книжка умняшкина по моцос

выражение верным и для z ≤1, аналитически продолжая функцию X(z),

т.е. z:

Рассмотрим некоторые свойства Z-преобразования.

1°. Линейность. α, β: αx(n)+β y(n) ↔ αZ{x(n)}+βZ{y(n)}= αX(z)+βX(z).

2°. Задержка последовательности на N≥0 отсчётов: x(n − N ) ↔ z−N X (z) . ◄ Так как x(n)=0 при n<0, имеем:

◄ Фактически, мы уже воспользовались этим свойством в примере 1.

Определение. Свёрткой бесконечных последовательностей x(n), y(n), называем последовательность u(n), элементы которой находят-

обозначение: u(n)=x(n)*y(n).

81

Замечание. Так как вновь считается, что x(n)=y(n)=0 при n≤0, то u(n)=0 при n≤0 и, как легко показать, эквивалентным данному определению свёртки являются следующие:

∞

= ∑x(k)z−kY (z) = X (z)Y (z) . ►

k =0

7°. Обращение Z-преобразования. Элементы последовательности x(n) могут быть восстановлены по её Z-образу X(z) с помощью формулы:

где γ – произвольный замкнутый контур, лежащий в области аналитичности функции X(z) и охватывающий все её особые точки. ◄ Следует из теоремы 1 и формулы (3). ►

Для вычисления интегралов (4) удобно использовать следующую теорему о вычетах.

Теорема 2. Пусть f(z) – аналитическая функция в некоторой области D, за исключением конечных (z≠∞) точек z1,…,zN, лежащих в этой области. Тогда если γ – замкнутый контур, целиком лежащий в области D и охва-

Таким образом (см. (4)), для обращения Z-преобразования в формулу (5) нужно подставить функцию f (z) = X (z)zn−1 .

82

Напомним, что если в окрестности некоторой точки z0 известно раз-

∞

ложение функции в ряд Лорана (2), f (z) = ∑ck (z − z0 )k , то (см. (3))

k =−∞

известен и вычет этой функции относительно z0: выч[ f (z), z0 ] = c−1 . На практике часто используются следующие способы вычисления вычетов.

1.Если z0 – полюс порядка m (это означает, что в ряде (2) c-m≠0, а

2.Если в некоторой окрестности точки z0: f (z) = u(z)v(z) и

Пример 2. Найти последовательность x(n) по её Z-образу X (z) = z2z+1 .

◄ Функция X(z) имеет две особых точки – полюсы первого порядка: z=±i. Используя формулы (4) и (5), получаем:

С использованием математического аппарата Z-преобразования удобно решать разностные уравнения.

Определение. Линейным разностным уравнением N-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение:

где ak – числа (вообще говоря, комплексные), f(n) – заданная последовательность, x(n) – решение уравнения (6), n=0,1,… Очевидно, не меняя общности можно положить aN=1.

83

Разностные уравнения являются дискретными аналогами дифференциальных уравнений. Для того чтобы уравнение (6) имело единственное решение, необходимо задать «начальные условия», т.е. значения N первых элементов искомой последовательности: x(0)=x0, …, x(N-1)=xN-1. Тогда можем выразить оставшиеся члены последовательности через найденные ранее, записав (6) в рекуррентном виде:

N −1

x(N + j) = f ( j) − ∑ak x( j + k) , j=0,1,…

k =0

Последняя запись определяет некоторую расчётную процедуру. Получение аналитической записи решения (6) часто оказывается удобно искать через Z-преобразование уравнения с использованием свойства 3°. Рассмотрим это на примере.

4.2. Линейные дискретные фильтры (ЛДФ)

Определение. Линейным дискретным фильтром (линейной дискретной системой) назовём устройство, которое преобразует входную последовательность x(n) в выходную y(n) по правилу, определяемому для любого целого значения n следующим разностным уравнением:

где am, bk – постоянные числа (вообще говоря, комплексные).

84

Таким образом, параметрами системы являются наборы коэффициентов {am }mM=0 , {bk }kN=0 . Постоянство параметров во времени характери-

зует свойство стационарности системы. Линейность системы, алгоритм работы которой определяется уравнением (7), очевидна. Действительно, если пары последовательностей {x1(n), y1(n)} и {x2 (n), y2 (n)} удовлетво-

ряют уравнению (7), то и пара последовательностей {x(n) = αx1(n) + βx2 (n), y(n) = αy1(n) + βy2 (n)}, где α, β – произвольные числа, также ему удовлетворяет.

Положив a0=1, уравнение (7) можем переписать в другом виде (при необходимости все коэффициенты разностного уравнения (7) делим на a0):

что задает в виде рекуррентной формулы некоторую расчётную процедуру нахождения очередного элемента выходной последовательности по предыдущим элементам входной и выходной последовательностей.

Преобразование (7) в (8) правомерно, поскольку если в уравнении

(7) коэффициент a0=0, то и b0=0 – тогда перенумеровываем коэффициенты в (7) так, чтобы a0≠0. Действительно, если бы была возможна ситуация, когда a0=0 и b0≠0, то вместо (8) получили бы (считая уже коэффициент a1=1) уравнение физически нереализуемой системы:

довательности y(n-1) должен зависеть от еще не поступившего на вход системы отсчёта x(n).

Если в уравнении (7) или (8) хотя бы один коэффициент am ≠ 0 , то фильтр называется рекурсивным, в противном случае - нерекурсивным.

Пример 4. Найти реакцию (отклик) y(n) рекурсивного фильтра, описываемого разностным уравнением y(n)=ay(n-1)+x(n), на входное воздейст-

вие x(n) = δ~(n) = 1, n = 0 .

0, n ≠ 0

◄ y(0)=1, y(1)=ay(0)+x(1)=a, y(2)=ay(1)+x(2)=a2, …, y(n)=an,… ►

85

Пример 8. Найди передаточную функцию для фильтра из примера 4.

◄ H (z) = 1 + (−1az−1) = z −z a ►

Пример 9. Для ЛДФ, описываемого уравнением

y(n) = −2 y(n −1) − y(n − 2) + x(n) + x(n −1) ,

найти:

а) передаточную функцию фильтра, б) импульсную характеристику фильтра,

в) отклик фильтра на входное воздействие x(n)=3n, с использованием уравнения свертки (9), а также посредством обращения Z-образа отклика фильтра.

◄ а) Сравнивая заданное разностное уравнение с общим видом (8), находим, что ненулевые коэффициенты ЛДФ: a1=2, a2=1, b0=1, b1=1. Получаем в (10):

в) Используя формулу свертки (9), находим:

Из формулы (10) следует важное для последующего рассмотрения наблюдение: передаточная функция ЛДФ может быть представлена в

88

Прямая форма структурной схемы ЛДФ реализуется непосредственно по формуле (8), когда выходная последовательность формируется

в виде линейной комбинации с коэффициентами {bk }kN=0 и {am }mM=1 из

задержанных элементов выходной и входной последовательностей, см. рисунок.

Прямая каноническая форма – это структурная схема, содержащая минимальное количество элементов задержки. Для её получения представим передаточную функцию (10) как результат последовательного соединения фильтров:

90