201. Найти линейную зависимость между данными некомпланарными векторами: m = a - b + c , n = b + c2 , p = a + b , q = b - c .
3.4. Полярные координаты на плоскости
202. Построить |
точки, |
заданные |
æ |
p ö |
|||||||
полярными координатами: Aç3; |
2 |
÷, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è |
ø |
|
æ |
- 2; |
5p ö |
æ |
3; - |
p ö |
D(- 2; 0). |
|
|
|||
Bç |
|
|
÷ |
, Cç |
6 |
÷ , |
|
|
|||
4 |
|
|
|
||||||||
è |
|
ø |
è |
|
ø |
|
|
|
|||
203.Найти полярное уравнение прямой x = 1. Построить эту прямую.
204.Что представляют собой линии, заданные в полярной системе координат уравнениями: 1) ρ = a , 2) ϕ = α ,
3) ϕ = α + π , где α,a − const ?
205.Дано полярное уравнение линии r2 = 9sin 2j . Построить эту линию. Найти ее уравнение в декартовой системе координат.
206.Найти полярное уравнение окружности x2 + y2 = 2ax .
207.Построить линию ρ = 2cos2ϕ . Написать уравнение этой линии в декартовой системе координат.
208. Построить кардиоиду r = 2a(1+ cosj), a > 0. Написать ее уравнение в декартовой системе координат.
209.Построить линию ρ = 2 + cosϕ (улитка Паскаля). Написать уравнение этой линии в декартовой системе координат.
210.Найти полярное уравнение окружности радиусом a , центр которой находится в полюсе, если её уравнение в декартовой системе координат
имеет вид x2 + y2 = a2 .
211.* Найти полярное уравнение эллипса |
x2 |
+ |
y2 |
=1, если направление |
a2 |
b2 |
полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в центре эллипса.
3.5.Скалярное произведение двух векторов
иего приложение
212. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
= (7;2;-1) и b |
= (1;2;-3). Найти скалярное |
||||||||||||||||||
Даны два вектора a |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
произведение этих векторов и косинус угла между ними. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Векторы a и |
|
взаимно перпендикулярны, вектор |
|
c образует с ними |
||||||||||||||||||||||||||||||
213. |
b |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p . |
|
|
|
|
|
a |
|
= |
|
|
= 2 , |
|
c |
|
=1, |
|
|
|
|||||||
|
углы, |
равные |
|
|
Зная, что |
|
b |
|
|
|
найти: 1) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(2a - |
|
|
)(c - a); 2) (a + |
|
+ c)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
Дано, что |
|
a |
|
= 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
214. |
|
|
b |
= 5. При каком значении α векторы aa +17b |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
и 3a - |
|
будут перпендикулярны, если Ð(a, |
|
)= |
|
2p |
? |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
b |
b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
215. |
Даны |
|
|
|
|
|
вершины |
|
|
четырехугольника |
|
|
|
A(1; 2; 3), |
B(7; 3; 2), |
||||||||||||||||||||
|
C(- 3; 0; 6), |
D(9; 2; 4). Доказать, |
|
что его |
|
диагонали взаимно |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
перпендикулярны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
216.Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a(2;1; 0) и b(0; -1;1).
217. |
Даны вершины треугольника |
A(4;1; 0), B(2; 2;1), |
|
C(6; 3;1). |
|||||||||||||||||||||||||||
|
Найти проекцию стороны AB на сторону AC . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
218. |
|
|
Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на |
||||||||||||||||||||||||||||
|
векторах a = 5p + 2q и |
|
|
|
= p - 3q , если известно, что |
|
p |
|
= 2 |
|
, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
q |
|
= 3 и Ð(p, q)= p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
219. |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
Даны силы |
|
= |
|
- |
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
f |
i |
j + k |
f |
2 |
= 2i |
+ j+ 3k . Найти работу их |
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
равнодействующей при перемещении точки из начала координат в точку
A(2; -1; -1).
220. Вычислить угол между векторами a = 3p + 2q и b = p - q , где
p=1, q = 2 , Ð(p, q)= p3 .
221.Найти проекцию вектора a(2; - 3; 4) на ось, составляющую с
координатными осями равные острые углы.
222. Найти вектор |
x , перпендикулярный к векторам |
a = |
|
+ |
|
и |
||||||
i |
k |
|||||||||||
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
b |
j - k , |
если известно, что его проекция |
на вектор |
||||||||
c= i + 2j + 2k равна 1.
3.6.Векторное произведение двух векторов
иего простейшие приложения
223. |
Найти |
векторное |
произведение |
векторов |
|
r |
+ 2 j -3k и |
||||||||||||
|
a = 7i |
||||||||||||||||||
|
b = 2i - 2 j + 4k и его модуль. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
224. |
Найти площадь треугольника с вершинами A(1; 2; 0), |
B(3; 0; - 3), |
|||||||||||||||||
|
C(5; 2; 6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
225. |
Найти |
площадь |
параллелограмма, построенного |
на векторах |
|||||||||||||||
|
a = p + 2q и |
|
|
|
= 2p + q , если p и q – единичные векторы, а угол |
||||||||||||||
|
b |
||||||||||||||||||
|
между ними j = p . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Сила |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M(2; -1;1). Найти ее |
|||||||
226. |
F |
= 3i |
+ 2j - 4k приложена к точке |
||||||||||||||||
|
момент относительно начала координат. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, если A(1; 3; 5), |
|||||||||||
227. |
Найти синус угла |
между векторами |
|
AB |
и |
|
AC |
||||||||||||
B(7; 0; 2), C(1; 3; 2).
228.В треугольнике с вершинами A(3; 5; 6), B(6;1; 0), C(3; 7; 8) найти длину высоты AM .
229. Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями которого служат
векторы 3e1 - 4e2 и 3e1 + 5e2 , где e1, e2 |
– единичные векторы и |
|||||||||||||||||||||||||
Ð(e , e )= p . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
230. Даны три силы, приложенные к точке M(2;1; 2): |
|
= |
|
+ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
f |
i |
j + k , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
2 = -2i |
- 3j+ k , |
f3 = i - 2j+ k . |
Найти |
|
момент их |
|||||||||||||||||||
равнодействующей относительно точки A(0; -1; -1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
231. Найти координаты вектора x , если известно, что он перпендикулярен к векторам a1(4; 2; 3) и a2 (1;1;1), образует тупой угол с ортом j и
x=13.
232.Найти координаты вектора x , если он перпендикулярен к векторам
a1(2; - 5; 0) и a2 (-1; - 3;1) и удовлетворяет условию
x(3i + 2j + 3k)=13.
233. Найти синус угла между векторами a = m + 2n и b = m - n , где
m=1, n =1, Ð(m, n)= p3 .
3.7.Смешанное произведение трех векторов
иего приложения
234. Даны координаты |
вершин пирамиды A1(5;1;- 4), |
A2 (1;2;-1), |
A3 (3;3;- 4) и |
A4 (2;2;2). Найти смешанное |
произведение |
векторов A1A2 , A1A3 и A1A4 и определить объём пирамиды, построенной на этих векторах.
235.Определить, какой является тройкой векторов a , b , c (правой или левой), если: 1) a = k , b = i , c = j; 2) a = i , b = k , c = j; 3)
a = j, b = i , c = k .
236.Вектор c перпендикулярен к векторам a и b , причем Ð(a, b)= 300 .
Зная, что a = 6 , b = 3, c = 3, вычислить (a b c).
237.Установить, компланарны ли векторы a , b , c , если:
1)a(2; 3; -1), b(1; -1; 3), c(1; 9; -11);
2)a(3; - 2;1), b(2;1; 2), c(3; -1; - 2).
238. |
Доказать, |
|
|
|
что |
|
точки |
A(1; 0; 7), |
B(-1; -1; 2), |
C(2; - 2; 2), |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
D(0;1; 9) лежат в одной плоскости. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
239. |
Найти |
|
|
объем |
параллелепипеда, |
построенного |
|
|
на |
|
векторах |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
a = |
|
- 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c = |
|
- |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
i |
j+ k , b = 3i + 2j + k , |
i |
k |
Установить, |
|
какой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
тройкой – правой или левой – являются вектора a , |
|
, |
c . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
240. |
Даны вершины тетраэдра O(- 5; - 4; 8), A(2; 3;1), |
B(4;1; - 2), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
C(6; 3; 7). Найти длину h высоты, опущенной из вершины О на грань |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
АВС. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
241. |
Объем |
тетраэдра |
|
V = 5, три |
его вершины |
находятся |
|
в |
точках |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
A(2;1; -1), |
B(3; 0;1), C(2; -1; 3). Найти координаты четвертой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
вершины D , если известно, что она лежит на оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
242. |
|
|
|
|
|
|
|
векторов a , |
|
|
|
, |
c , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Доказать |
|
компланарность |
|
|
b |
|
если |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[a, |
|
]+ [ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
b |
b, c]+ [c,a]= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
243. |
Вычислить |
объем |
параллелепипеда, построенного |
на |
|
векторах: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a = 3m + 5n , |
|
= m - 2n , |
|
|
c = 2m + 7n , |
|
|
m |
|
= |
1 |
, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
b |
|
|
где |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n= 3, Ð(m, n)=1350 .
244.Вычислить проекцию вектора a = 3p −12q + 4r на ось, имеющую
направление вектора b = [(p - 2r)(p + 3q - 4r)], если p, q, r – взаимно перпендикулярные орты.