

12.Пусть объем экспорта равен 8 условных единиц, а импорта — 7 условных единиц. Показатели некоррелированы, их дисперсии одинаковы и равны 1 условной единице. На каком уровне доверия можно утверждать, что сальдо экспорта-импорта положительно?

13.Средние рентабельности двух разных фирм равны соответственно 0.4 и 0.2, стандартные отклонения одинаковы и составляют 0.2. Действительно ли первая фирма рентабельнее и почему?

14.Наблюдаемое значение некоторой величины в предыдущий и данный момент времени одинаково и равно 10. Ошибки наблюдений не коррелированы и имеют одинаковую дисперсию. Какова относительная ошибка темпа роста?

15.Пусть величина ВНП в I и II квартале составляла соответственно 550 и 560 млрд. долларов. Ошибки при расчетах ВНП в I и II квартале не коррелированы и составляют 1%. Какова относительная ошибка темпа прироста ВНП во II квартале? К каким последствиям в расчетах темпов роста и темпов прироста приведут ошибки измерения ВНП, равные 5%?

16.Стандартная ошибка измерения показателя труда и показателя капитала составляет 1%, ошибки измерений не коррелированы. Найти относительную ошибку объема продукции, рассчитанного по производственной функции Кобба—Дугласа: Y = CKαLβ .

17.Доля бюджетного дефицита в ВВП вычисляется по формуле (R − E)/Y , где

R = 600 условных единиц — доходы бюджета, E = 500 условных единиц — расходы, Y = 1000 условных единиц — ВВП. Известно, что дисперсии R и E равна 100, дисперсия Y равна 25. Оценить сверху дисперсию доли дефицита.

Рекомендуемая литература

1.Венецкий И.Г., Венецкая В.И. Основные математико-статистические понятия и формулы в экономическом анализе. — М.: «Статистика», 1979. (Разд. 7).

2.Езекиэл М., Фокс К. Методы анализа корреляций и регрессий. — М.: «Статистика», 1966. (Гл. 2).

Глава 6

Алгебра линейной регрессии

6.1. Линейная регрессия

В этой главе предполагается, что между переменными xj , j = 1, . . . , n существует линейная зависимость:

n

j=1

где αj , j = 1, . . . , n, β (угловые коэффициенты и свободный член) — параметры (коэффициенты) регрессии (их истинные значения), ε — случайная ошибка; или в векторной форме:

где x и α — соответственно вектор-строка переменных и вектор-столбец параметров регрессии.

Как уже отмечалось в пункте 4.2, регрессия называется линейной, если ее

уравнение линейно относительно параметров регрессии, а не переменных. Поэтому предполагается, что xj , j = 1, . . . , n, могут являться результатом каких-либо функциональных преобразований исходных значений переменных.

Для получения оценок aj , j = 1, . . . , n, b , e, соответственно, параметров регрессии αj , j = 1, . . . , n, β и случайных ошибок ε используется N наблюдений за переменными x, i = 1, . . . , N , которые образуют матрицу наблюдений X

размерности N × n (столбцы — переменные, строки — наблюдения). Уравнение регрессии по наблюдениям записывается следующим образом:

Собственно уравнение регрессии (без случайных ошибок) xα = β или xa = b определяет, соответственно, истинную или расчетную гиперплоскость (линию,

плоскость, . . . ) регрессии.

Далее применяется метод наименьших квадратов: оценки параметров регрессии находятся так, чтобы минимального значения достигла остаточная дисперсия:

Из равенства нулю производной остаточной дисперсии по свободному члену b следует, что

Вторая производная по b равна 2, т.е. в найденной точке достигается минимум.

Здесь и ниже используются следующие правила матричной записи результатов дифференцирования линейных и квадратичных форм.

Пусть x, a — вектор-столбцы, α — скаляр, а M — симметричная матрица. Тогда:

(См. Приложение A.2.2.)

Этот результат означает, что точка средних значений переменных лежит на расчетной гиперплоскости регрессии.

В результате подстановки выражения b из (6.5) через a в (6.4) получается другая форма записи уравнения регрессии:

где ˆ − — матрица центрированных значений наблюдений.

X = X 1N x¯

(6.3, 6.4) — исходная, (6.7) — сокращенная запись уравнения регрессии.

Минимизация остаточной дисперсии по a без дополнительных условий приведет к тривиальному результату: a = 0. Чтобы получать нетривиальные решения, на вектор параметров α и их оценок a необходимо наложить некоторые ограничения. В зависимости от формы этих ограничений возникает регрессия разного вида — простая или ортогональная.

6.2. Простая регрессия

В случае, когда ограничения на вектор a (α) имеют вид aj = 1 ( αj = 1), возникают простые регрессии. В таких регрессиях в левой части уравнения остается одна переменная (в данном случае j-я), а остальные переменные переносятся в правую часть, и уравнение в исходной форме приобретает вид (регрессия j-й переменной по остальным, j-я регрессия):