Добавил:

korayakov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Математическое обеспечение цифровой обработки и кодирование сигналов

Файл:

книжка умняшкина по моцос

.pdf

Скачиваний:

133

Добавлен:

16.04.2013

Размер:

1.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

представления взаимно однозначно соответствуют друг другу, f(t)↔S(ν). Укажем на ряд важных свойств интегрального преобразования Фурье.

1°. Сопряженная симметрия. Для любой вещественной функции f (t) = f (t) ↔ S(ν) = S(−ν) .

2°. Линейность. x(t) ↔ Sx (ν), y(t) ↔ Sy (ν), α, β : f (t) =αx(t) + βy(t) ↔ S(ν) =αSx (ν) + βSy (ν) .

3°. Изменение масштаба. f (t) ↔ S(ν), α ≠ 0 :

f (αt) ↔ Sα (t) =			1	S(ν α).
			α
	+∞			−2πiνt		1	+∞		−2πiαν (αt)
◄Sα (ν) =	∫	f (αt) e			dt =		∫	f (αt) e	d (αt) =
	∫					α	∫

	−∞						−∞

		+∞
	1	∫ f (u) e−2πi(ν α)u du, приα > 0				+∞
	α	∫ f (u) e−2πi(ν α)u du, приα > 0		1		+∞
=		−∞−∞	=			−∞∫	f (t)
					α

	1	∫ f (u) e−2πi(ν α)u du, приα < 0
	α	∫ f (u) e−2πi(ν α)u du, приα < 0
		+∞
		= 1 S(ν α).
		α
4°. Задержка сигнала. f (t) ↔ S(ν), t0 :			f (t −t0 ) ↔
◄ Докажите самостоятельно! ►

5°. Свертка сигналов. u(t) ↔ Su (ν ), w(t) ↔ Sw (ν )

e−2πi(να)t dt =

►

e−2πiνt0 S(ν) .

∞

f ( x) = ∫u(t)w(x − t)dt ↔ S f (ν) = Su (ν)Sw (ν) .

−∞

◄

∞	∞		−2π iνx	∞	∞	−2π iνx
	∫u(t)w(x − t)dt		−2π iνx	dx = ∫	u(t) ∫w(x − t) e	−2π iνx	dxdt =
S f (ν ) = ∫	∫u(t)w(x − t)dt	e		dx = ∫	u(t) ∫w(x − t) e		dxdt =
−∞	−∞			−∞	−∞
					144424443
					см. свойство4°
	∞
	= ∫u(t)Sw (ν ) e−2πiνt dt = Su (ν)Sw (ν) .						►

−∞

6°. Произведение сигналов. u(t) ↔ Su (ν ), w(t) ↔ Sw (ν ) :

∞

f (t) = u(t)w(t) ↔ S f (ν) = ∫Su ( x)Sw (ν − x)dx .

−∞

◄ Докажите самостоятельно! ►

∞

7°. Равенство Парсеваля. f (t) ↔ S(ν) : E = ∫

f (t)

2 dt = ∫

S(ν)

2 dν

–

−∞

называем данную величину энергией сигнала.

∞

◄ E = ∫

f (t)dt = ∫

∫S(ν) e2πiνt dνdt = ∫ S(ν) ∫

e2πiνt dtdν =

f (t)

−∞

∞

= ∫ S(ν) ∫ f (t) e−2πiνt dt dν = ∫S(ν)

dν = ∫

S(ν)

2dν .

►

S(ν)

−∞

8°. Дифференцирование во временной области. f (t) ↔ S(ν) , если

функция f(t) – дифференцируема и существует интеграл

+∞

2πiνt

′

∫νS(ν ) e

dν ,

то

f (t) ↔ 2πiνS(ν) .

−∞

∞

t=−∞

∞

◄ ∫ f ′(t) e−2πiνt dt = f (t) e−2πiνt

− ∫(−2πiν) f (t) e−2πiνt dt = 2πiνS(ν) ,

t=−∞

−∞

1442443

−∞

+∞

т.к. несобственный интеграл S(ν) = ∫ f (t) e−2πiνt

dt существует, а не-

−∞

обходимым условием его сходимости является

lim f (t) e−2πiνt = 0 . ►

t→±∞

9°. Дифференцирование в частотной области. f (t) ↔ S(ν) , если функ-

+∞

ция S(ν) – дифференцируема и существует интеграл ∫tf (t) e−2πiνt dt ,

	−∞
то	′
то	−2πitf (t) ↔ S (ν) .

◄ Докажите самостоятельно, по аналогии с доказательством св. 8°. ►

Определение. Амплитудным спектром сигнала f(t) называется мо-

дуль S(ν) спектральной плотности S(ν), а фазовым спектром – её аргумент, взятый с противоположным знаком2: ϕ(ν) = −arg S(ν) .

Амплитудный и фазовый спектры позволяют записать спектральную плотность в показательной форме: S(ν) = S(ν) e−iϕ(ν ) . Будем считать по определению, что ϕ(ν) (−π;π] .

Замечание. Из свойства 4° следует, что сдвиги сигнала по оси абсцисс во временной области в частотной области влияют лишь на фазовый спектр, но не изменяют амплитудного спектра сигнала.

Пример 1. Найти амплитудный и фазовый спектры сигнала, представляющего собой прямоугольный импульс длительности T:

f (t) = 1 T , приt [0,T ] .0, приt [0,T ]

◄ Найдем сначала спектральную плотность функции

+∞		+T 2
Sg (ν) = ∫g(t) e−2πiνt dt =	1	∫e−2πiνt dt = eπiνT −e−πiνT
−∞	T	−T 2	2πiν T

g(t)=f(t+0,5T):

=sinπνT .

πν T

Так как		f(t)=g(t-0,5T), то на основании свойства						4° получаем:
S f (ν) = e	−πiνT sinπνT			, откуда амплитудный спектр:
		πν	T

				S f (ν) =	1		sinπνT .
						T	πν
Для фазового спектра ϕ(ν) рассмотрим сначала частоты ν≥0.
При ν = k T , k =1,2,K arg S f (ν) не определён, так как S f								(ν) = 0 .

2 Нередко		фазовым спектром			называют аргумент (без			смены знака)

ϕ(ν) = arg S(ν) .

При ν (2k T ;(2k +1) T ) , k = 0,1,K, имеем sinπνT = sinπνT ,

S f (ν) =

sin

πνT

−πiνT

sinπνT

−πiνT

S f (ν)

−iϕ(ν )

, т.е.

πν

πν T

14243

S f (ν )

e−iϕ(ν ) = e−iπνT и ϕ(ν ) = arg(eiπνT ),

ϕ(ν) = ϕ ν + 2 .

При ν ((2k +1) T ;(2k + 2) T ), k = 0,1,K, имеем

S f (ν) =	sin	πνT	e	−πiνT	= −	sin	πνT	e	−iϕ(ν )
	πν	T				πν	T

причём

sinπνT = −sinπνT

= − S f (ν) e−iϕ(ν ) , т.е.

e−iϕ(ν ) = −e−iπνT = e−iπνT +iπ и ϕ(ν ) = arg(eiπ (νT −1) ).

	2
Вновь ϕ(ν) =ϕ ν +		.
	T

Таким образом, для неотрицательных частот достаточно рассмотреть один период фазового спектра ϕ(ν). Для ν [0;2T ), получаем:

πνT , при ν (0;1 T )	.
ϕ(ν) =	.
πνT −π, при ν (1 T ;2 T )

Вид функции ϕ(ν) для ν<0 находим на основании свойства 1°, которое означает, что ϕ(-ν)=-ϕ(ν). Графики амплитудного и фазового спектров приведены на рисунке.

S(ν)

ϕ(ν)

		−	1	ν
			T	ν
			T
		ν	1	2
		ν	T	T
			T	T
1	1	2	-π
− T	T	T		►
				►

2.2. Обобщенное преобразование Фурье

При наложении ряда условий, определяемых теоремой 2, между сигналом и его спектром существует взаимно однозначное соответствие:

+∞	+∞
S(ν) = ∫ f (t) e−2πiνt dt	↔ f (t) = ∫S(ν) e2πiνt dν .
−∞	−∞

Рассмотрим функцию g(t)=1. Условия теоремы 2, очевидно, для неё не выполнены, и спектр Sg(ν), т.е. понимаемый в традиционном смысле

+∞

интеграл ∫e−2πiνt dt – не существует. Однако если положить, что

−∞

Sg(ν)=δ(ν) (дельта-функция Дирака), то запись обратного преобразования Фурье не вызывает никаких затруднений и дает точное восстановление функции g(t):

+∞ +∞

g(t) = ∫Sg (ν) e2πiνt dν = ∫δ(ν) e2πiνt dν =1

−∞ −∞

Для того чтобы расширить класс функций, для которых применимо интегральное преобразование Фурье, положим, по определению, что

+∞
∫e−2πiνt dt = δ(ν) .	(7)

−∞

Замечания. Эквивалентными (7) являются следующие определения. В

+∞

силу вещественности δ-функции: ∫e2πiνt dt = δ(ν) = δ(ν) . В силу сим-

		−∞
метрии	выражения	(7) относительно	переменных	ν и t:
+∞	+∞
∫e2πiνt dν = ∫e−2πiνt dν = δ(t) .
−∞	−∞
Определение (7)		непротиворечиво.	Покажем, что	интеграл

+∞

∫e−2πiνt dt , действительно, проявляет свойства дельта-функции. Пони-

−∞

мая несобственный интеграл в смысле главного значения по Коши, по-

		+∞		+N
лучаем, что ∫sin(2πiνt)dt = lim				∫sin(2πiνt)dt = 0 .					Поэтому при ν≠0:
		−∞	N →∞	−N
		−∞		−N
+∞	+∞		+∞		+∞		1		∞
∫e−2πiνt dt = ∫cos2πνtdt−i ∫sin2πνtdt = ∫							1
						sin2πν t +		dt = ∫sin2πνtdt =0 .
						sin2πν t +		dt = ∫sin2πνtdt =0 .
−∞	−∞		−∞		−∞		4ν		−∞
			14243
			0
	+N	−2πiνt	N →∞
При ν=0:	∫e	−2πiνt	N →∞
При ν=0:	∫e		dt →∞ . Пусть теперь ϕ(t) – некоторая непре-

−N

рывная в окрестности t=0 функция, отвечающая условиям теоремы 2. Тогда

−∞∫∞ −∞∫∞e−2πiνt dν ϕ(t)dt = −∞∫∞ −∞∫∞ϕ(t) e−2πiνt dt dν = −∞∫∞Sϕ (ν)dν = ϕ(0) ,

+∞

что соответствует поведению δ-функции: ∫δ(t)ϕ(t)dt = ϕ(0) .

−∞

Положив справедливость выражения (7), мы сразу же расширили область применимости интегральных преобразований (5)–(6), превратив ряды Фурье для периодических функций (см. (3), (4)) в частный случай интегральных преобразований. Действительно, исходя из (7), функции

2π

соответствует обобщенный спектр

ϕk (t) = e

∞

−2πit ν −

ν −

)

∫e

= δ

Sϕk (

−∞

Тогда для произвольной функции периода T, представимой в виде ряда

	∞
(3), f (t) =	∑ckϕk (t) ,	обобщенное		интегральное		преобразование	дает
спектр	k =−∞
спектр
∞	∞	−2πiνt	∞	∞	−2πiνt	∞	k
			dt = ∑ ck ∫ϕk (t) e			dt = ∑ ckδ ν −		,
S(ν) = ∫	∑ckϕk (t) e		dt = ∑ ck ∫ϕk (t) e			dt = ∑ ckδ ν −		,
−∞ k =−∞			k =−∞	−∞		k =−∞	T

по которому функция может быть восстановлена в результате обратного преобразования Фурье:

∞ ∞

2πiνt

∞

k 2πiνt

∫

δ ν −

dν

f (t) = ∫ ∑ ckδ ν −

dν = ∑ ck

−∞ k =−∞

k =−∞

−∞

∞

2π

= ∑ckϕk (t) = ∑ck ei

kt .

k =−∞

Таким образом, интегралы в преобразовании Фурье (5)–(6) будем понимать обобщённо. Для обозначения обобщенного преобразования Фурье будем использовать далее следующие сокращенные записи: S(ν) = Φ{ f (t)} - прямое преобразование, f(t)=Ф-1{S(ν)}- обратное.

Из проведённых выше рассуждений следует важное наблюдение: если функция (сигнал) f(t) является Т-периодической, то её спектр

∞	k
S(ν) = ∑ ckδ ν −		является линейчатым, т.е. принимает ненулевые
k =−∞	T

(вообще говоря, бесконечные!) значения лишь для определённых значений частоты, а именно, νk=k/T, k Z. Т.е. спектр периодических функций полностью характеризуется набором коэффициентов ряда Фурье {ck}. По этой причине под амплитудным спектром для периодических функций понимают набор модулей {|ck|}, а под фазовым спектром – набор аргументов, взятых с противоположным знаком: {-arg(ck)}.

Преобразования (5), (6) имеют сходную природу, отличаясь только знаком при мнимом показателе подынтегральной экспоненты. Вследствие этого преобразования (5), (6) обладают и сходными дуальными свойствами, которые мы уже наблюдали. Например, произведению функций соответствует свертка в области преобразований (см. свойства 5°, 6°). Установив, что периодическому сигналу соответствует линейчатый спектр, можем утверждать, что спектры так называемых решетча-

∞

тых функций вида f (t) = ∑ fkδ(t −k∆t), принимающих ненулевые

k =−∞

значения лишь для равноотстоящих значений дискретного аргумента

		1
tk=k∆t, в частотной области имеют период:	S(ν) = S ν +		. Т.е. перио-

		∆t

дичность в одной области соответствует решетчатой функции в другой, и наоборот.

2.3. Принцип неопределённости время-частотного представления сигналов

Определение. Носителем Ω функции y(x) назовём замыкание множества аргументов x, при которых y(x) принимает ненулевые значе-

ния, т.е. Ω = {x y(x) ≠ 0} . Будем говорить, что функция имеет фи-

нитный носитель, если ёе носитель Ω является ограниченным множеством, т.е. существует конечный отрезок [a,b], полностью содержащий носитель: Ω[a,b].

Например, носителем функции h5(x) системы Хаара (см. пример

1.12) является отрезок x [1/4;1/2].

Теорема 3. Никакая пара f (t) ↔ S(ν) не может иметь финитный носи-

тель и во временной, и в частотной области одновременно. ◄Примем утверждение теоремы без доказательства.►

Из теоремы 3 следует, что сигналы конечной длительности имеют бесконечную частотную полосу. Так, в примере 1 мы рассматривали функцию, имеющую конечный носитель во временной области, Ωt = [0;1] , и видели, что в частотной области носитель спектра

S(ν) = e	−πiνT sinπνT	совпадает со всей числовой осью,	Ων = (−∞;∞) .
	Tπν

Однако на практике почти всегда необходимо задаваться требованиями конечной частотной полосы. Т.е. для произвольного сигнала (функции) f(t) требуется каким-то образом определить его частотную полосу ν [ν1;ν2], вполне характеризующую сигнал в частотной области. Под шириной полосы спектра тогда понимается величина ∆ν=ν2–ν1. Единого строгого подхода для определения частотной полосы сигнала, реально имеющего бесконечную ширину спектра, нет. На практике обычно выбирают на оси частот такой отрезок ν [ν1;ν2], который содержит основ-

∞		2 dν ≈ E∆ν	ν2		2 dν .
ную часть энергии сигнала, то есть E = ∫	S(ν)		= ∫	S(ν)

−∞			ν1

Разность E − E∆ν характеризует величину тех искажений, которые связаны с искусственным «усечением» полосы. Действительно, если обо-

значить усеченный спектр S((ν) = S(ν), приν [ν1;ν2	]	и соответствую-
0, приν [ν1;ν2	]
38

щий ему искаженный сигнал f (t) , то, очевидно, в силу свойства 2° преобразования Фурье S(ν) − S(ν) = Φ(f (t) − f (t)), а на основании свойства 7° энергия ошибки ε(t) = f (t) − f (t) :

∞

ν1

∞

∫

ε(t)

2 dt = ∫

f (t) − f((t)

2 dt = ∫

S(ν) −S((ν)

2 dν = ∫

S(ν)

2 dν + ∫

S(ν)

2 dν =

−∞

ν2

∞

ν2

= ∫

S(ν)

2 dν − ∫

S(ν)

2 dν = E − E∆ν .

−∞

−ν1

Так, для примера 1 в качестве полосы сигнала можно было бы взять

ν −

;

(тогда

E∆ν / E = 0,90 ) или ν −

;

(тогда

E∆ν / E = 0,95 ).

Для пояснения принципа неопределённости время-частотного представления вещественных сигналов более пригодно иное определение для

ширины полосы и длительности.				Положим, что энергия сигнала еди-
∞		∞
ничная, т.е. ∫	S(ν)	2 dν = ∫	f (t)	2 dt =1 . Тогда по своему физическому

−∞		−∞

смыслу функция ρ(ν) = S(ν) 2 представляет собой плотность распределения энергии в частотной области, причём для вещественных сигналов

ρ(ν) = ρ(−ν) , в силу свойства 1° спектральной плотности. По аналогии

спонятием дисперсии характеризовать ширину спектра ∆ν будем по величине

∞
(∆ν )2 = ∫ν 2 S(ν)	2 dν ,	(8)

−∞

которая представляет собой меру «разброса» энергии в частотной области относительно начала координат (т.е. постоянной составляющей ν=0, которая для вещественных сигналов всегда является средним значением

∞

распределения энергии в спектре: ∫ν S(ν) 2 dν = 0 ). Естественно назы-

−∞

вать определённую по (8) частотную полосу [− ∆ν 2; ∆ν 2] средне-

квадратичной частотной полосой. Во временной области функцией плотности распределения энергии сигнала является γ (t) = f (t) 2 . Ана-

логично, в качестве меры длительности сигнала ∆t возьмем величину среднеквадратичной длительности, т.е.:

∞

(∆t)2 = ∫(t −mt )2

f (t)

2 dt = ∫t2

f (t)

2 dt −mt

2 ,

(9)

−∞

∞

2 dt – среднее значение для распределения энергии сиг-

где mt = ∫t

f (t)

−∞

нала во временной области.

Величины (8) и (9) характеризуют локализацию энергии сигнала: чем меньше среднеквадратичная полоса (длительность), тем выше локализация энергии в частотной (временной) области. Принцип неопределённости гласит, что добиться высокой локализации энергии одновременно и во временной, и в частотной областях нельзя. Так, верна следующая теорема.

Теорема 4. Для любых дифференцируемых вещественных сигналов единичной энергии произведение полосы (8) и длительности (9) ограничено снизу:

		∆t∆ν ≥	1	.	(10)

			4π
◄ Пусть, для упрощения изложения, во временной					области имеем
∞		2 dt =0 (в необходимых случаях выполняется сдвиг сигнала
mt = ∫t	f (t)

−∞

по оси времени, не изменяющий его амплитудный спектр, см. свойство

4°). Положим		также,	что		существует конечный		интеграл
∞
(∆t)2 = ∫t2	f (t)	2 dt – в противном случае выполнение неравенства (10)
(∆t)2 = ∫t2	f (t)	2 dt – в противном случае выполнение неравенства (10)
−∞
не требует доказательства.
Поскольку (свойство 8°) f				′	↔ 2πiνS(ν ) , то на основании равен-
Поскольку (свойство 8°) f				(t)	↔ 2πiνS(ν ) , то на основании равен-
				∞	∞
ства Парсеваля		(свойство	7°):	∫(f ′(t))2 dt = (2π )2 ∫ν 2		S(ν )	2 dν . Тогда
ства Парсеваля		(свойство	7°):	∫(f ′(t))2 dt = (2π )2 ∫ν 2		S(ν )	2 dν . Тогда
				−∞	−∞
40

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>