4156
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Задачи для практических занятий и самостоятельной работы
(1-й семестр)
Рязань 2009
УДК 512+517(076.1)
Комплексные числа. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия. Введение в анализ: задачи для практических занятий и самостоятельной работы / Рязан. гос. радиотехн. ун-т; сост.: А. В. Дубовиков, Ю.С. Митрохин, С.В. Богатова, Г.С. Лукьянова, А.И. Сюсюкалов, К.А. Ципоркова, Т.И. Дорофеева, С.С. Крыгина, А.В. Лоскутов, И.В. Бодрова, Т.Л. Львова, Е.А. Сюсюкалова. – Рязань, 2009. – 68 c.
Содержат разноуровневые задачи для практических занятий и самостоятельной работы по математике. Задачи повышенного уровня отмечены звёздочкой (*).
Рекомендуется преподавателям кафедры высшей математики и студентам всех специальностей дневной формы обучения.
Модуль и аргумент комплексного числа, матрица, определитель, системы алгебраических уравнений, вектор, предел, предел функции, непрерывность, производная
Печатается по решению редакционно-издательского совета Рязанского государственного радиотехнического университета.
Рецензент: кафедра высшей математики Рязанского государственного радиотехнического университета (зав. кафедрой канд. физ-мат. наук, доц. К.В. Бухенский)
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В КУРС МАТЕМАТИКИ………………1
ГЛАВА2. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА…………………………5
ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ…………………15
ГЛАВА 4. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ…30 ГЛАВА 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ……...….39
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В КУРС МАТЕМАТИКИ
1.1. Множества. Операции над множествами Упростить выражения, если B A .
1. |
(A I B)I (A U B). |
2. |
(A U B)U (B I A). |
3. |
(A I B)U (A \ B). |
4. |
(A U B)I (B \ A). |
Упростить выражения, если C B A .
5.(A I B)I (A U C)U (B U C).
6.(A I B)U (A U C)U (B I C).
7.(A \ C)U (B U C)I (B I C).
8.(A U B)\ (B U C)I (C \ B).
Упростить выражения, если A I B = , C A .
9.* (A I C)U (B U C)I (A U B).
10.(A U C)I (B \ A)I (A U B).
11.(B U C)U (A U B)I (A \ C).
Ω– универсальное множество. A, B – произвольные множества из Ω . Упростить выражения.
12.(A U B)I (A I B)U (A I B).
13.(A I B)I (A I B)U (A U B).
14.(A U B)I (A I B)I (A I B).
На рисунке приведены электрические цепи, и цифрами обозначены элементы цепи (одинаковые цифры означают одинаковые элементы). Пусть
Ai – событие, что i-й элемент работает, а Ai – i-й элемент не работает
(Ai U Ai = W). Записать событие, что цепь проводит ток (ответ упростить).
15.
16.
1.2. Действия над комплексными числами,
записанными в алгебраической форме
Заданы комплексные числа z1 и z2 . Найти:
|
|
а) z1 + z2 ; |
|
|
б) z1 + z2 ; |
в) z1 - z1 ; |
г) z1 × z2 ; |
||||||||
|
|
д) z × z |
2 |
; е) z |
2 |
× z |
2 |
; |
ж) |
z1 |
; з) |
z1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
z2 |
|
z2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
17. |
z1 |
= 3 |
- i , z2 =1+ 3i . |
18. z1 = 2 + i , z2 = 3 - i . |
|||||||||||
19. |
z1 |
= 3 |
+ 2i , z2 =1- 2i . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Заданы комплексные числа z1 и z2 . Найти:
|
а) z2 |
- z |
2 |
; б) z + 2z2 |
; |
в) |
z1 |
; г) |
|
|
z 2 |
. |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
z2 |
2 |
|
|
|
z2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
20. |
z = 2 + 2i , |
z |
2 |
=1+ 3i . |
21. |
z |
= 2 + 3i , z |
2 |
= -1+ i . |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
22. z1 = 3 + i , z2 = -1- 3i .
1.3. Модуль и аргумент комплексного числа.
Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа
|
Дано комплексное число |
z . Найти модуль и аргумент этого числа, |
|||||||||||||||||
записать |
число |
z |
в |
тригонометрической |
и |
показательной |
формах, |
||||||||||||
− π < arg z ≤ π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
23. |
z =1+ i . |
24. |
z = −1+ i . 25. |
z =1− i . |
26. |
z = −1− i . |
|
|
|
||||||||||
|
z = |
|
- i . |
|
z =1+ i |
|
. |
29. z = −2i . |
|
|
|
|
|||||||
27. |
3 |
28. |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
Дано |
|
комплексное |
число |
|
z . |
Записать |
в |
тригонометрической |
и |
|||||||||
показательной формах числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
30.* |
z2 , если z =1− i . |
|
|
|
31.* |
z + 2z2 , если z =1+ i . |
|
|
|
|
|||||||||
|
z2 - z , если z =1+ i |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
32.* |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1.4. Умножение и деление комплексных чисел |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
в тригонометрической форме |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Даны |
|
комплексные |
числа |
|
z1 и z2 . Записать |
z1 × z2 |
и |
z1 |
|
в |
||||||||
|
|
|
z2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
тригонометрической форме, используя запись z1 и z2 в тригонометрической форме, − π < arg z ≤ π.
|
z1 |
= |
|
+ i , z2 |
=1- |
|
|
|
|
34. z1 = -1+ |
|
|
|
|
|
|
33. |
3 |
3i . |
3i , z2 = -1- i . |
|||||||||||||
|
z1 |
= |
|
- i , z2 |
= -1+ |
|
|
|
|
36. z1 =1+ i |
|
, z2 = - |
|
- i . |
||
35. |
3 |
|
3i . |
3 |
3 |
|||||||||||