Математический анализ II Учебное Пособие

Необходимость. Пусть r ot a = 0 . Возьмём замкнутую кривую l , ле-

жащую в поле вектора a , тогда будет

∫aτdS = ∫∫(r ot a)n dS = 0 , т.е. ∫aτdS = 0 , следовательно,

l S l

∫aτdS = ∫axdx +aydy +a zdz = 0 .

l l

Мы пришли к тому, что интеграл по замкнутому контуру l равен нулю, а это, как известно, может быть лишь в том случае, когда под знаком интеграла стоит полный дифференциал некоторой функцииU (x ,y ,z ) , т.е.

т.е. a =gr adU (x ,y ,z ) . Теорема доказана.

Замечание 1. Заметим, что функция U (x ,y ,z ) , градиент от которой яв-

ляется полем вектора a , называется потенциалом. Так как в этом случае криволинейный интеграл

∫axdx +aydy +a zdz

K

не зависит от пути интегрирования, то потенциал векторного поля можно найти, вычислив интеграл

(x ,y ,z )

I = ∫ axdx +aydy +a zdz .

(x0 ,y 0 ,z 0 )

Замечание 2. Из доказанной теоремы ясно, что потенциальное поле можно определить и по-другому, а именно: дать другое эквивалентное определение.

Поле вектора a называется потенциальным, если оно является полем градиента некоторого скаляраU =U (x ,y ,z ) .

Замечание 3. Учитывая физический смысл криволинейного интеграла, приходим к выводу, что работа потенциального векторного поля вдоль некоторой кривой не зависит от формы кривой и равна разности значений потенциала поля в начальной и конечной точках интегрирования. А тогда можно дать ещё одно эквивалентное двум предыдущим определение потенциального векторного поля.

Векторное поле называется потенциальным, если работа вдоль любой замкнутой кривой равна нулю.

124

Иван Александрович Лапин Лариса Семёновна Ратафьева

Математический анализ II

Учебное пособие

Под общей редакцией Ларисы Семёновны Ратафьевой

112