книжка умняшкина по моцос

Исторически для представления сигнала на конечном интервале наблюдения длительности T все начиналось с тригонометрической системы (или базиса комплексных экспонент)

Тригонометрический базис очень часто является наилучшим выбором для представления информации (исходного аналогового сигнала или последовательности отсчетов дискретного сигнала) во многих практических задачах. Этот базис оказывается оптимальным по многим критериям при работе со стационарными случайными процессами. Так, коэффициенты Фурье в этом случае представляют собой некоррелированные величины, а это как раз то свойство обрабатываемых данных, к которому мы стремимся при использовании корреляционной модели дискретного сигнала. Однако, как отмечалось в разделе 6.2, адекватное описание дискретного сигнала при помощи ковариационной матрицы не всегда возможно в силу его изменяющихся во времени статистических свойств. Это означает, что реальные, интересующие нас сигналы, в большинстве случаев являются нестационарными случайными процессами, имеют «особенности» во временной области («срыв» стационарности). Например, для цифровых изображений (двумерных массивов яркостей точек-пикселей) такие особенности проявляются вблизи контуров объектов, а стационарный характер данных наблюдается в фоновых областях и областях текстур. Для представления этих особенностей тригонометрический базис неприемлем и вызывает хорошо известный эффект Гиббса, связанный с распространением влияния особенности на всю область тригонометрического разложения сигнала при отбрасывании части спектральных коэффициентов. Приведем иллюстрацию данного эффекта для дискретного случая.

Пример 1. (Дискретный аналог эффекта Гиббса.) Пусть дискретный сигнал – N-компонентный вектор X=(1,0,0,…,0) (единичный импульс). Найти ошибку представления сигнала при отбрасывании какой-либо спектральной составляющей.

◄ Данный дискретный сигнал представляет собой наиболее яркий пример «особенности», дискретный аналог дельта-функции. Для дискретного спектра сигнала, который находится при помощи ДПФ (3.12), по-

лучаем k=0,…,N-1:

141

j=0,…,N-1. Получаем, что вектор ошибки при отбрасывании произвольной спектральной компоненты ym представляет собой гармоническое колебание, т.е. влияние ошибки распространяется на весь вектор дискретного сигнала. ►

Совершенно аналогичные проблемы с распространением ошибки возникают, если вместо тригонометрического разложения использовать другие базисы, имеющие неограниченный носитель во временной области. В итоге, для эффективного представления сигналов к функцио-

нальному базису {ϕk (t)}∞k =0 должны предъявляться достаточно противоречивые требования, а именно:

•локализация (финитность носителя) базисных функций в частотной области (поскольку базисные функции, имеющие высокочастотное наполнение, вносят малый вклад в разложение большинства реальных сигналов, и соответствующие им коэффициенты Фурье перед кодированием можно квантовать более грубо, или же вообще отбросить, заменив при восстановлении нулевыми значениями);

•локализация (финитность носителя) базисных функций во временной области для возможности эффективного представления локальных особенностей сигнала, когда высокочастотные составляющие разложения значимы и не должны быть опущены.

Как отмечалось в разделе 2.3, ни для какой функции нельзя добиться высокой локализации носителя одновременно и в частотной, и во временной областях. Поэтому, как следует из принципа неопределенности представления сигнала на плоскости время×частота, приведенные тре-

бования к искомому базису {ϕk (t)}∞k =0 находятся в противоречии.

142

6.7. Время-частотный анализ. Оконное преобразование Фурье

Для преодоления трудностей, связанных с необходимостью использования функциональных базисов, имеющих хорошую локализацию как во временной, так и в частотной областях, в 40-х годах прошлого века для анализа сигналов Габором было предложено оконное преобразование Фурье (ОПФ). Предполагается, что исследуемый сигнал является квазистационарным, т.е. в пределах временного интервала некоторой длительности T его можно считать стационарным, и для каждого такого интервала в отдельности спектр находится по формуле

−∞

где n – номер интервала наблюдения, p(t) – некоторая весовая функция «окна», осуществляющая выбор интервала для частотного анализа сигнала, τ - определенным образом выбранный параметр.

В общем случае интервалы наблюдения сигнала в ОПФ могут перекрываться, а весовая функция p(t) может иметь неограниченный но-

ситель, например, в случае гауссова импульса p(t) = C e−kt 2 . Общей идеей ОПФ остается использование вместо нелокализованного во вре-

Несмотря на использование базиса, имеющего как временную, так и частотную локализацию базисных функций, ОПФ обладает недостатком, вытекающим из общих свойств широкого класса сигналов, представляющих практический интерес. Природа многих реальных сигналов такова, что временной интервал стационарности (квазипостоянства характеристик амплитуды и фазы) для низкочастотных составляющих больше, а для высокочастотных – меньше. Т.е. для эффективного представления сигнала высокочастотные базисные функции, характерно проявляющиеся в разложении в областях резких изменений сигнала (в выраженных «особенностях»), должны обладать более высокой временной локализацией по сравнению с низкочастотными базисными функциями. Поскольку повышение локализации базисных функций во временной области возможно лишь за счет снижения локализации в частотной области, то разбиение плоскости время×частота для конструируемого базиса должно соответствовать общим идеям, схематично отображенным на рисунке 6.4.

Такими свойствами переменного время-частотного разрешения обладают функциональные базисы вейвлетов, к рассмотрению которых мы переходим.

ν

Рисунок 6.4. Локализация базисных функций для базиса с переменным времячастотным разрешением

146

Глава 7. Вейвлет-преобразования и их приложения для обработки дискретных сигналов

В данной главе мы будем рассматривать гильбертово пространство L2(R) (см. пример 1.7) с нормой, индуцированной скалярным произведением

∞

< f , g >= ∫ f (t)g(t)dt .

−∞

7.1. Кратно-масштабный анализ

Определение. Последовательность подпространств {Vm} L2(R), m Ζ, образует кратно-масштабный анализ (КМА), если выполняются следующие свойства:

1°. Подпространства вложены, m Ζ : Vm Vm+1 .

2°. Если функция f (x) Vm , то f (2x) Vm+1 , и наоборот, т.е.

m Ζ : f (x) Vm f (2x) Vm+1 .

3°. Найдется некоторая функция φ(x) V0 , целочисленные сдвиги которой {φ(x −n)}n Z V0 образуют ортонормированный базис подпространства V0. Функция φ(x) называется

масштабирующей.

4°. Пересечением всех подпространств является множество, содержащее единственный (нулевой) элемент: IVm = {θ}.

m Ζ

5°. После замыкания объединение подпространств совпадает с про-

странством L2(R): UVm = L2 (R) .

m Z

Замечание. Если в каком-то интуитивном смысле определить понятие предела последовательности для подпространств, то с учетом вложенности подпространств (свойство 1°) свойство 5° означало бы следующее:

делает подобную запись некорректной, и мы используем ту формулировку, которая приведена в свойстве 5°.

Лемма 1. Полученная по масштабирующей функции φ(x) V0 система

ε>0 fm Vm : f − fm < ε , т.е. произвольную функцию f(x) L2(R) можно с любой точностью представить элементом fm(x) из некоторого подпространства Vm. Для рассматриваемого нами гильбертова пространства L2(R) с этой целью естественно в качестве fm(x) выбирать в подпространстве Vm элемент наилучшего приближения для f(x). Тогда из свой-

ства 1° следует, что f − fm ≥ f − fm+1 ≥K.

Обозначим через Am соответствующий оператор проецирования: fm=Am(f). Тогда в базисе пространства Vm:

fm (x) = Am ( f ) = ∑am,nφm,n (x) ,

Одно из основополагающих утверждений КМА, которое мы примем без доказательства, состоит в том, что для масштабирующей функции (1) найдется такая функция ψ(x) W0 , называемая материнским вейвле-

том, что множество функций

{ψm,n (x) = 2m / 2ψ (2m x −n)}n Ζ Wm

149

образует ортонормированный базис в пространстве Wm. При этом пространства вейвлетов {Wj}j Z наследуют масштабирующее свойство,

аналогичное свойству 2°, а именно,

m Ζ : f (x) Wm f (2x) Wm+1 .

В силу (2) произвольную функцию f(x) L2(R) можно представить в виде разложения по ортогональному базису вейвлетов:

f ( x) = ∑cm,nψm,n ( x) ,

n,m Ζ

где cm,n ( f ) = f ,ψm,n . Так как W0 V1, то материнский вейвлет также можно представить через базис {φ1,n (x) = 2φ(2x −n)}n Ζ V1 :

Уравнение (3) называется масштабирующим для вейвлетов и по аналогии с (1) может быть записано в более общем виде следующим образом:

ψm,0 (x) = ∑gnφm+1,n (x), n Z

где gn =<ψm,0 ,φm+1,n >=<ψ,φ1,n > .

Можно показать, что коэффициенты Фурье в масштабирующих уравнениях (1) и (3) должны удовлетворять одному из соотношений: gn = (−1)1−n h1−n , либо gn = (−1)−n h1−n , n Z. Поэтому для того, чтобы задать КМА, достаточно знать масштабирующую функцию φ(x) и один из наборов коэффициентов Фурье: {hn} или {gn}. Более того, функция φ(x), как мы увидим позднее, может быть найдена по коэффициентам

{hn} (или {gn}).

Особый интерес для практики цифровой обработки сигналов представляют случаи, когда КМА строится на основе масштабирующей функции φ(x), которая имеет финитный носитель, сосредоточенный в

некотором отрезке x ∆0 . Тогда в представлении масштабирующей

функции через ее сжатые сдвиги (1) сумма будет конечной и, следовательно, конечная сумма из того же числа слагаемых будет получена в уравнении (3).

Пример 1. Вейвлет Хаара. Масштабирующей функцией в этом случае