Глава 16. Скорость звука. Энтальпия и температура торможения. Связь скорости потока со скоростью звука. Влияние формы канала и трения на поток.

Скорость распространения любого возмущения в вещественной среде

с=. (16.1)

Процесс распространения звуковой волны можно рассматривать как равновесный адиабатный процесс, поэтому скорость звука определяется в виде

w= (16.2)

Производную определим из уравнения адиабатного процесса

pv^k = Const илиpr^-k = Const (16.3)

Дифференцируя уравнение (16.3), получим

,. Для идеального газа

(p/r) = RT, поэтому

w== (16.4)

Энтальпия и температура торможения

Уравнение энергии для адиабатного потока можно записать в виде

d=0

Интегрируя, получим

=Const (16.5)

Из уравнения (16.5) видно, что при адиабатном торможении потока энтальпия газа увеличивается и при w = 0 принимает некоторое значениеi₀. Следовательно , константа в уравнении (16.5) равнаi₀ - это энтальпия торможения, т.е. энтальпия адиабатически заторможенного газа доw = 0. Таким образом,

=i₀илиi₀ - i = (16.6)

Для идеального газа (i₀ - i) = С_р(Т₀- Т). Следовательно, С_р(Т₀- Т) =и окончательно Т₀= Т + (16.7)

В уравнении (16.7) Т- температура газа при данной скорости течения; Т₀- температура торможения, т.е. температура, которую будет иметь газ, если поток адиабатически затормозить до нулевой скорости;- динамическое повышение температуры газа при его адиабатическом торможении.

Взаимосвязь скорости потока со скоростью звука

Cвязь скорости потока со скоростью звука можно получить, если в уравнении (16.7) температуры Т₀ и Т выразить через соответствующие скорости звука. Из уравнения (16.4) следует, что

=kRT₀, аw² =kRT (16.8)

В этих зависимостях w₀иw- соответственно скорость звука при температуре торможения и при температуре Т в данном сечении канала (местная скорость звука).

Рассмотрим адиабатное течение газа по каналу переменного сечения (рис.16.1).

Пусть на входе в канал : скорость газа w = 0, давления р₀,температураТ₀( температура торможения). По мере удаления от входного сечения скорость газа увеличивается, атемпература в соответствии с уравнением (16.7) уменьшается, поэтому снижается и местная скорость звука. Из соотношений (16.8) следует: Т₀=/kR , Т =/kR. Подставив эти значения температур в уравнение (16.7), получим или(16.9)

Для идеального газа R = C_p - C_v. Учитывая, чтоk = C_p/C_v, преобразуем выражениеkR/2C_p.

. Следовательно,

(16.10)

Так с ростом скорости температура газа уменьшается и одновременно снижается скорость звука, то при разгоне потока в каком-то сечении скорость газа может стать равной скорости звука. Это сечение называют критическим и все параметры газа в этом сечении называют критическими (Т_кр, р_кр,w_кр,). Запишем уравнение (16.10) для критического сечения. Из полученного соотношения следует

(16.11)

Воспользовавшись соотношением между температурой и давлением в адиабатном процессе, получим (16.12)

и далее с учетом уравнения (16.11)

(16.13)

Из соотношения (16.13) видно, что критический перепад давлений

b_кр= р_кр/р₀ зависит только от показателяk. Для двухатомных газов при относительно невысоких температурахk = 1,4 и тогдаb_кр = 0,528. Для трехатомных газовk = 1,3, поэтомуb_кр = 0,546.

Давление в критическом сечении канала вычисляется по формуле

р_кр=b_крр₀ (16.14)

Влияние формы канала и трения на поток

Воздействовать на поток можно как за счет изменения площади поперечного сечения канала f (формы канала) , так и за счет трения. С целью определения влияния этих факторов на скорость течения газа проведем совместное решение уравнений Бернулли и неразрывности:

(16.15)

Первое уравнение системы (16.15) помножим на , а второе на. Учитывая, что= с², т.е. скорость распространения любого возмущения в вещественной среде и, чтопосле умножения уравнений получим

(16.16)

(16.17)

Вычитая из (16.16) уравнение (16.17) получим

(16.18)

В рассматриваемом случае скорость с можно заменить скоростью звука w.

Поделив числитель и знаменатель в правой части уравнения (16.18) на w, получим уравнение в более удобной для анализа форме

(16.19)

Рассмотрим сначала влияние формы канала на поток, пренебрегая трением. В этом случае уравнение (16.19) принимает вид

, (16.20)

где М- число Маха.

Рассмотрим две типичных геометрии канала: суживающееся сопло - конфузор и расширяющееся сопло - диффузор. Проанализируем влияние этих геометрий каналов на дозвуковое и сверхзвуковое течения.

Конфузор

Скорость потока газа на входе в конфузор меньше скорости звука (w <w)

Так как df < 0, то числитель в уравнении (16.20) положительный. При М< 0знаменатель тоже положительный. Следовательно,dw>0, т.е. в до звуковой области конфузор разгоняет поток. Из уравнений (15.4) и (15.5) следует, что приdw>0 давление, энтальпия и температура по ходу потока уменьшаются.

Скорость потока газа на входе в конфузор больше скорости звука (w > w)

Числитель, как и в первом случае, положительный. При w > w, М>1, поэтому знаменатель отрицательный иdw<0, т.е. в сверхзвуковой области конфузор тормозит поток. Следовательно, по ходу потокаdi > 0, dT > 0, dp > 0.

Диффузор

df > 0числитель в уравнении (16.20) отрицательный. Знаменатель положительный. Следовательно,dw<0.

df > 0, числитель в уравнении (16.20) отрицательный. Знаменатель тоже отрицательный. Следовательно,dw > 0.

Итак, в до звуковой области диффузор тормозит поток, а в сверхзвуковой области разгоняет его.

Влияние трения (df = 0)

Для цилиндрического канала уравнение (16.19) имеет вид

В рассматриваемом случае числитель всегда положительный. Следовательно, в до звуковой области (М < 1) за счет трения поток разгоняется, в сверхзвуковой области - тормозится.

В до звуковой области: конфузорицилиндрический канал разгоняют поток;диффузор- тормозит поток.

В сверхзвуковой области: конфузорицилиндрический каналтормозят поток;диффузор- разгоняет поток.

Сопло Ловаля

Сопло Ловаля предназначено для получения сверхзвуковых скоростей и проставляет собой комбинацию конфузора (на входе газа) и диффузора и небольшого цилиндрического участка между ними. Последний необходим для плавного перехода скорости потока из до звуковой области в сверхзвуковую.