|
ì 2x1 - x2 + x3 + 2x4 + 3x5 = 2, |
||
|
ï |
6x1 - 3x2 + 2x3 + 4x |
4 + 5x5 = 3, |
* |
ï |
||
í |
|
|
|
170. |
|
+13x5 = 9, |
|
|
ï6x1 - 3x2 + 4x3 + 8x4 |
||
|
ï |
4x1 - 2x2 + x3 + x4 + 2x5 =1. |
|
|
î |
||
|
ì3x1 - 5x2 + 2x3 + 4x4 = 2, |
||
171.* |
ï |
7x1 - 4x2 + x3 + 3x4 |
= 5, |
í |
|||
|
ï |
|
= 3. |
|
î5x1 + 7x2 - 4x3 - 6x4 |
||
ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
3.1. Линейные операции над векторами и их свойства
172. Какому условию должны удовлетворять векторы a и b , чтобы: 1)
a + b = a - b ; 2) a + b > a - b ;
3)a + b < a - b ?
173.Векторы a и b образуют угол j = 23π , причем a = 3, b = 5.
Определить a + b и a - b .
|
По данным векторам a и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
- 3a , |
|||||||||||
174. |
b |
построить векторы a - 2b |
, |
b |
||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a + |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
В треугольнике ABO даны векторы a = |
|
и |
|
= |
|
. Найти |
|||||||||||||||||||
|
OA |
OB |
||||||||||||||||||||||||
175. |
b |
|||||||||||||||||||||||||
|
векторы |
|
и |
|
, где M – середина стороны AB . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
MA |
MB |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
176.* В треугольной пирамиде |
SABC даны векторы a = |
SA |
, |
|
= |
SB |
, |
||||
b |
|||||||||||
c = |
|
. Найти вектор |
|
|
, где M – центр тяжести основания |
||||||
SC |
SM |
||||||||||
ABC . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
177. Пусть a , b , c – единичные векторы, составляющие с данной осью l
соответственно углы |
π |
, |
2π |
, π . Найти проекцию вектора |
|
3 |
3 |
||||
|
|
|
3a + 2b + c на ось l.
178.Вычислить модуль вектора a = i + 2j + k − 15 (4i + 8j + 3k) и найти его направляющие косинусы.
179.Даны три последовательные вершины параллелограмма: A(1;1; 4) ,
B(2; 3; −1), C(− 2; 2; 0). Найти четвертую вершину D , противоположную вершине B .
180. Даны векторы a = 2i − 3j + 6k и b = −i + 2j − 2k , приложенные
кобщей точке. Найти орт биссектрисы угла между a и b .
181.Найти орт вектора a = 3i + 4j −12k и его направляющие косинусы.
3.2.Условие коллинеарности двух векторов
182.Доказать, что точки A(− 3; − 7; − 5), B(0; −1; − 2) и C(2; 3; 0)
лежат на одной прямой, причем точка B расположена между A и C .
183. Определить, при каких значениях α и β векторы a = 2i + αj + k и
b= 3i − 6j+ βk коллинеарны.
184.Доказать, что четырехугольник с вершинами A(2;1; − 4), B(1; 3; 5),
C(7; 2; 3), D(8; 0; − 6) есть параллелограмм. Найти длины его сторон.
185. Даны точки |
A(−1; 5; −10), B(5; − 7; 8), |
C(2; 2; − 7) и |
|||
D(5; − 4; 2) |
|
|
|
|
коллинеарны. |
. Проверить, что векторы |
AB |
и |
CD |
||
Какой из них длиннее другого, во сколько раз и как они направлены?
186. Дан вектор c = 16i −15j +12k . Определить разложение по этому же базису вектора d , параллельного вектору c , противоположного с ним по направлению, при условии, что d = 75.
187. Два вектора a(2; − 3; 6) и b(−1; 2; − 2) приложены к одной точке. Определить координаты вектора c , направленного по биссектрисе угла между векторами a и b , если c = 3
42 .
188. Векторы AB(2; 6; − 4) и AC(4; 2; − 2) совпадают со сторонами треугольника ABC . Определить координаты векторов, приложенных к
вершинам треугольника и совпадающих с его медианами AM , BN ,
CP .
189. |
|
Проверить, |
что |
|
|
|
четыре |
точки |
|
|
A(3; −1; 2), B(1; 2; −1), |
||||||||||||||
|
|
C(−1;1; − 3), D(3; − 5; 3) служат вершинами трапеции. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
Коллинеарны ли векторы c |
и c , разложенные по векторам a и |
|
, |
||||||||||||||||||||
190. |
b |
||||||||||||||||||||||||
|
|
если a(4; 2; − 7), |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
b |
(5; 0; − 3), c1 = a − 3b |
, c2 = 6b − 2a ? |
|||||||||||||||||||||
|
Найти вектор x , коллинеарный вектору a = |
|
− 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
191. |
i |
j − 2k , |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
= 15. |
|
|
||||||||||||||
|
|
образующий с ортом |
|
jострый угол и |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3.3. Линейная зависимость векторов. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
Разложение вектора по базису |
||||||||||||||||||||||
192. |
Заданы векторы |
p(2; − 3) и |
q(9; 4). Проверить, образуют ли они |
||||||||||||||||||||||
|
|
базис, и, если образуют, найти разложение вектора |
|
(49;14) по базису |
|||||||||||||||||||||
|
|
d |
|||||||||||||||||||||||
|
|
{p, q}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
193. Проверить, образуют ли базис векторы: 1) a(− 2;1; 3),
b(0; 2;1), c(6; 4; 0); 2) a(1; 0;1), b(-1; 2;1), c(1; 2; 3).
В случае утвердительного ответа найти линейную зависимость между
ними.
æ |
-1;1; |
1 ö |
a(2; - 2; -1). Убедиться, что они |
||
194. Заданы векторы eç |
|
÷ и |
|||
2 |
|||||
è |
|
ø |
|
||
коллинеарны и найти разложение вектора a по базису B = {e}.
195.На плоскости заданы векторы e1(-1; 2), e2 (2;1) и a(0; - 2).
Убедиться, что B = {e1, e2} – базис в множестве всех векторов на плоскости. Построить заданные векторы и найти разложение вектора a по базису B .
196. |
Задана тройка |
некомпланарных векторов e1(1; 0; 0), |
|
e2 (1;1; 0), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
e3 (1;1;1). Вычислить координаты вектора |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
a = -2i |
- k |
в базисе |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
B = {e1, e2, e3} и написать разложение вектора a в этом базисе. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
197. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Заданы векторы a = 2i |
+ 3j , |
b = -3j - 2k , |
|
c = i + j- k . Найти |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
разложение вектора a + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
b |
- 2c по базису B = {i, j,k}. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
198. |
|
Даны три вектора a(3; -1), |
|
(1; - 2), |
c(-1; 7). Определить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
b |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
разложение вектора p = a + |
|
+ c по базису |
|
B = {a, |
|
}, |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
b |
проверив, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
что a и |
|
образуют базис. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
199. |
|
|
Даны |
три вектора |
|
|
|
p(3; - 2;1), |
q(-1;1; - 2), |
r(2;1; - 3). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Образуют |
|
ли |
эти |
векторы |
базис? |
|
Найти |
|
разложение |
|
|
вектора |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
c(11; - 6; 5) по базису B = {p, q, r}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
200. |
|
|
|
|
вектора: a(2;1; 0), |
|
|
|
|
|
(1; -1; 2), |
c(2; 2; -1), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Даны |
четыре |
|
|
|
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
(3; 7; - 7). Найти разложение вектора |
|
по базису B = {a, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
d |
d |
b, c}. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||