ЭКОНОМЕТРИКА и математическая экономика / Эконометрика. Учебник продвинутый (2005)

1.2.Дайте табличное и графическое изображение полученных совместных распределений частот, сделайте выводы о наличии связи между признаками.

1.3.С помощью критерия Пирсона проверьте нулевую гипотезу о независимости роста и веса студентов.

1.4.С помощью дисперсионного анализа установите, существенно ли влияние роста на их вес.

1.5.На основе построенной таблицы сопряженности рассчитайте средние и дисперсии роста и веса, а также абсолютную и относительную ковариацию между ними.

1.6.На основе исходных данных, без предварительной группировки (для юношей

идевушек отдельно):

•Оцените с помощью МНК параметры линейного регрессионного уравнения, предположив, что переменная «рост» объясняется переменной «вес». Дайте интерпретацию полученным коэффициентам уравнения регрессии.

•Повторите задание, предположив, что переменная «вес» объясняется переменной «рост».

•Оцените с помощью МНК параметры ортогональной регрессии.

•Изобразите диаграмму рассеяния признаков роста и веса и все три линии регрессии. Объясните почему, если поменять экзогенные и эндогенные переменные местами, получаются различные уравнения.

•Для регрессионной зависимости роста от фактора веса вычислите объясненную и остаточную дисперсию, рассчитайте коэффициент детерминации и с помощью статистики Фишера проверьте статистическую значимость полученного уравнения.

Упражнение 2

Дана таблица (табл. 4.1, индекс Доу—Джонса средних курсов на акции ряда промышленных компаний).

2.1.Изобразить данные, представленные в таблице, графически.

2.2.Найти оценки параметров линейного тренда. Вычислить и изобразить графически остатки от оценки линейного тренда.

2.3.На основе данных таблицы

•произвести сглаживание ряда с помощью процедуры, основывающейся на q = 1 и p = 3 (q — степень полинома, p — полупериод сглаживания);

•произвести сглаживание ряда с помощью процедуры, основывающейся на q = 2 и p = 2.

2.4.Сравнить сглаженный ряд с трендом, подобранным в упражнении 2.2.

Задачи

1.Используя интенсивность цвета для обозначения степени концентрации элементов в группах, дайте графическое изображение совокупности, характеризующейся:

а) однородностью и прямой зависимостью признаков (x1, x2) ; б) однородностью и обратной зависимостью признаков (x1, x2) ; в) неоднородностью и прямой зависимостью признаков (x1, x2) ;

г) неоднородностью и обратной зависимостью признаков (x1, x2) ; д) неоднородностью и отсутствием связи между признаками (x1, x2) .

2.Пусть заданы значения (x1, x2). Объясните, какие приемы следует применять для оценки параметров следующих уравнений, используя обычный метод наименьших квадратов:

а) x1 = βxα2 ; б) x2 = βex1α;

в) x1 = β + α ln(x2); г) x1 = x2/(β + αx2);

д) x1 = β + α/(π − x2).

являться ковариационной матрицей переменных, для которых строятся уравнения регрессии? Ответ обосновать.

4. Наблюдения трех пар (x1, x2) дали следующие результаты:

Оценить уравнения прямой, обратной и ортогональной регрессии.

5. Построить уравнения прямой, обратной и ортогональной регрессии, если

Нарисовать на графике в пространстве переменных облако наблюдений и линии прямой, обратной и ортогональной регрессии. Вычислить объясненную, остаточную дисперсию и коэффициент детерминации для каждого из построенных уравнений регрессии.

6.Какая из двух оценок коэффициента зависимости баллов, полученных на экзамене, от количества пропущенных занятий больше другой: по прямой или по обратной регрессии.

7.В регрессии x1 = a12x2 + 1N b1 + e1 , фактор x1 равен (1, 3, 7, 1) . Параметры регрессии найдены по МНК. Могут ли остатки быть равными:

а) (1, −2, 2, 1) ; б) (1, −2, 1, −1) .

8.Для рядов наблюдений x1 и x2 известны средние значения, которые равны соответственно 10 и 5. Коэффициент детерминации в уравнениях регрессии x1 на x2 равен нулю. Найти значения параметров простой регрессии x1 по x2.

9.В регрессии x1 = a12x2 + 14b1 + e1 , где x2 = (5, 3, 7, 1) , получены оценки a12 = 2, b1 = 1, а коэффициент детерминации оказался равным 100%. Найти вектор фактических значений x1 .

10.Изобразите на графике в пространстве двух переменных облако наблюдений и линию прямой регрессии, если коэффициент корреляции между переменными:

а) положительный;

б) равен единице;

в) отрицательный;

г) равен минус единице;

д) равен нулю.

11.Существенна ли связь между зарплатой и производительностью труда по выборке из 12 наблюдений, если матрица ковариаций для этих показателей

96

616

12.Оцените параметры ортогональной регрессии и рассчитайте остаточную дисперсию и коэффициент детерминации для переменных, у которых матрица

96

616

13.Имеются данные об объемах производства по четырем предприятиям двух отраслей, расположенным в двух регионах (млн. руб):

220 40

Рассчитать эффекты взаимодействия, факторную и общую дисперсии.

14. Имеются данные об инвестициях на предприятиях двух отраслей:

Рассчитать групповую, межгрупповую и общую дисперсии.

15.Имеются данные об урожайности культуры (в ц/га) в зависимости от способа обработки земли и сорта семян:

С помощью двухфакторного дисперсионного анализа оценить, зависит ли урожайность культуры от сорта семян (A) или от способа обработки земли.

16.Запишите систему нормальных уравнений оценивания параметров полиномиального тренда первой, второй и третей степеней.

17.Перенесите систему отсчета времени в середину ряда, т.е. i = . . . −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3 . . ., и перепишите систему нормальных уравнений для полиномиального тренда первой, второй и третей степеней. Как изменится вид системы? Найдите оценку параметров многочленов в явном виде из полученной системы уравнений.

18.По данным о выручке за 3 месяца: 11, 14, 15 — оцените параметры полиномиального тренда первой степени и сделайте прогноз выручки на четвертый месяц.

19.Имеются данные об ежедневных объемах производства (млн. руб.):

Проведите сглаживание временного ряда, используя различные приемы скользящего среднего:

а) используя полиномиальное сглаживание;

б) используя экспоненциальное сглаживание.

20.Оценена регрессия xi = β + αs sin(ωi) + αc cos(ωi) + εi для частоты π/2. При этом αs = 4 и αc = 3. Найти значения амплитуды, фазы и периода.

21.Что называется гармоническими частотами? Записать формулу с расшифровкой обозначений.

22.Что такое частота Найквиста? Записать одним числом или символом.

Запишите матрицу ковариаций факторов для данной регрессии.

Рекомендуемая литература

1.Доугерти К. Введение в эконометрику. — М.: «Инфра-М», 1997. (Гл. 2).

2.Кендэл М. Временные ряды. — М.: «Финансы и статистика», 1981. (Гл. 3–5, 8).

3.Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика — начальный курс. — М.: «Дело», 2000. (Гл. 2).

Это пустая страница

В этой части развиваются положения 4-й главы «Введение в анализ связей» I-й части книги. Предполагается, что читатель знаком с основными разделами теории вероятностей и математической статистики (функции распределения случайных величин, оценивание и свойства оценок, проверка статистических гипотез), линейной алгебры (свойства матриц и квадратичных форм, собственные числа и вектора). Некоторые положения этих теорий в порядке напоминания приводятся

втексте.

Вчастности, в силу особой значимости здесь дается краткий обзор функций распределения, используемых в классической эконометрии (см. также Приложение A.3.2).

Пусть ε — случайная величина, имеющая нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией ( ε N (0, 1)). Функция плотности

ε2

этого распределения прямо пропорциональна e− 2 ; 95-процентный двусторонний

k2 = 5 — 6.61, при k2 = 20 — 4.35, при k2 = 100 — 3.94 (квадраты соответ-

3.10, при k1 = 4 — 2.87, при k1 = 5 — 2.71, при k1 = 6 — 2.60.

Глава 5

Случайные ошибки

Задачей регрессионного анализа является построение зависимости изучаемой случайной величины x от факторов z :

x = f (z, A) + ε,

где A — параметры зависимости.

Если z — истинный набор факторов, полностью определяющий значение x, а f — истинная форма зависимости, то ε — случайные ошибки измерения x. Однако в экономике весьма ограничены возможности построения таких истинных моделей, прежде всего потому, что факторов, влияющих на изучаемую величину, слишком много. В конкретных моделях в лучшем случае наборы z включают лишь несколько наиболее значимых факторов, и влияние остальных, неучтенных, факторов определяет ε. Поэтому ε называют просто случайными ошибками или

остатками.

В любом случае считают, что ε — случайные величины с нулевым математическим ожиданием и, как правило, нормальным распределением. Последнее следует из центральной предельной теоремы теории вероятностей, поскольку ε по своему смыслу является результатом (суммой) действия многих мелких малозначимых по отдельности факторов случайного характера.

Действительно, в соответствии с этой теоремой, случайная величина, являющаяся суммой большого количества других случайных величин, которые могут иметь различные распределения, но взаимно независимы и не слишком различаются между собой, имеет асимптотически нормальное распределение, т.е. чем больше случайных величин, тем ближе распределение их суммы к нормальному.