Глава 15. Термодинамика потока. Течение газа по каналам. Процесс течения в p - V и I - s координатах

Рассмотрим закономерности течения газа по каналу со скоростью w, соизмеримой со скоростью звука -w. Выведем уравнение первого закона термодинамики (уравнение энергии) для потока газа.

Выделим в потоке элементарный объем газа, заключенный между сечениями x иx + dx (рис. 15.1). Являясь вязкой средой, газ прилипает к стенкам канала и поэтому скорость газа у стенке равна нулю. Скорость газа на оси канала максимальная. Между отдельными слоями газа, движущимися с разными скоростями, возникает напряжение тренияt- сила трения, отнесенная к единице поверхности трения.

, (15.1)

где m- коэффициент динамической вязкости.

Если через стенку канала к газу подводится (или отводится от него) теплота, то внутри элемента возникает термическая неравновесность, обусловленная разностью температур газа у стенки канала и на его оси. В данном анализе будем рассматривать адиабатный поток - поток без теплообмена газа с окружающей средой. Следовательно, в выделенном нами элементарном объеме наблюдаются равномерные поля давления и температуры, т.е. можно считать, что газ находится в состоянии равновесия и для него можно записать уравнение первого закона термодинамики dQ = dU + dA. Здесь dQ - количество теплоты, подводимое (отводимое) через стенку канала; dU - изменение внутренней энергии элемента газа массойdm;dA - работа элемента против внешних сил.

По ходу потока изменяется термодинамические параметры газа, следствием чего являются изменения внутренней dU(T,V) и кинетической энергии- d(w²/2) его. Следовательно,

dU = dU(T,V) + d(w²/2) (15.2)

Работа элемента против действия внешних сил - отрицательная. Составим балансработы внешних сил, отнесенных к единице массыdm и приложенных слева (сечение х) - a_x= p f dx = p dV/dm = pv = z(x) и справа от элемента (x + dx) - a_x+dx = z(x + dx) . Разложим функциюz(x + dx) в ряд Тейлора - z(x + dx) = z(x)+ . Отбросим последнее слагаемое , как член высшего порядка малости. С учетом последнего замечания запишем выражение для баланса сил

а_внеш= а_х - а_x+dx = - dz(x) = - d(pv). Следовательно, работа элемента против внешних сил ( с учетом знака работы элемента против действия внешних сил) будет da = d(pv). Учитывая соотношение (15.2), уравнение энергии для потока принимает вид

dq = du(T,v) + d (w²/2) + d(pv) = d [u(T,v) + pv] + d (w²/2). Функция, записанная в квадратных скобках является энтальпией потока -i. Следовательно,

(15.3)

Работа элемента против внешних сил da расходуется на увеличение энергии окружающих масс газа, поэтому физический смысл энтальпии можно трактовать как энергию расширенной системы - “элемент плюс окружающая среда”.

В уравнении (15.3) работа сил трения отсутствует. Это является следствием того, что da_трпревращается в теплоту тренияdq_тр. Очевидно , что если в правую часть уравнения (15.3) вести величину da_тр, то в левой части появится членdq_тр. Эквивалентные количестваda_тр иdq_тр сокращаются. Таким образом,уравнение энергиидля адиабатного процесса (dq= 0) имеет следующий вид

(15.4)

Для описания процесса течения газа по каналу необходимо также рассмотреть уравнение сохранения механической энергии в потоке (уравнение Бернулли) и уравнение сплошности или неразрывности потока. Уравнение Бернуллизапишем без вывода

(15.5)

Уравнением оплошности утверждается , что через любое сечение канала проходит одна и та же масса газа M = wfr = Const. Логарифмируя, получимln w + ln f + ln r = =Const. Следовательно, в дифференциальной форме уравнение оплошностипримет вид

(15.6)

Анализ уравнений течения газа по каналу

Из уравнения (15.4) следует, что при разгоне потока (dw > 0) энтальпия газа уменьшается (di < 0). При торможении потока наоборот, энтальпия увеличивается. Таким образом , в адиабатном потоке происходит преобразование энтальпии в кинетическую энергию при разгоне потока и кинетической энергии в энтальпию при торможении потока. Для идеального газаdi = C_pdT, поэтому, когда скорость газа увеличивается температура газа уменьшается (dT < 0), а при торможении потока (dw< 0), температура газа повышается (dT > 0) .

При анализе уравнения Бернулли рассмотрим два случая:

1. Адиабатное течение газа без трения (dq = 0 иda _тр= 0)

В этом случае уравнение (15.5) имеет вид

(15.7)

Из уравнения (17.7) следует, что в случае при dw > 0 давление газа по ходу потока уменьшается. При торможении потока картина течения меняется на противоположную. Из условияdq = 0 иda _тр= 0 непосредственно следует, что энтропия газа по ходу потока не изменяется. Это означает, что в адиабатном потоке без трения параметры газа (p , V , T)изменяются по закону обратимой адиабатыpV^k = Const/

2. Адиабатное течение с учетом трения (dq = 0; d(w²/2) = 0 иda _тр¹0)

В этом случае уравнение Бернулли принимает вид

0 (15.8)

Отсюда следует, что в данном случае весь перепад давления расходуется на преодоление сопротивления трения. Это процесс реализуется, когда на пути газа устанавливается дроссельная шайба или дроссельный вентиль с очень малыми проходными отверстиями (рис. 15.2). Шайба оказывает большое сопротивление, так как вся масса газа проталкивается через очень маленькое отверстие. Такой процесс называется дросселированием.При условииd(w²/2) = 0 из уравнения энергии (15.4) следует, чтоdi = 0, т.е. энтальпия газа перед дросселем и после него имеет одно и то же значение. Принятое условиеd(w²/2) = 0 точно не выполняется. Докажем это на примере дросселирования идеального газа. Из условияdi = 0следует, чтоdT = 0, т.е. температура газа перед и за дросселем одинаковая. Из уравнения состояния идеального газа следует, что при T = Const с понижением давления объем газа будет увеличиваться. Это значит, что скорость газа после дросселя будет больше, т.е. d(w²/2) >0.Однао изменение кинетической энергии газа при дросселировании ничтожно мало по сравнению с абсолютным значением его энтальпии, поэтому этим эффектом можно пренебречь.

Изображение процесса течения газа в p - V и I - S координатах

Процесс течения газа представлен на рис. 15.3 вp - Vи на рис. 15.4 вI - Sкоординатах. В I - Sдиаграмме этот процесс изображен как в области низких давлений (правая часть диаграммы), так и в области высоких давлений, где имеет место течение реального газа (левая часть диаграммы).

1. Адиабатное течение газа без трения (dq = 0 иda _тр= 0) На этих диаграммах представлены процессы 1-2 и 2-1 - соответственно разгон и торможение адиабатного потока без трения. В этом случае параметры газа изменяются по закону обратимой адиабаты. Из диаграммы видно, что при разгоне и и последующем торможении потока без трения до начальной скорости полностью восстанавливаются давление, температура и энтальпия газа.

Если разогнать поток без трения, а затем адиабатически затормозить с трением (процессы 2-3 в I - S координатах), то в правой части диаграммы восстанавливаются средние значения температуры и энтальпии, так как энтальпия идеального газа является функцией только температуры. Первоначальное значение давления не восстанавливается потому, что энергия газа частично расходуется на преодоление сопротивления трения.

При течении реального газа, разогнав поток без трения, а затем затормозив его с трением, можно восстановить прежние значения температуры, но нельзя восстановить прежние значения давления и энтальпии, так как последняя для реального газа является функцией не только температуры, но и давления.

2. Адиабатное течение с учетом трения (dq = 0; d(w²/2) = 0 иda _тр¹0)

Этот процесс также является процессом дросселирования, реализуемый при условии I = Const. НаI - Sдиаграмме он изображается горизонтальной линией 4-5. Линия проведена пунктиром, так как процесс необратимый. Нам не известно каким образом изменяется энтальпия газа при прохождении его через дроссель. Известно только то, что на некотором расстоянии после дросселя, когда восстановится характерный для потока профиль скорости, энтальпия примет первоначальное значение.

В p - V координатах в первом рассмотренном случае процесс течения газа на рис. 15.3 представляется обратимой адиабатойpV^k = Const. Во втором случае условие I = Const для идеального газа адекватно условиюT = Const, так как для последнего энтальпия является функцией только температуры.