книжка умняшкина по моцос

цательна, расстояние от точки до подмножества (подпространства) всегда существует.

Расстояние ρ(x,L) характеризует наилучшее приближение (т.е. аппроксимацию) элемента x E элементами подмножества L, L E.

Определение. Элемент u L, где L – подмножество из ЛНП E, назы-

вается элементом наилучшего приближения (ЭНП) для произвольно-

го элемента x E, если ρ(x,L)= x − u .

ЭНП может также не существовать, или быть не единственным.

Пример 3. Рассмотрим пространство R2, т.е. множество упорядоченных пар вещественных чисел x = (ξ1,ξ2 ) , где ξ1 R, ξ2 R. Введём норму

L={(ξ1,ξ2) ξ1=ξ2} = {(α,α) α R }. Тогда:

1.L – подпространство в E;

2.Для x=(-1,1) имеем ρ(x,L)=2, причём ЭНП – не единственный.

◄1. Множество L является линейным многообразием (убедитесь самостоятельно). Покажем, что L – замкнуто. Допустим противное: пусть

существует элемент y L, который является предельной точкой множества L. Для элемента y=(β1,β2): β1≠β2. Тогда для любой точки u=(α,α) из множества L расстояние

ρ(y,u)= β1 −α + β2 −α ≥ β1 − β2 =r(y)>0,

т.е. ограничено снизу положительной величиной r=r(y). Следовательно, в окрестности Sr(y) нет ни одного элемента из множества L, и произвольно выбранная точка y L не является предельной для L. Поэтому все предельные точки множества L могут содержаться только в самом этом

множестве, и L является замкнутым линейным многообразием (подпространством) в R2.

11

При этом элементами наилучшего приближения для x являются все точ-

ки отрезка L* = {(α,α) -1≤α≤1}, L* L .►

1.4. Банаховы пространства

Определение. Пусть X – ЛНП. Последовательность {xn} X называ-

ется фундаментальной, если ε>0 N=N(ε): n>N, p N

xn + p − xn < ε . (Здесь N – множество натуральных чисел.)

Напоминание. Для случая X=R (множество действительных чисел) в курсе математического анализа был доказан критерий Коши: числовая последовательность {xn} сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Справедлив ли критерий Коши в произвольном ЛНП? Можно показать, что любая сходящаяся последовательность является фундаментальной, а обратное, вообще говоря, не верно.

Определение. ЛНП называется полным, если в нём сходится всякая фундаментальная последовательность. Полное ЛНП называется ба-

наховым.

Пример 4. Простейший пример банахова пространства – множество вещественных чисел R с нормой x = x .

Пример 5. Неполное ЛНП – пространство непрерывных на отрезке [0,T]

T

функций с нормой x = ∫ x(t) 2 dt .

0

◄ Любую разрывную, но кусочно-гладкую функцию f(t) можно представить на отрезке длины T в виде ряда Фурье, сходящегося к функции во всех точках непрерывности и к среднему значению функции в точках разрыва:

Очевидно, что частичные суммы ряда Фурье

- непрерывные функции, однако последовательность {sn(t)} не является

12

сходящейся в пространстве непрерывных функций, т.к. сходится к раз-

рывной функции: lim f (t) − sn (t) = 0 . ►

n→∞

Определения. Пусть X – ЛНП (не обязательно банахово), а {xn} – некоторая последовательность, {xn} X. Формально составленная

тичной суммой ряда. (Заметим, что n: sn X, см. определение ЛНП).

k =1

1.5. Пространства со скалярным произведением

Обобщим понятие скалярного произведения, известное из курса аналитической геометрии, на произвольные векторные пространства.

Определение. Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре его элементов x,y E поставлено в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением (обозначаем <x,y>) так, что выполняются следующие аксиомы.

1°. x E: <x,x>≥0, причем <x,x>=0 x=θ. 2°. x,y E: <x,y>=<y,x>.

3°. x,y E, λ R: <λx,y>=λ<x,y>. 4°. x,y,z E: <x+y,z>=<x,z>+<y,z>.

Заметим, что в данном определении ничего не говорится о нормированности пространства E. Однако всякое евклидово пространство можно превратить в нормированное, если ввести норму элемента следующим образом:

13

Аксиомы нормы 1° и 2° при этом выполняются очевидным образом. Для доказательства выполнения аксиомы 3° (неравенства треугольника) предварительно рассмотрим следующую лемму.

Лемма 1. Норма, введённая в соответствии с (3), удовлетворяет неравенству Коши-Буняковского (или Шварца):

< x, y > ≤ x y .

◄ Заметим, что λ R:

0 ≤ <x-λy,x-λy> = <x,x>-2λ<x,y>+λ2<y,y>= x 2 − 2λ < x, y > +λ2 y 2 .

Поэтому дискриминант полученного квадратичного трехчлена переменной λ: 4(< x, y >)2 −4 x 2 y 2 ≤ 0 , что и доказывает неравенство Ко- ши-Буняковского (К-Б). ►

Докажем теперь выполнение аксиомы треугольника для нормы (3). Так как

x + y 2 =< x + y, x + y >= x 2 + 2 < x, y > + y 2 ≤ x 2 + 2 < x, y > + y 2 ,

то применяя к последнему выражению неравенство К-Б получаем:

x + y 2 ≤ x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y)2 ,

x + y ≤ x + y .

Определения. Ортогональными элементами евклидова пространст-

ва E называются такие элементы x,y E, что <x,y>=0. Ортогональность элементов обозначаем x y. Очевидно, нулевой элемент ортогонален всем элементам пространства. Ортогональной системой в E называем множество взаимно ортогональных элементов {xn} E.

Теорема 4. Если {xk }kk ==1m – ортогональная система ненулевых элементов

в евклидовом пространстве E, {xk }kk ==1m E, то элементы {xk }kk ==1m – ли-

нейно независимы.

◄ Схема доказательства теоремы аналогична случаю пространств арифметических векторов Rn. ►

Следствие. В n-мерном евклидовом пространстве ортогональная система из n ненулевых элементов образует базис.

В дальнейшем нам понадобятся два свойства скалярного произведения, которые устанавливаются в следующих леммах.

14

Лемма 2. (Свойство непрерывности скалярного произведения.) Пусть в евклидовом пространстве E заданы две сходящиеся последовательно-

< xn , yn > − < x, y > = < xn − x, yn > + < x, yn − y > ≤

≤ < xn − x, yn > + < x, yn − y > ≤ xn − x yn + x yn − y . (Последний переход осуществлен на основании леммы 1.) Поскольку

раничена, выражение в правой части неравенства стремится к нулю при

n→∞. Следовательно, lim < xn , yn >=< x, y > . ►

n→∞

Лемма 3. (Равенство параллелограмма.) Для любых элементов x, y евклидова пространства E и нормы (3) верно:

k =1

Пример 7. Пространство L2[a,b] кусочно-непрерывных на отрезке t [a,b] вещественных функций с нормой, индуцированной скалярным

произведением < f , g >= ∫ab f (t)g(t)dt - гильбертово. (Заметим, что если требование кусочной непрерывности заменить на непрерывность функ-

15

ций, полученное пространство не будет полным, см. пример 5.) Проверьте (самостоятельно), что так определенное скалярное произведение удовлетворяет аксиомам 1°-4°.

Замечание. Строго говоря, пространство, обозначаемое L2[a,b], определяется на более широком классе функций. Для строгого определения данного пространства требуется введение меры Лебега и интеграла Лебега, что выходит за рамки данного пособия.

Для пространств Гильберта решение задачи аппроксимации, т.е. отыскания элемента наилучшего приближения, принимает наиболее общий вид.

1.6. Аппроксимация в гильбертовом пространстве

Сформулируем задачу, которую будем рассматривать в данном разделе. Пусть H – гильбертово пространство, а L – подпространство в H, L H. Для произвольного элемента x H необходимо найти элемент наилучшего приближения (ЭНП) y L, для которого ρ(x, y) = ρ(x, L) , то

Теорема 5. Существует единственный ЭНП y L, который является решением задачи аппроксимации (4).

k=1,2,…, сможем построить последовательность элементов {uk} L такую, что

d ≤ x − uk < d + k1 .

Покажем, что {uk} – фундаментальная последовательность. С использованием равенства параллелограмма (лемма 3) имеем:

16

поскольку элемент v = um 2+ un L и

Величину um − un можно ограничить как угодно малым значени-

ем за счет надлежащего выбора числа N, т.е. последовательность {uk} – фундаментальна, и вследствие полноты H lim uk = y H . А поскольку

сходящаяся последовательность {uk} L и L – подпространство (т.е. замкнутое множество), то верно также: y L. Тогда ρ(x, y) = d , и суще-

ствование ЭНП доказано.

Покажем, что ЭНП y – единственный. Допустим противное. Пусть

~

наряду с y существует также другой ЭНП y L , т.е.

параллелограмма и аксиомы треугольника для нормы получаем:

Теорема 6. Пусть L – подпространство в гильбертовом пространстве H, y L – ЭНП для произвольного элемента x H. Тогда любой элемент u L ортогонален элементу v=x-y: v u, что обозначают также v L.

◄ Допустим противное, т.е. u L: <x-y,u>=σ≠0. Тогда u≠θ, и (см. аксиому 1° скалярного произведения) <u,u> >0. Рассмотрим элемент

т.к. y L, u L. Имеем:

17

Следствие из теорем 5,6. Пусть L – подпространство в H. Тогда x H

Теорема 6 определяет способ нахождения ЭНП для x H в случае конечной размерности подпространства L с заданным (не обязательно

Определитель полученной системы линейных уравнений есть определитель матрицы Грама G = {< g j , gk >}kn, j=1 , причём detG≠0 в силу линейной независимости элементов {g1 , g2 ,K, gn }. (Напомним, что detG=0 тогда и только тогда, когда элементы {g1 , g2 ,K, gn } линейно зависимы.) Таким образом, система уравнений (5) имеет единственное решение –

Если же элементы базиса подпространства {g1 , g2 ,K, gn } L не только линейно независимы, но и ортогональны, то поиск коэффициентов {λj }nj=1 упрощается (убедитесь самостоятельно):

Определение. Пусть L – подпространство в H. Совокупность всех элементов из H, ортогональных к L, L ={x H | x L} , называется

ортогональным дополнением подпространства L.

То есть для любой линейной комбинации z=αx+βy элементов из L : z L, следовательно, z L и L – линейное многообразие.

Замкнутость. Возьмем произвольную сходящуюся последовательность {zn} L , и покажем, что предельная точка limzn=z L . Имеем u L: <u,zn>=0, но в силу непрерывности скалярного произведения (лемма 2)

lim <zn,u>=<z,u>=0. Следовательно, z L и множество L содержит все

n→∞

свои предельные точки, т.е. замкнуто. ►

Определение. Будем говорить, что гильбертово пространство H разлагается в ортогональную сумму подпространств L1,L2,…,Ln и записывать это как H=L1 L2 … Ln, если:

19

1) Все подпространства L1,L2,…,Ln попарно ортогональны, т.е.

u Li, v Lj: <u,v>=0, если i≠j.

n

2) x H существует разложение x = ∑xi , где xi Li.

i =1

Теорема 8. Пусть в гильбертовом пространстве H задано конечномерное подпространство L с ортогональным базисом {g1 , g2 ,K, gn }, а

n

y = ∑λj g j – ЭНП для произвольного элемента x H. Тогда для «векто-

j=1

ра-ошибки» x-y:

Пусть теперь в H задана бесконечная последовательность ненуле-

вых ортогональных векторов {ϕk }∞k =1 H . (Это означает также, что H – бесконечномерно, так как ортогональные элементы линейно независи-

зать, что Ln – замкнуто, т.е. является подпространством. Так как Ln –