1. Математический язык: алфавит, синтаксис, семантика.2 взгляда на математику. Греческий алфавит.

2 взгляда на матан:

1. Прикладной (практический).

2. Прогресс(Теория).

1)=> следует(достаточно)

2)  необходимо и достаточно

3) ∃ существует

4) ∀ любой (Квантор всеобщности)

5) определение(равно по определению)

6) ∨ дизъюнкция(лог. или)

7) ∧ конъюнкция (лог. и)

8) ¬ не(отрицание)

9) L(наоборот) пусть

10)! существует единственный (Квантор единственности)

2. Комплексные числа: определение, изображение на плоскости. Модуль и аргумент.

Опр1: комплексным числом z, называется выражение вида z=x+iy, где i=sqrt(-1), i²=-1.

Rez=x; Imz=y.

|z|=|r|=sqrt(x²+y²) – модуль

ϕ=Arg z – аргумент.

0≤arg z≤2П

Arg z=arg z + 2ПК, к ϵ Z

X=|z|Cos ϕ

Y=|z|Sin ϕ

Z=|z|(Cos ϕ + iSin ϕ)-Тригонометрическая форма комплексного числа.

e^iϕ=Cos ϕ + Sin ϕ – Формула Эйлера.

z=x + yi=|z|e^iϕ

3. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия.

1. Равенство:

z₁=x₁ + y₁i

z₂=x₂ + y₂i

z₁=z₂, если x₁=x₂ и y₁=y₂

2. Сложение:

z₁ + z₂=(x₁+x₂)+(y₁+y₂)i

3. Вычитание:

z₁ - z₂=(x₁-x₂)+(y₁-y₂)i

4. Умножение:

z₁z₂=(x₁+ y₁i)( x₂+y₂i)

5. Степень комплексного числа:

zⁿ=z*z*…*z- n-раз

Zⁿ=|z|ⁿ(Cos nϕ + iSin nϕ)

zⁿ =|z|ⁿe^inϕ

6. Деление комплексных чисел:

z₁/z₂=(x₁+iy₁)(x₂-iy₂)/(x₂+iy₂)(x₂-iy₂)=(x₁x₂+y₁y₂)+i(x₂y₁-x₁y₂)/x₂²y₂²

7. Извлечение корня n-степени:

nsqrt z=nsqrt( |z|( Cos ϕ + Sin ϕ))=nsqrt(|z|)*( Cos ((ϕ+2пк)/n) + iSin ((ϕ+2пк)/n))

формула Муавра k=0,1,2…n-1.

4. Тригонометрическая форма. Действия.

1. Умножение

z₁z₂=|z₁||z₂|( Cos(ϕ₁+ ϕ₂) +i Sin(ϕ₁+ ϕ₂))

2. Деление

z₁/z₂=|z₁|/|z₂|*( Cos(ϕ₁- ϕ₂) +i Sin(ϕ_1- ϕ₂))

3. Степень комплексного числа:

Zⁿ=|z|ⁿ(Cos nϕ + iSin nϕ)

zⁿ =|z|ⁿe^inϕ

4. Извлечение корня n-степени:

nsqrt z=nsqrt( |z|( Cos ϕ + Sin ϕ))=nsqrt(|z|)*( Cos ((ϕ+2пк)/n) + iSin ((ϕ+2пк)/n))

формула Муавра k=0,1,2…n-1.

5. Показательная форма комплексного числа. Извлечения корня

z=|z|e^iϕ-показательная форма.

Sqrt(z)=sqrt(|z|)e^{i(ϕ+2пк/n)}

6. Многочлены: определение, теорема Безу, разложение на множители.

Многочленом называется сумма выражений, которые содержат константы, степени переменных и их произведения.

Th. Безу: При делении многочлена Pn(x)/x-c, где с – комплексное число, получается остаток равный значению многочлена, который получается при х равном с.

Сл-е 1. Для того, чтобы многочлен Pn делился без остатка на разность х-с ó чтобы выполнялось условие Pn(c)=0.

Сл-е 2. Если Pn(x)с вещественным коэффициентом имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Основная теорема высшей алгебры: Всякий многочлен в степени n>=1 имеет хотя бы 1 вещественный или комплексный корень.

Сл-е. Если в разложении многочлена Pn(x) с вещественным коэффициентом комплексное число a+bi является корнем кратным к, то и сопряженное комплексное число a-bi является корнем той же кратности.

7. Множества и действия над ними.

Опр1:Множество -это совокупность чисел, обладающих некоторыми характерными свойствами.

Опр2:Множество B называется подмножеством множества A, если каждый элемент множества B является элементом множества A.

Опр3: Два множества A и B называются равными, если они содержат одни и те же элементы.

Опр4: Суммой множеств A и B, называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств A или B.

Опр5:Пересечением или произведением множеств A и B называется множество, состоящих из элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству B.

Опр6:Разностью Двух множеств A и B называется множество , состоящее из элементов, которые принадлежат множеству A, но не принадлежат множеству B.

Опр7:Два множества называются эквивалентными, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Множество называется счётным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

8. Многочлены с действительными коэффициентами их свойства.

Многочлены с действительными коэффициентами.   от комплексной переменной , в предположении, что его коэффициенты- действительные числа. Сформулируем и докажем ряд свойств такого многочлена.

1.Если  - число, сопряжённое к числу , то .

2. Если - корень многочлена , то  - тоже корень этого многочлена.

3. Если - корень многочлена с действительными коэффициентами , то  без остатка делится на квадратный трёхчлен , где .

4. Если - корень многочлена  кратности , то  - корень этого многочлена той же кратности. Док-во: непосредственно следует из утверждений 2,3.

5. Любой многочлен -ой степени  может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде

, где

- попарно различные действительные корни этого многочлена,  - их кратности, квадратные трёхчлены (соответствующие попарно различным парам сопряжённых корней  кратностей )  с действительными коэффициентами не имеют действительных корней (т.е. ), . Это утверждение непосредственно следует из результатов этого и предыдущего разделов.

6. Предположим теперь, чтобы переменная  принимает только действительные значения, т.е. . Тогда утверждение 5 можно переформулировать так: любой многочлен с действительными коэффициентами  от действительной переменной  может быть представлен, и притом единственным с точностью до порядка сомножителей образом, в виде