3. Управление портфелем ценных бумаг

3.1. Основы портфельного инвестирования

Инвестиционный портфель (далее, портфель) представляет собой набор активов (например, ценных бумаг), служащих инструментом для достижения конкретных целей инвестора. Он может состоять как из ценных бумаг одного типа (например, акций или облигаций), так и нескольких типов (например, акций, облигаций, депозитных сертификатов, векселей, залоговых свидетельств и др.). В сравнении с портфелем капитальных вложений портфель ценных бумаг имеет ряд особенностей: более высокую ликвидность; сравнительно легкую управляемость; относительно низкую инфляционную защищенность; ограниченное число инструментов (на развивающихся фондовых рынках). В данном разделе в качестве инвестиционного портфеля рассматривается портфель ценных бумаг.

Современный арсенал методов формирования портфеля достаточно обширен; наибольшим авторитетом в настоящее время пользуется теория инвестиционного портфеля У.Шарпа (W.Sharpe) и Г.Марковица (H.Markowitz). Основные принципы этой теории, следующие.

Во-первых, успех инвестиций в основном зависит правильного распределения средств по типам активов. Проведенные эксперименты показали, что прибыль финансовых операций определяется:

• на 94% выбором типа используемых инвестиционных инструментов (акции крупных компаний, краткосрочные векселя, долгосрочные облигации и др.);

• на 4% выбором конкретных ценных бумаг заданного типа;

• на 2% оценкой момента закупки ценных бумаг.

Данный феномен объясняется тем, что бумаги одного типа сильно коррелируют, т.е. если какая-то отрасль испытывает спад, то убыток инвестора не очень зависит от того, преобладают в его портфеле бумаги той или иной компании.

Во-вторых, риск инвестиций в определенный тип ценных бумаг определяется вероятностью отклонения прибыли (доходности) от ожидаемого значения. Прогнозируемое значение прибыли и ее изменчивость (риск) можно определить на основе обработки статистических данных.

В-третьих, общая доходность и риск инвестиционного портфеля могут меняться путем изменения его структуры. В настоящее время существуют компьютерные программы, позволяющие конструировать требуемые портфели из различных активов.

В-четвертых, все оценки, используемые при формировании портфеля, носят вероятностный характер. Создание портфеля в соответствии с требованиями классической теории возможно лишь при наличии ряда факторов: сформировавшегося рынка ценных бумаг, определенного периода его функционирования, статистики рынка и др.

При формировании портфеля важным является, во-первых, определение цели портфеля (инвестора) и, во-вторых, выбор финансового менеджера (финансового института), который будет управлять портфелем. Данный выбор должен учитывать как надежность менеджера, так и затраты на управление (комиссионные менеджера).

Для формирования портфеля исходным этапом является определение цели инвестора. Важным преимуществом портфельного инвестирования является возможность выбора портфеля для достижения специфических целей инвестора. Цель инвестора определяется двум обстоятельствами. Во-первых, типом инвестора (его склонности к доходности и риску) и, во-вторых, потребностями инвестора.

С учетом инвестиционных качеств ценных бумаг можно сформировать различные портфели, характеризующиеся ожидаемой доходностью и риском на определенном периоде времени. Соотношение этих факторов позволяет определить тип портфеля, идентификация которого необходима для эффективного управления.

Классификационным признаком типа портфеля является и то, каким способом и за счет какого источника получен доход: за счет роста курсовой стоимости или за счет текущих выплат - дивидендов, процентов. По способу получения дохода выделяют два основных типа портфеля:

- портфель, ориентированный на преимущественное получение дохода за счет процентов и дивидендов (портфель дохода);

- портфель, направленный на преимущественный прирост курсовой стоимости входящих в него инвестиционных ценностей (портфель роста).

Было бы упрощенным понимание портфеля как некой однородной совокупности, несмотря на то, что портфель роста, например, ориентирован на акции роста. В его состав могут входить и ценные бумаги с иными инвестиционными свойствами. Таким образом, рассматривают еще и смешанный портфель роста и дохода.

Портфель роста формируется из акций компаний, курсовая стоимость которых на заданном интервале времени существенно возрастает.

Портфель агрессивного роста нацелен на максимальный прирост капитала. В состав данного типа портфеля входят акции новых, быстрорастущих компаний. Инвестиции в данный тип портфеля являются достаточно рискованными, но могут приносить самую высокую доходность. Агрессивный портфель - портфель активно покупаемых и продаваемых ценных бумаг, содержащий такие их выпуски, в отношении стоимости которых существует предположение, что она будет быстро возрастать.

Агрессивный портфель отличается от устойчивых к переменам ценных бумаг, которые приносят более высокий доход (облигации, привилегированные акции).

Портфель консервативного роста является наименее рискованным среди портфелей данной группы. Состоит, в основном, из акций крупных, хорошо известных компаний, характеризующихся хотя и невысокими, но устойчивыми темпами роста курсовой стоимости. Состав портфеля остается стабильным в течение длительного периода времени. Нацелен на сохранение капитала.

Портфель умеренного (среднего) роста представляет собой сочетание инвестиционных свойств портфелей агрессивного и консервативного роста. В данный тип портфеля включаются наряду с надежными ценными бумагами, приобретаемыми на длительный срок, рискованные фондовые инструменты, состав которых периодически обновляется. При этом обеспечивается средний прирост капитала и умеренная степень риска вложений. Надежность обеспечивается ценными бумагами консервативного роста, а доходность - ценными бумагами агрессивного роста. Данный тип портфеля является наиболее распространенным типом и используется инвесторами, не склонными к высокому риску.

Портфель дохода ориентирован на получение высокого текущего дохода — процентных и дивидендных выплат. Портфель дохода составляется в основном из акций дохода, характеризующихся умеренным ростом курсовой стоимости и высокими дивидендами, облигаций и других ценных бумаг, инвестиционным свойством которых являются высокие текущие выплаты. Особенностью этого типа портфеля является то, что цель его создания - получение соответствующего уровня дохода, величина которого соответствовала бы минимальной степени риска, приемлемого для консервативного инвестора. Поэтому объектами портфельного инвестирования являются высоконадежные инструменты фондового рынка с высоким соотношением стабильно выплачиваемого процента и курсовой стоимости.

Портфель регулярного дохода формируется из высоконадежных ценных бумаг и нацелен на средний доход при минимальном уровне риска.

Портфель доходных бумаг состоят из высокодоходных облигаций корпораций, ценных бумаг, приносящих высокий доход при среднем уровне риска.

Формирование портфеля роста и дохода осуществляется во избежание возможных потерь на фондовом рынке как от падения курсовой стоимости, так и от низких дивидендных или процентных выплат. Одна часть финансовых активов, входящих в состав данного портфеля, приносит владельцу рост капитальной стоимости, а другая – текущий доход. Потеря одной части может компенсироваться возрастанием другой. Охарактеризуем виды данного типа портфеля.

Портфель двойного назначения. В состав данного портфеля включаются бумаги, приносящие его владельцу высокий доход при росте вложенного капитала. В данном случае речь идет о ценных бумагах инвестиционных фондов двойного назначения. Они выпускают собственные акции двух типов, первые приносят высокий доход, вторые — прирост капитала. Инвестиционные характеристики портфеля определяются значительным содержанием данных бумаг в портфеле.

Сбалансированный портфель предполагает сбалансированность не только доходов, но и риска, который сопровождает операции с ценными бумагами, и поэтому в определенной пропорции состоит из быстрорастущих ценных бумаг и из высокодоходных ценных бумаг. В состав портфеля могут включаться и высоко рискованные ценные бумаги. Как правило, в состав данного портфеля включаются обыкновенные и привилегированные акции, а также облигации. В зависимости от конъюнктуры рынка в те или иные фондовые инструменты, включенные в данный портфель, вкладывается значительная часть средств.

Учитывая современное состояние экономики России и степень развития ее фондового рынка, конкретными целями портфельного инвестирования предприятий могут быть:

• сохранность и увеличение капитала в отношении ценных бумаг с растущей курсовой стоимостью;

• приобретение ценных бумаг, которые по условиям обращения могут заменить наличность (векселя);

• доступ к дефицитной продукции, имущественным и неимущественным правам;

• спекулятивная игра на колебаниях курсов в условиях нестабильности фондового рынка;

• страхование от рисков путем приобретения государственных облигаций с гарантированным доходом и др.

В рамках теории портфеля (portfolio theory) с помощью экономико-статистических методов осуществляются формирование и управление портфелем, соответствующее целям инвестора, в рамках альтернативы «доходность-риск». Эта теория состоит из четырех основных элементов:

• оценка активов (security valuation);

• инвестиционные решения (asset allocation decisions);

• оптимизация портфеля (portfolio optimization);

• оценка результатов (performance measurement).

Главными параметрами при управлении портфелем, которые необходимо определить менеджеру, являются ожидаемая доходность и риск. Формируя портфель, инвестор (менеджер) не может точно определить будущую динамику его доходности и риска, поэтому свой выбор он строит на ожидаемых значениях. Ожидаемые величины оцениваются с использованием прошлых данных согласно допущениям о будущем (прогнозам).

В процессе формирования портфеля инвестор может придерживаться пассивной или активной инвестиционной политики. Пассивная политика предполагает определения формальных пропорций инструментов в портфеле и их механическое включение (например, на основе фондовых индексов). Достоинством пассивного подхода является простота и относительно низкие издержки. Активная инвестиционная политика предполагает выбор наилучших ценных бумаг или их классов, т.е. предполагает этап анализа (оценки). Достоинством подхода является возможность опередить рынок. Недостаток – дополнительные расходы, связанные с анализом. Пытаясь сочетать достоинства обоих подходов, инвестор может использовать смешанную стратегию формировании портфеля.

Вкладывая средства в ценные бумаги, инвестор формирует портфель так, чтобы при требуемой им доходности снизить риск, либо при заданном уровне риска - повысить доходность. При этом, следует также учитывать фактор налогообложения и использовать законные методы снижения налогового бремени. Например, при выборе облигаций следует учитывать, что во многих странах доходы по государственным и муниципальным ценным бумагам освобождаются от налогообложения.

Доходность портфеля может быть вычислена двумя способами. Первый способ основан на оценке стоимости портфеля на конец и начало периода:

, (3.1)

где Мр = М(r_p) – средняя доходность портфеля (ожидаемая или фактическая); W₀ - начальная стоимость портфеля (ценные бумаги+денежные средства); W₁ – стоимость портфеля в конце периода (года).

Указанный способ может быть полезен при оценке фактической доходности портфеля (счета инвестора) при значительном количестве сделок в электронных торговых системах.

Говоря о практических финансовых операциях, следует отметить право инвестора зачислить на свой счет и вывести со счета дополнительные средства внутри периода. Как правило речь идет о внутригодовом периоде (квартал, месяц и т.д.). Такое движение капитала не является само по себе прибылью или убытком, но в тоже время, влияет на размер капитала и доходность, что необходимо учитывать. Поэтому, если известны выведенные (CF^-) и зачисленные денежные средства (CF⁺), то в (3.1) при определении прибыли следует включить выведенные и исключить зачисленные за период денежные средства, т.е. прибыль за весь период составит: (W1-W0) + CF^- - CF⁺. Если моменты ввода/вывода средств внутри периода неизвестны, но есть данные по объему этих средств, то среднюю величину капитала в знаменателе формулы доходности портфеля можно определить приблизительно на основе значений остатков капитала (денежные средства и ценные бумаги) внутри периода.

Если известно время поступления и вывода капитала внутри периода, то доходность можно рассчитать более точным методом. Период разбивается на ряд отрезков, внутри которых ввода и вывода средств не происходило. Доходность на отрезке определяем как отношение капитала на конец отрезка (непосредственно перед вводом-выводом средств) к фактическому капиталу на начало отрезка (непосредственно после ввода-вывода средств). Доходность за период определяем на основе формулы сложных процентов в виде произведения доходностей на отдельных отрезках. Доходность за год определяем на основе формулы простых процентов. Также возможен метод, при котором оценка средней капитала W проводится на основе средневзвешенной величин инвестированного капитала по времени для вышеопределенных отрезков.

Пример. Дана стоимость портфеля на протяжении первого квартала:

Дата	1.01	1.02	1.03	1.04
Стоимость портфеля (счета), млн.р.	10	9	12	13

Имеются данные о том, что 31.01 (в конце дня) инвестор вывел 2 млн.р. со счета, а 28.02 (в конце дня) перевел на счет 3 млн. р. Оценим среднюю доходность портфеля.

Прибыль, полученная инвестором за квартал равна 13-10+2-3= 2 млн.р. Среднемесячная величина капитала по фактическим его остаткам W = (10/2 +9+12+13/2) /3 =10,833 млн.р. Приближенную доходность портфеля за квартал Mp = 2 /10,833 = 0,185 = 18,5%. За год Mp = 0,185* 12/3 = 0,74 = 74%.

Доходность по месяцам: r1 = (9+2–10)/10 =0,1; r2 = (12-3-9)/9 =0; r3 = (13-12)/12=0,0833. Тогда доходность портфеля Mp = ( (1+0,1)* (1+0)* (1+0,0833) -1 ) * 12/3 = 0,1916*4 = 0,766=76,6%.

Согласно методу средневзвешенной по времени величина инвестированного капитала W при величине первоначальных инвестиций принимаемых на уровне 10 млн.р., составляет:

W = (10* 31 + (10-2) *28 + (10-2+3)*31) / (31+28+31) = 9,722 млн.р.

Тогда доходность портфеля Mp = (2 / 9,722) * 365/(31+28+31) = 0,2057*4,055 = 0,834 = 83,4%.

Другой подход оценки доходности портфеля состоит в вычислении средневзвешенной доходности инструментов, входящих в портфель:

, (3.2)

где d_i – доля начальной стоимости портфеля, инвестированная в i-ценную бумагу (по рыноч­ной стоимости); M_i – доходность i-ценной бумаги; К – число ценных бумаг в портфеле.

Указанный способ может быть использован при оценке ожидаемой доходности портфеля.

Инвестиционный риск портфеля определяется как изменчивость доходности, которая измеряется среднеквадратическим (стандартным) отклонением (СКО) или дисперсией распределения доходности портфеля. СКО портфеля определяется по формуле:

, (3.3),

где _ij - ковариация доходности ценных бумаг i и j; di, dj — доли i-го и j-го актива в портфеле соответственно; К – число ценных бумаг в портфеле.

Ковариация характеризует взаимосвязь двух случайных величин, данном случае речь идет о ковариации отдельных пар активов, включенных в портфель. Ковариация может быть определена по формуле:

(3.4)

Справедлива также формула: _{ij =} _i * _j *  _{i j},

где _I, _j — среднеквадратические отклонения активов i и j;  _{i j} — коэффициент корреляции между доходностями акций i и j.

На основе показателя ковариации может быть определена направленность взаимосвязи доходности двух ценных бумаг. Но так как размерность ковариации в данном случае - процент в квадрате, то непосредственно тесноту взаимосвязи данный показатель не характеризует.

Коэффициент корреляции - относительная мера взаимосвязи двух слу­чайных величин. Применительно к доходностям активов его значение может быть рассчитано следующим образом:

 _{i j} = _ij / (_i * _j ) (3.5),

Величина коэффициента корреляции может находиться в пределах от -1 до 1. Если коэффициент корреляции по абсолютной величине близок к единице, то связь между доходностью рассматриваемых ценных бумаг тесная. Если же близок к нулю, то связь слабая. Если коэф­фициент отрицательный, то связь обратная, а если положительный - пря­мая.

Поскольку портфель, формируемый инвестором, состоит из набора различных ценных бумаг, его доходность и риск будут зависеть от доходности и риска каждой отдельной ценной бумаги. Кроме того, ожидаемая доходность портфеля зависит от размера начального капитала, инвестированного в конкретные ценные бумаги.

Ожидаемый риск портфеля представляет собой сочетание стандартных отклонений, входящих в него ценных бумаг. Однако в отличие от ожидаемой доходности риск портфеля не является обязательно средневзвешенной величиной СКО доходностей активов. Дело в том, что различные активы могут по-разному реагировать на изменение конъюнктуры рынка. В результате стандартные отклонения доходности различных активов в ряде случаев будут гасить друг друга, что приведет к снижению риска портфеля.

Для большинства ценных бумаг величина коэффициента корреляции положительна. Но существуют инструменты, дающие возможность получить отрицательную корреляцию. Это могут быть, например, сочетания актив + опцион на покупку актива или актив + короткая продажа актива (продажа взятого в долг актива, с возвратом в будущем путем покупки).

Особым видом портфеля в инвестиционном анализе является портфель, состоящий из двух активов (при К=2) для которого можно записать:

Mp = r₁ * d₁ + r₂ * d₂ = r₁ * d + r₂ * (1-d) (3.6)

где d=d₁ - доля актива 1, (1- d)=d₂ - доля актива 2 в портфеле.

(3.7)

Если риск активов достаточно велик, то риск портфеля по сравнению с риском активов можно снизить, включив в портфель активы: 1) имеющие меньшие  (в т.ч. безрисковый актив с нулевым СКО) 2) имеющие отрицательную корреляцию доходности ₁₂.

Если добавить к активу (портфелю) безрисковый актив (_f=0, _if=0) c долей в новом портфеле d_f, то риск нового портфеля снижается и оценивается как: σ_pн = σ_p d_p = σ_p (1 - d_f), где d_p- доля старого портфеля в новом.

ля которого является ицательныйие отрицательный с риском активов. 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000Задача создания портфеля, обеспечивающего наименьший риск, сводится к определению долей ценных бумаг из которых состоит портфель с минимальным СКО при заданной доходности. Т.о. следует рассмотреть СКО портфеля может как функцию от упомянутых долей. При заданных значениях σ₁, σ₂, ₁₂ величина σ_p является функцией от d. Продифференцировав данную функцию и приравняв к нулю получим:

(3.8)

На основе формулы (3.8) определяются доли ценных бумаг в порт­феле, обеспечивающие минимальный риск. В зависимости от величины коэффициента корреляции получаем следующее.

1) Если  ₁₂ = -1, то из (3.8):

d* = σ₂ / (σ₁ + σ₂) (3.9)

При этом (1-d*) = σ₁ / (σ₁ + σ₂).

Подставив величину (3.9) в (3.7) получим σ_Р = 0. Таким образом, при абсолютной отрицательной корреляции можно подобрать доли активов так, что риск портфеля будет равен нулю.

2) Если  ₁₂ = 0 (связь между доходностями ценных бумаг полностью от­сутствует). Тогда:

d* = σ₂² / (σ₁² + σ₂²) (3.10)

При этом , т.е. приσ₁ и σ₂ >0, риск портфеля всегда положительный.

3) Если  ₁₂ = 1 (имеет место абсолютная положительная взаимосвязь):

d* = σ₂ / (σ₂ - σ₁) (3.11)

При этом (1-d*) = -σ₁ / (σ₂-σ₁), σ_Р^* = 0. Как видно из формулы, одна из долей является отрица­тельной, а другая - больше единицы (сумма долей равна единице). Риск данного портфеля также нулевой, как и в случае абсолютной отрицатель­ной взаимосвязи. Рассматриваемый портфель формируется на основе ко­роткой продажи одной из ценных бумаг (той, доля которой отрицатель­на) - продажи взятой в долг бумаги с последующим ее возвратом посред­ством покупки в будущем.

Пример. Предположим, формируется портфель из двух акций 1 и 2 с доходностями:

Период	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
r1, %	3	4	14	11	9	17	21	8	6	7
r2, %	-5	15	22	26	34	31	30	19	17	11

Данные ценные бумаги характеризуются следующими показателями средней доходности и риска: M₁=0,1=10%; M₂=0,2=20%; σ₁² = 302%², σ₁=0,055=5,5%; σ₂² =1198%², σ₂= 0,11=11%.

По условиям ак­ция с большей доходностью обладает и большим риском. Следует отметить, что вышеуказанные показатели (в т.ч. коэффициент корреляции) могут быть оценены по ретроспективным данным, с учетом стабильности экономических факторов в будущем.

Фактическая ковариация доходностей акций 1 и 2 согласно (3.4) составляет σ₁₂=0,00433, а коэффициент корреляции доходностей акций 1 и 2  ₁₂=0,00433 / (0,055*0,11) =0,72=72%.

Пусть ожидаемые значения доходности и риска акций определяются следующим распределением вероятности (пессимистичный, реальный и оптимистичный сценарии прогноза деловой активности):

Показатель	Акция 1			Акция 2
Вероятность сценария p	0,15	0,7	0,15	0,15	0,7	0,15
Доходность r, отн.ед.	0	0,1	0,2	0	0,2	0,4

Для указанного распределения M₁=0,1, M₂=0,2, σ₁=0,055, σ₂= 0,11, что соответствует фактическим значениям. Используя формулы (3.6) и (3.7) оп­ределим показатели доходности и риска портфеля, составленного из данных акций, при значениях коэффициентов корреляции ₁₂ (-1, 0 и 1) и при различных вариантах структуры портфеля (см. табл. 3.1).

Таблица 3.1

Показатели портфелей

N порт- феля	Доля акции 1, d	Доля акции 2, (1-d)	Доходность портфеля rp, %	СКО портфеля (р), %
				12	12	121
1	0	1	20	11,0	11,0	11,0
2	0,1	0,9	19	9,3	9,9	10,4
3	0,2	0,8	18	7,7	8,8	9,9
4	0,33	0,67	16,7	5,5	7,6	9,1
5	0,5	0,5	15	2,7	6,1	8,2
6	0,67	0,33	13,3	0,1	5,2	7,3
7	0,8	0,2	12	2,2	4,9	6,6
8	0,9	0,1	11	3,8	5,0	6,0
9	1	0	10	5,5	5,5	5,5

Для случая ₁₂ при доле акции 1 d=0,67 (формула 3.9) портфель имеет нулевой риск (_р= 0). Для случая ₁₂0 при d=0,8 портфель имеет минимальный риск. Для случая ₁₂1 согласно (3.11) риск портфеля равен 0 при d=2 и (1-d)=-1 (это означает покупку акции 1 и продажу акции 2 взятой в долг на сумму в 2 раза меньшую, чем сумма при покупке акции 1), что здесь не рассматривается. Ниже приведено графическое изображение полученных портфе­лей (рис. 3.1).

Рис. 3.1. Характеристики портфелей, состоящих из активов 1 и 2

Если ₁₂ при изменении параметрa d между _р и r_p существует линейная зависимость. Все возможные значения точек будут находиться на прямой АВ. В данном случае риск портфеля максимальный.

При ₁₂- возможные портфели будут располагаться на лучах АС и СВ. При приближении d к опти­мальному значению (от A к C) снижение доходности порт­феля сопровождается снижением риска, а при движении от С к В при снижении доходно­сти портфеля риск увеличивается. Для отрезка AC риск портфеля наименьший при равной доходности или доходность портфеля максимальна при равном риске. Таким образом, портфели для рационального инвестора должны располагаться на отрезке АС.

При ₁₂0 зависимость между доходностью и риском описывается кривой, прохо­дящей через точки A, D, B.

При изменении коэффициента корреляции от 1 к -1 данная кривая будет вытягиваться в сторону отрезков А, С, В. Т.е. множество портфелей ограничено треугольником ABC.

Выше было показа­но, что если портфели формируются из двух активов, то все возможные их комбинации (при данном коэффициенте корреляции) располагаются на некоторой кривой или прямой. В том случае, когда в состав портфе­лей включается несколько активов, их совокупность образует некоторую область. Эта область называется допустимым (достижимым) множеством и на рис.3.2 заштрихована.

Рис.3.2. Допустимое и эффективное множество портфелей

Отдельные точки внутри этой области характеризуют возможные портфели, состоящие из какого-то количества активов (или отдельные активы). Порт­фели допустимого множества неодинаковы по степени их привлекатель­ности для инвестора. Наиболее привлекательными портфелями являют­ся те, которые расположены на левой верхней границе допустимого мно­жества и находящиеся на кривой AC. Множество портфелей, находящихся на данной кривой, называется эффективным множеством. Эти портфели обеспечивают максимальную доходность при данном уровне риска и минимальный риск при данном уровне доходности.

Оптимальный портфель (optimal portfolio) выбирается из эффективного множества в со­ответствии с отношением инвестора к риску, которое в свою очередь ха­рактеризуется кривыми безразличия. Точка касания кривой безразличия эффективного множества и определяет оптимальный портфель. Поскольку у разных инвесторов наклон кривых безразличия неодинаков, то на одном эффективном множестве каждый из них выбе­рет свой оптимальный портфель. Кривая безразличия 1 харак­теризует более осторожного инвестора, выбор которого характеризуется точкой D(r,), а кривая 2 - менее осторожного (более склонного к риску), выбор которого характеризуется точкой E(r,).

Задача оптимизации портфе­ля может быть сформулирована следующим образом: необходимо опре­делить доли ценных бумаг различных типов, включаемых в портфель, обеспечивающих минимизацию риска при заданном (желаемом инвесто­ром) уровне доходности.

Одним из методов оптимизации портфеля является диверсификация Марковица. Метод основан на использовании методов оптимального программирования. При этом формируются целевая функ­ция и ограничения, а на их основе - функция Лагранжа.

Пусть целевая функция данной задачи определяется как минимизация дисперсии портфеля _р²:

(3.12)

где di, dj –доли i-й и j-й ценной бумаги в портфеле, σ_ij - ковариация данных бумаг.

Ограничения:1) средняя доходность портфеля M_p согласно (3.2), 2) сумма весов активов портфеля d_i = 1 .

Для решения этой задачи формируется функция Лагранжа:

(3.13)

где λ₁, λ₂ - множители Лагранжа.

Портфель, минимизирующий риск, определяется решением системы уравнений:

(3.14)

Задача, сформулированная для случая трех активов (K=3):

(3.15)

Представим систему в матричном виде:

(3.16)

Если обозначить матрицу через H, вектор с переменными через А и вектор в пра­вой части - через G, то получим матричное уравнение:

H * A = G или A = H^-1 * G (3.17)

Пример. Имеются акции со следующими характеристиками:

Акция, i	Средняя доход- ность, Mi	Дисперсия, σii=σi2	Ковариация, σij
1	0,06	0,35	σ12 = -0,1
2	0,09	0,42	σ23 = 0,42
3	0,18	0,75	σ13 = 0,3

Инвестор хочет получить доходность портфеля Mp=12%, сформировав портфель из трех акций при минимальном риске. Определить параметры портфеля.

H = ,Н^-1 =

Тогда согласно (3.17):

Тогда заданный портфель при Mp=0,12 будет иметь следующую структуру (веса округлены): d₁=0,306; d₂=0,259; d₃= 0,435.