книжка умняшкина по моцос

нение (1) принимает вид: φ( x) = φ(2x)+φ(2x −1), откуда h0 = h1 =1 2 ,k≠0,1: hk=0. Тогда коэффициенты для уравнения (3) можем выбрать:

стройте самостоятельно графики масштабирующей функции φ(x)=φ0,0(x),

материнского вейвлета ψ(x)=ψ0,0(x), вейвлетов ψ1,0(x), ψ1,1(x), и сравните их с графиками функций системы Хаара из примера 1.12. Что можно

сказать о свойствах функций f(x) Vm?

◄ Базисом пространства Vm являются (см. лемму 1) функции {φm,n (x)}n Ζ , которые в данном случае являются кусочно постоянными:

Поскольку любая функция f(x) из подпространства Vm должна быть

постоянными: f(x)=const при x ∆mn . ►

Укажем на частотные свойства функций из подпространств Vj, Wj, j Z. Если ∆ν0 – понимаемая в каком-либо смысле (см. раздел 2.3) ширина частотной полосы спектров масштабирующих функций S0,n(ν)=Ф{φ0,n(x)}, то для масштабирующих функций {φj,n(x)}n Z – базиса Vj – частотная полоса ∆νj будет шире в 2j раза. Например, для понимаемой в смысле эффективного значения ширины частотной полосы в силу свойств 2°-4° интеграла Фурье (см. раздел 2.1):

тесь!) эффективное значение длительности для базисных функций

151

С частотной точки зрения понижение точности проецирования при уменьшении номера m подпространства Vm можно объяснить сужением частотной полосы базисных функций, и как следствие, своего рода низкочастотной «сглаживающей» фильтрацией исходного сигнала, при которой отбрасываются высокие частоты исходного спектра S(ν)=Ф{f(x)}. Переход от проекции fm Vm к более точной fm+1 Vm+1, напротив, означает двукратное расширение частотной полосы базисных функций и, соответственно, добавление дополнительных высокочастотных составляющих в представление проекции fm+1 Vm+1.

Поскольку Vm Wm =Vm+1 , то любую функцию fm+1 Vm+1 можно представить в виде ее «сглаженной» проекции fm Vm, частотная полоса которой вдвое уже по сравнению с fm+1 Vm+1, и некоторой функции

ym Wm из пространства вейвлетов: fm+1(x)=fm(x)+ym(x), причем fm ym. Разность между функцией fm+1 и ее сглаженной копией fm: ym=fm+1-fm – это

как раз недостающие высокочастотные составляющие функции

fm+1 Vm+1, те «детали», которые «уточняют» проекцию fm до fm+1. Можно сказать, что в разложении fm+1=fm+ym первое слагаемое соответствует

нижней, а второе – верхней половине частотного диапазона функции

fm+1 Vm+1.

7.2. Проецирование функций на подпространства КМА

Как мы увидим далее, в качестве исходного объекта для вейвлетанализа вместо функции f(x) L2(R) оказывается удобнее рассматривать элемент наилучшего приближения fM=AM(f) VM, где AM – оператор проецирования функции на подпространство VM L2(R):

n=−∞

Как отмечалось в разделе 7.1, за счет надлежащего выбора подпространства VM можно получить как угодно высокую точность приближения исходной функции f(x) ее проекцией fM(x). Поэтому для любой практической задачи найдется такое подпространство VM, которое позволит адекватно описать сигнал f(x) элементом наилучшего приближения fM(x).

152

Пример 2. Для КМА, построенного в примере 1, оценить ошибку приближения ε = f − fN для дифференцируемой функции f(x), определен-

ной на отрезке x [0,1].

◄ В пространстве VN проекция fN=AN(f) функции f(x), заданной на отрезке x [0,1], для КМА из примера 1 может быть представлена в виде:

n/ 2N

x∆Nn . Заметим, что в силу дифференцируемости f(x) – непрерывна,

поэтому n = 0,K,2N −1 xn ∆Nn : fn = f (xn ) ; с использованием данного обозначения можем записать:

Представим f(x) при помощи формулы Тейлора:

f (x) = f (xn ) + f ′(xn )( x − xn ) + O((x − xn )2 ).

153

xn=(n+0,5)h ), то отбрасывая бесконечно малую величину более высокого

Задать функцию fM(x) VM, как видно из (4) и приведенного примера 2, можно набором коэффициентов

−∞

n Z. Однако вычисление интегралов (6) при аппаратной обработке сигналов представляет собой сложную для реализации процедуру. Оказывается, набор коэффициентов (6) можно достаточно точно найти в результате обычной дискретизации непрерывного сигнала f(x). Поясним данное утверждение.

Масштабирующие функции, используемые для построения КМА, имеют выраженную локализацию во временной области и чаще всего обладают финитным носителем (см. пример 1). В силу этого интеграл (6) можно приближенно представить в виде

154

где ∆Mn - интервал локализации функции φM ,n (x) (в частности, отрезок, который содержит носитель φM ,n (x) , а если последний конечен, то в (7)

следует записать строгое равенство). Именно вейвлеты и порождающие их масштабирующие функции, которые обладают финитным носителем во временной области, реально используются в цифровой обработке сигналов и потому представляют особый интерес.

Если конечный носитель для масштабирующей функции φ(x)=φ0,0(x)

резки длины ∆Mn = ∆00 2M . Поскольку, рассматривая для исходного

описания сигнала его проекцию fM(x) VM, можно выбрать как угодно большое число M, то можно добиться как угодно малой длины отрезка

пример, его середина. Не меняя общности рассуждений положим, что

можно получить x ∆Mn : f(x)=f(xM,n)±ε≈const. Тогда, вынося константу из-под знака интеграла в (7), имеем:

aM ,n = ∫ f (x)φM ,n (x)dx ≈

∆Mn

деляет лишь масштаб представления функции (сигнала) по оси абсцисс и часто может быть опущен. Таким образом, с любой достаточной для практики точностью коэффициенты разложения (4) можно получить в результате равномерной дискретизации сигнала f(x) c шагом

f (x) ≈ f (x + h) . Как оценить эту точность?

Пример 3. Для дважды дифференцируемой функции f(x), заданной на отрезке x [0,1], и КМА, построенного в примере 1, оценить ошибку

ние, при котором коэффициенты разложения получены по формуле (8) в результате масштабирования и равномерной выборки с шагом h=1/2N отсчетов функции:

получаем:

156

Отбросим величину более высокого порядка малости, чем O(h4 ) , тогда:

рядок малости, превосходящий порядок ошибки проецирования (5). То есть на практике использование точного проецирования с применением формулы (6) для КМА из примера 1 лишено смысла и влечет лишь увеличение вычислительных затрат. ►

В общем случае приближенное вычисление коэффициентов (6) с использованием формулы (8) дает бóльшую ошибку по сравнению с оценкой (9), полученной в примере 3.

Лемма 2. При использовании формулы (8) для приближенного вычисления коэффициентов (6) дифференцируемой функции f(x), для КМА с

теорему 1.1), получаем:

157

Отбрасывая бесконечно малую величину более высокого порядка, чем O(h3) и извлекая корни, получаем искомое неравенство. ►

Следствие. Если ∆00 =1 , то в пространстве L2[0,1] ошибка приближе-

ния, определяемая использованием формулы (8) для дифференцируемой функции в общем случае равна:

◄ Убедитесь самостоятельно аналогично тому, как это было проделано в примере 3. Сравните полученную оценку (10) с результатом примера 3

– неравенством (9). ►

Таким образом, мы пришли к важному выводу: с точностью до постоянного масштабного множителя С при достаточно малом шаге дискретизации коэффициенты разложения (4) можно трактовать как отсче-

ты дискретного сигнала, взятые с шагом δx =1/ 2M .

7.3. Вычисление вейвлет-преобразований

Рассмотрим вопросы практического вычисления вейвлетпреобразования произвольной функции f(x) L2(R), т.е. нахождения коэффициентов Фурье {cm,n} ряда

m=−∞ n=−∞

Оказывается, можно не вычислять интегралы

158

Умножим равенство (14) скалярно на элемент φm-1,k(x):

∞

∑am,n < φm,n (x),φm−1,k (x) > = am−1,k

n=−∞

иподставим в полученное уравнение вместо функции φm-1,k(x) ее представление по (15):

am−1,k = ∑am,n φm,n (x), ∑hj−2kφm, j (x) = ∑am,n ∑hj−2k φm,n (x),φm, j (x) . n Ζ j Z n Ζ j Z

В силу ортонормированности системы {φm,k (x)}k Ζ Vm получим окончательно k:

. (17)

Аналогично, умножая уравнение (14) скалярно на функцию ψm-1,k(x) и затем представляя последнюю при помощи выражения (16), получим k:

m = M , M −1, M −2,K позволяет найти коэффициенты разложения (13) по известному набору (6), т.е. выполнить вейвлет-преобразование функции f(x) L2(R), заданной своей проекцией fM(x) VM. Отметим, что вычисления по формулам (17), (18) носят дискретный характер, сводятся к обработке числовых последовательностей. Причем для КМА, образованного масштабирующей функцией с конечным носителем, суммы в (17) и в (18) также конечны. Алгоритм вычислений можно изобразить в виде следующей схемы (рис. 7.1).

Рисунок 7.1. Схема вычисления вейвлет-преобразования

160