Добавил:

korayakov Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Математическое обеспечение цифровой обработки и кодирование сигналов

Файл:

книжка умняшкина по моцос

.pdf

Скачиваний:

133

Добавлен:

16.04.2013

Размер:

1.55 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

2πi

N −1

W =

−

матрица

ОДПФ

k, j

k, j=0

2πi

N −1

W−1 = W

(убедитесь!).

k, j

k , j =0

Определение. Комплексная матрица W называется унитарной, если

W−1 = W* (сопряженная к W матрица, W* = WT ). Соответствующее дискретное преобразование B=WA также называется унитарным.

Как видим, ДПФ – унитарное преобразование. В частном случае,

для вещественных преобразований, W−1 = WT , и вместо понятия «унитарность» используется термин «ортогональность». Важнейшее свойство унитарных (ортогональных) преобразований – сохранение евклидовой нормы векторов – раскрывается в следующей лемме.

Лемма 1. Для любой унитарной матрицы W и любого вектора A евклидова норма вектора B=WA: A E = B E .

N −1

◄

2E = ∑

= ∑

T B = (

)T (WA)=

bk bk =

k =0

T WA =

T A =

2 .

►

123

Данное свойство сохранения евклидовой нормы преобразования B=WA представляет собой дискретный аналог равенства Парсеваля:

N∑−1 ak 2 = N∑−1 bk 2 .

k =0

3.6. Быстрое преобразование Фурье (БПФ)

Обозначим x(k)=xk, y(k)=yk и запишем ДПФ:

y(k) = 1	N −1	−	2π i	kj ,
y(k) = 1	∑x( j) e	−	N	kj ,	(15)
N	j =0

k = 0,K, N −1.

Хотя преобразование (15) определено для k=0,1,…,N-1, можно рассматривать (15) и для любого целого значения индекса k, при этом y(k)=y(k+N), т.е. период последовательности {yk }k Z равен размерности

ДПФ.

Рассмотрим ДПФ размерности N=2		n				2πi
		. Обозначив		ωn = exp	−		,
		. Обозначив		ωn = exp	−		,
						2n
	~	= N y(k) :
запишем «ненормированное» ДПФ, y(k)		= N y(k) :
~	2n −1	kj				(16)
~		kj
y(k) =	∑x( j)ωn .
	j =0	~
Для вычисления каждого коэффициента		~	, как легко видеть, требу-
Для вычисления каждого коэффициента		y(k)	, как легко видеть, требу-

ется около 2n комплексных сложений с умножениями. Итого, для реализации (16) требуется около 2n×2n=22n комплексных сложений с умножениями.

Пусть X0 = (x(0), x(2),K, x(2n −2))= (x0 (0), x0 (1),K, x0 (2n −1 −1)) – вектор чётных, а X1 = (x(1), x(3),K, x(2n −1))= (x1(0), x1(1),K, x1(2n −1 −1))

–	нечётных отсчётов исходного вектора X. Тогда, замечая, что
ω2	= ω	, для (16) получаем (k=0,1,…,2n-1):
n	n−1

2n−1 −(1

~ = ∑

y(k) x(2

j=0

2n−1 −1		2n−1 −1
j)ωnk 2 j + x(2 j +1)ωnk(2 j+1) )= ∑x0 ( j)ωnkj−1 +ωnk ∑x1( j)ωnkj−1 ,
j=0		j=0
1442443		1442443
~	(k)	~	(k)
Обозначимy0	(k)	Обозначимy1	(k)

где ~y0 (k) – k-й элемент ДПФ (16) размерности N=2n-1 вектора X0, а ~y1(k) – k-й элемент для ДПФ (16) вектора X1. Учитывая, что

n−1

2n−1 +k

−

2πi

(k + 2

) ,

(k) = y0

(k) = y1(k + 2

) , и ωn

= e

последнее выражение для

можем переписать:

y(k)

(k) +

k ~

(k)

y(k)

= y0

ωn y1

n−1

)

(k) −

k ~

(k) .

y(k

= y0

ωn y1

= 0,1,K,2n−1 −1

(2n−1 +k )

= −ωnk ,

(17)

При		помощи			(17)	мы	выразили		коэффициенты
~	~	~	~	n	−1)) ДПФ (16) размерности 2			n	через коэффици-
Y = (y(0), y(1),K, y(2					−1)) ДПФ (16) размерности 2				через коэффици-
62

n-1

n−1

−1)) и

енты

ДПФ

размерности 2 :

Y0 = (y0

(0), y0

(1),K, y0

n−1

(y1(0), y1

(1),K, y1(2

−1)), которые получены из векторов X0 и X1

соответственно.

Таким образом, вычисление 2n-точечного (для 2n отсчётов) ДПФ можно осуществить, выполнив предварительно два 2n-1-точечных ДПФ.

Вычисление спектров	~	и	~	размерности 2	n-1	по (16) требует около
	Y0		Y1

22(n-1) комплексных умножений в каждом случае, всего 22n-1 комплексных умножений. Ещё 2n-1 умножений требуется выполнить далее при дальнейшей реализации (17). Итого, реализация ДПФ (16) размерности 2n с использованием (17) потребует порядка 22n-1+2n-1~22n-1 операций комплексного умножения, т.е. примерно в два раза меньше, чем при непосредственной реализации ДПФ по формуле (16). Граф вычислений 8- точечного ДПФ по описанной схеме приведён на рисунке 3.4.

Дальнейшее использование идеи формулы (17) для ДПФ размерности N=8 дает полный граф вычислений, который изображен на рис. 3.5.

x(0)=x0(0) x(2)=x0(1) 4-точ.

X0 x(4)=x0(2) ДПФ x(6)=x0(3)

x(1)=x1(0) x(3)=x1(1) 4-точ.

X1 x(5)=x1(2) ДПФ x(7)=x1(3)

Условные обозначения: a с ca

умножение

y0 (0)				y(0)
~				~
~				~
y0	(1)			y(1)
y0	(1)			y(1)
~				~
y0	(2)			y(2)
y0	(2)			y(2)
~				~y(3)
y0	(3)
y0	(3)	ω30 =1
~	(0)	ω30 =1		~	(4)
y1	(0)	ω3		y	(4)
~	(1)	ω3		~	(5)
y1	(1)	ω32		y	(5)
~	(2)	ω32		~y(6)
y1	(2)	ω33		~y(6)
~	(3)	ω33		~y(7)
y1	(3)			~y(7)
	a		a+b

			Сложение-вычитание

	b		a-b

Рисунок 3.4. Граф вычислений ДПФ, определяемый формулой (17), на примере преобразования размерности N=8

x(0) x(4)

x(2)

x(6)

x(1)

x(5)

x(3)

x(7)

4-точечное ДПФ

ω10

2-точ. ДПФ

ω10

2-точ. ДПФ

ω10

Y0,0

Y0,1

Y1,0

Y1,1

ω20

ω2

ω20

ω2

	4-точечное ДПФ
Шаг 1	Шаг 2
	Шаг 2

ω30

ω3

Y1 ω32

ω33

~y(0)

~y(1)

~y(2)

~y(3)

~ =

Y 8Y

~y(4)

~y(5)

~y(6)

~y(7)

Шаг 3

Рисунок 3.5. Граф быстрого вычисления 8-точечного ДПФ (обозначения см. рис.3.4.)

В общем случае при размерности преобразования N=2n процедура сведения ДПФ к двум ДПФ меньшей размерности выполняется n раз. В соответствующем алгоритме быстрого преобразования Фурье (БПФ) имеем n шагов (см. также рис. 3.5). На j-м шаге 2n-j раз выполняются вычисления, аналогичные (17), результатом которых являются 2n-j «частичных» ДПФ размерности 2j, выполненные над некоторыми подмножествами отсчётов исходного вектора X. Каждый шаг требует (см. (17)) око-

ло N2 = 2n−1 комплексных умножений (по сравнению с комплексными

сложениями или вычитаниями это намного более сложные арифметические операции, и именно по ним мы будем оценивать сложность алго-

ритма), итого в алгоритме БПФ имеем около n2n−1 комплексных умножений, вместо 22n при непосредственной реализации ДПФ по формуле (16). Так, для размерности N=210=1024 выигрыш в сокращении числа вычислительных операций – два порядка (около 200 раз).

Как видно из формулы (17) и примеров, приведённых на рис. 3.4 и 3.5, базовой операцией БПФ на j-ом шаге является так называемая «бабочка», см. рис. 3.6.

a		a +bωkj	j=1,…,n (номер шага)
	ωkj		k=0,…,2j-1-1

		a −bωkj
b		a −bωkj

Рисунок 3.6. Элементарные операции алгоритма БПФ на j-м шаге

Алгоритм БПФ, основанный на рекуррентном использовании формулы (17), называется алгоритмом БПФ с прореживанием во времени, так как (см. также пример рис. 3.4) вычисление ДПФ размерности N сводится к обработке векторов X0, X1, полученных «прореживанием» (выбором каждого второго отсчёта, только чётных или только нечётных номеров) вектора X.

Запишем ДПФ и ОДПФ в матричном виде, исключив нормировочный множитель 1 N из структуры матриц преобразований:

Y =	1	WX
Y =	N	WX
	N		,	(18)
	1		,	(18)
X =	1

	N	WY
	N
				65

			2πi	N −1
где	W = wl,m = exp	−		lm	. Тогда алгоритм БПФ можно трак-
где	W = wl,m = exp	−	N	lm	. Тогда алгоритм БПФ можно трак-
			N	l,m=0

товать как представление матрицы ДПФ в (18) в виде произведения слабозаполненных (т.е. состоящих в основном из нулевых элементов) матриц: W = WnWn−1 K W1 , где каждая матрица Wj соответствует j-му

шагу алгоритма БПФ

= ~ =

N Y Y Wn Wn−1 K W1X

{

142шаг431

14424L43

14442шаг4n−41 43

шаг n

и содержит в каждой строке лишь два ненулевых элемента: 1 и ωkj ,

k=0,…,2j-1-1. Представление матрицы ДПФ в виде произведения слабозаполненных матриц называют факторизацией матрицы.

Пример 4. Представить матрицу ДПФ размерности N=8 в факторизованном виде, соответствующем алгоритму БПФ с прореживанием по времени.

◄ Для N=23 получаем три матрицы-сомножителя в разложении метрицы

ДПФ: Y = 1 W3W2W1 X и, соответственно, три шага алгоритма БПФ

18442443

(см. рис. 3.5). Структура матрицы W3 соответствует последнему шагу алгоритма БПФ (изображенному на рис. 3.1) в использованных выше

~	Y~	~	~	~	есть со-
обозначениях: Y = W	0	, где Y =	8Y , а векторы Y	и Y	есть со-
3	Y~		0	1
	1

ответственно результаты 4-точечных «ненормированных» ДПФ (16), выполненных над чётными X0 и нечетными X1 отсчётами вектора X. Несложно убедиться, что граф рисунка 3.4 (см. также (17)) соответствует следующей матричной операции умножения:

					~				1	0	0	0	1	0	0	0			~
						(0)			0	1	0	0	0	ω	0	0				(0)
				y0														y0
					~	(1)								3	2				~	(1)
					y				0	0	1	0	0	0		0			y
					~0	(2)									ω3				~0	(2)
		~			y												3		y
~					~0	(3)			0	0	0	1	0	0	0	ω			~0	(3)
	Y		= W		y		=												y		,
Y = W		0			0											3			0
3		~	3		~	(0)			1	0	0	0	−1	0	0	0			~	(0)
		Y			y1														y1
		1			~	(1)			0	1	0	0	0	−ω	0	0			~	(1)
					y														y
					~1	(2)								3	2				~1	(2)
					y				0	0	1	0	0	0		0			y
					~1	(3)									−ω3				~1	(3)
				y1					0	0	0	1	0	0	0	−ω		y1
																		3
																	3
								144444444424444444443
													W3

			−i	π
где ω3 = exp				4	. В свою очередь (см. рис. 3.5 и (17))

	~	(0)			1	0	1	0		~			1	0	1	0
y0
~	~	(1)			0	1	0	ω	Y				0	1	0	ω
Y0 =	y		=					2		~	0,0	=				2
	~0	(2)			1	0	−1						1	0	−1
	y0							0	Y							0
	~	(3)			0	1	0				0,1		0	1	0	−ω2
y0								−ω2

~	(0)
y0,0	(0)
~	(1)
y	(1)	,
~0,0	(0)	,
y0,1	(0)
~	(1)
y0,1	(1)

	~	(0)		1	0	1	0		~		1
~	y1
	~	(1)		0	1	0	ω	Y			0
Y1	y		=				2		1,0	=
	= ~1	(2)		1	0	−1			~		1
	y1						0	Y
	~	(3)		0	1	0			1,1		0
	y1						−ω2

0	1	0
1	0	ω2
0	−1	0
1	0	−ω2

~	(0)
y1,0	(0)
~	(1)
y	(1)	,
~1,0	(0)	,
y1,1	(0)
~	(1)
y1,1	(1)

		−i		π
где ω2 = exp				2	= −i . Отсюда для матрицы W2 получаем структуру:

					~			1		0	1	0	0	0	0	0			~		(0)
						(0)											y
				y0					0	1	0	−i	0	0	0	0			~0,0		(1)
					~y0	(1)											y0,0
					~	(2)		1		0	−1 0		0	0	0	0			~		(0)
	~				y0												y0,1
					~	(3)		0		1	0	i	0	0	0	0			~		(1)
Y			=		y		=										y0,1					.
	~0				~0	(0)			0	0	0	0	1	0	1	0			~		(0)
	Y				y1												y1,0
	1				~	(1)			0	0	0	0	0	1	0	− i			~		(1)
				y1														y1,0
					~	(2)													~
					y			0		0	0	0	1	0	−1 0					(0)
					~1	(3)													y1,1
				y1					0	0	0	0	0	1	0	i			~	(1)
																	y1,1
								1444442444443
												W2

Аналогично, по графу рисунка 3.5 получаем структуру матрицы W1:

~		(0)		1		0	0	1	0	0	0	0
y
~0,0		(1)			1	0	0	−1	0	0	0	0	x(0)
y														x(1)
~0,0		(0)			0	0	1	0	0	1	0	0
y0,1													x(2)
~		(1)		0		0	1	0	0	−1	0	0		x(3)
y0,1			=												.	►
~		(0)												x(4)
y					0	1	0	0	1	0	0	0
~1,0		(1)												x(5)
y				0		1	0	0	−1 0		0	0
~1,0	(0)													x(6)
y				0		0	0	1	0	0	0	1
1,1
~	(1)				0 0 0 1 0 0 0								x(7)
y1,1												−1
				1444442444443
								W1

Кратко остановимся на построении быстрого алгоритма обратного ДПФ. Все проведённые рассуждения для прямого ДПФ (16) можно в

		2πi			2πi
точности повторить, вместо ωj = exp	−		положив	ωj = exp		,
		2 j			2 j

верными останутся и аналитическое выражение (17), и примеры графов вычислений, приведённые на рисунках. Однако имея вычислительную

~ =

процедуру реализации ДПФ Y WX , т.е. реализацию умножения мат-

рицы ДПФ на вектор: V=WU, умножение на матрицу W , необходимое при ОДПФ (см. (18)), можно выполнить в три этапа. Реализация процедуры B = WA сводится к следующей последовательности действий.

1.U← A . (Сформировать вектор U из комплексно сопряженных компонент вектора A.)

2.V=WU. (Используя имеющуюся процедуру реализации ДПФ, выполнить умножение матрицы на вектор.)

3.B ← V . (Сформировать вектор B из комплексно

сопряженных компонент вектора V.)

Таким образом, реализовав быстрый алгоритм умножения на матрицу W, сразу получаем и процедуру быстрого алгоритма умножения на мат-

рицу W .

3.7. Дискретное преобразование Уолша

Определение. Дискретным преобразованием Уолша (ДПУ) вектора X = (x0 , x1,K, x2n −1 ) назовем вектор Y = (y0 , y1,K, y2n −1 ), компоненты которого находятся по формуле:

yk = 1	2n −1
yk = 1	∑x j wk ( j / 2n ) ,	(19)
2n j=0
где wk(t) – k-я функция системы Уолша (см. раздел 1.7).
Замечание. Положив,	что xj – это отсчёты некоторой	функции,

xj=f(j/2n), определённой на отрезке t [0;1], формулу (19) можно рассматривать как приближённое вычисление по формуле прямоугольников интеграла:

1	n	1n	= 1 yk
ck = f (t), wk (t) = ∫ f (t)wk (t)dt ≈	2∑−1 x j wk ( j / 2n )	1n	= 1 yk
0	j =0	2	2n

(с точностью до множителя 1 2n ). Напомним, что ck представляет

собой k-й коэффициент Фурье разложения функции f(t) по системе Уолша.

ДПУ часто удобнее представлять в матричном виде, Y=WX, где

			= 1			2n −1
матрица ДПУ W =		w	= 1		w ( j / 2n )	.
		k, j		n	k
		{	2	n	14243
	эл-т матрицы				отсчётф.Уолша k , j =0

Лемма 2. Матрица ДПУ – симметрическая, т.е. W=WT.

◄ Напомним, что любое вещественное неотрицательное число t R

можно	записать	в	виде	двоичного	разложения:
∞	M (t)		−1
t = ∑tm 2m = ∑ tm 2m		+	∑tm 2m	, где m	tm {0,1} и
m=−∞	m=0		m=−∞
	14243		14243

[ x] - целая часть {x}− дробная часть

tm ≡ [t / 2m ] (mod 2) , 0≤tm≤1. Тогда

для t≥0 функцию r0(t) системы Радемахера (определение системы см. раздел 1.7) можно определить следующим образом (убедитесь!):

r0		∞	m	1, приt−1 =0
r0	(t) =r0	∑tm 2	= −1, при t		−1	=1.
	m=−∞				−1
Напомним, что			r	(t) = r (2m t) , по-
			m	0

r0(t)

0,5

-1

t-1=0

t-1=1

t-1=0

этому

для

точек

t = j 2n

можем

записать:

r ( j / 2n ) = r		2m−n	M ( j)
r ( j / 2n ) = r		2m−n	∑
m	{ 0		∑
	t		µ=0

jµ 2µ = r0 M∑( j)

µ=0

l	M ( j)+m−n
64748	M ( j)+m−n
jµ 2µ+m−n	= r0	∑	jl −m+n 2l	.
		l =m−n	123
		l =m−n	tl

Отсюда

( j / 2n ) =

1, при j−1−m+n

= 0

= (−1) jn−1−m .

−1, при j

−1−m+n

Поэтому для функций Уолша при k=0,…,2n-1 имеем:

−1

j n−1−m km

n−1

kn−1−µ jµ

= ∏ rm

∏(-1)

= ∏(-1)

= wj

2 m=0 2

123

m=0

µ=0

т.е. w

( j / 2n ) = 1

(k / 2n ) = w

j,k

, и

матрица

ДПУ –

симметрическая. ►

Теорема 4. Матрица ДПУ – ортогональна.

◄ Нужно доказать, что W-1= WT. Для этого обозначим U=WWT=WW и

покажем, что матрица U – единичная, т.е.	1, приk = j		. Рассмот-
	uk, j =	j
	0, приk ≠

рим элемент k-ой строки j-ого столбца матрицы U, который представляет собой скалярное произведение k-ой строки матрицы W и j-ого столбца матрицы W:

2n −1

2n −1 1

uk, j =

∑wk,m wm, j =

∑wk,m w j,m =

∑

w j

m=0

m=0 2

Поскольку k=0,…,n-1 rk(t)=const при

m +1

t ∆m =

;

(см. (1.10)),

n−1

то на этих же интервалах ∆nm также ν<2n

wν (t) = ∏(rk (t))νk = const .

k =0

Поэтому последнее выражение для uk,j можем переписать:

1 wk (t)wj (t)dt =<wk (t), wj (t)>= 1, приk = j

uk, j = 2∑−1

∫

wk (t)wj (t)

dt =

14243

∫

0, приk ≠ j

m=0 ∆nm

const=w

k 2n

j 2n

в силу ортонормированности системы Уолша (см. теорему 1.11). ►

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 187 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>