12. Правила нахождения предела.

1) Подставить в выражение предельное значение аргумента.

2) Определить есть или нет неопределенность. Если нет, дать ответ.

3) Если неопределенность есть, то по ее виду выбрать одно из правил устранения этой неопределенности.

4) Преобразовать выражение согласно выбранному правилу, и к новой форме предела применить данный алгоритм, начиная с п.1.

13. Теорема о сжатой переменной

Th:ϕ(x),ψ(x),f(x) – предела U0(x0,δ), при этом в этих окрестностях выполняется неравенство ϕ(x)≤f(x)≤ψ(x), Lim_x->x0 ϕ(x)= Lim_x->x0 ψ(x)=A=> Lim_x->x0­­_­­f(x)=A

Доказательство:

Lim_x->x0 ϕ(x)=A, Lim_x->x0 ψ(x)= A

Любая ε>0

Ҙδ1=δ1(ε)>0 любая x ϵ U0(x0,δ1):A-ε<ϕ(x)<A­+ε

Ҙδ2=δ2(ε)>0 любая x ϵ U0(x0,δ2):A-ε< ψ (x)<A­+ε

δ=inf{δ1, δ2}

A-ε< ϕ(x)≤f(x)≤ ψ (x)< A­+ε=> Lim_x->x0 f(x)=A

14. Замечательный предел lim(sin(x)/x) при x->0

lim(sin(x)/x)=1

S_∆OAB<S_{сектор OAB}<S_∆OAC

1/2R²Sinx<1/2R²x<1/2R²tgx

Sinx<x<tgx

Sinx>0(x-острый)=>Sinx

1<X/Sinx<Cosx |:-1

Cosx<Sinx/x<-1

любой ε>0 Ҙ δ1(ε)>0

˩ δ=sqrt(2ε) (x)< sqrt(2ε)=>(1-Cosx)<2Sin²x/2<x²/2< ε=> lim_x->0 Cosx=1=> lim_x->0 Sinx/x=1

˩x<0

lim_x->0-0 Sinx/x= lim_y->0+0 Sin-y/-y= lim_y->0+0 -Siny/-y=1

15. Замечательный предел lim(1+1/n)ⁿ при n->∞

(a+b)ⁿ=aⁿ+na^n-1b+((n(n-1))/1*2)a^n-1b²+…+(n(n-1)…(n-k+1)/1*2*…*k)a^kb^n-k+…+(n(n-1)…(n-(n-1))/1*2*…n)+bⁿ

C^k_n=n!/k!(n-k!)

lim_x->∞ (1+1/n)ⁿ=e=2.7118281828…

lim_x->∞ (1+1/n)ⁿ=e

lim_x->∞ (1+1/x_n)^xn=e

lim_x->∞ (1+1/x)^x=e

lim_x->∞ (1+x)^1/x=e

16. Бесконечно малые и бесконечно большие, связь между ними.

Опр1: ϕ(x)-называется бесконечно малым в точке x₀ϵR, если lim_x->0ϕ(x)=0

Опр2: ψ(x)-называется бесконечно большой в точке x₀ϵR, если lim_x->∞ψ(x)=+∞

Th1:

1. Если ϕ(x) б.м. функция, точки x0, то 1/ϕ(x)-есть бесконечно большая функция этой точки, при условии что ϕ(x) ≠0 в точке x0.

2. Если ψ(x) б.б. в точке x0, то 1/ψ(x)-б.м. в точке x0

Th2: Следующие 2 универсальных эквивалента:

1. Функция f(x) в точке x0 имеет конечный предел =А.

2. Функция ϕ(x)=f(x)-A является б.м. в точке x0.

17. Основные свойства бесконечно малых пределов.

Опр1: Пределом функции y=f(x) в точке x0, называется такое постоянное число A, разность между которым и функцией y=f(x) есть бесконечно малая функция.

Th1: Если f(x) ограничена в окрестности точки x0, а функция ϕ(x) – б.м. в точке x0, то их произведение f(x) и ϕ(x) есть функция б.м. в этой точке.

Следствия:

1⁰. Произведения постоянной C на б.м. функцию, равняется б.м. функцией.

2⁰. Произведение двух бесконечно малых функций в точке x0, есть бесконечно малая функция в x0

Th2: Если функция f(x) в точке x0 имеет конечный предел, отличный от нуля, а функция g(x) – бесконечно большая в этой точке, то их произведение f(x) и g(x) есть функция, бесконечно большая в точке x0.

18. Критерий существования конечного предела. Действия над пределами.

Th1: Ограниченность функции имеющая конечный предел.

Если в(.) x0 f(x) имеет конечный предел, то в некоторой проколотой окрестности x0 функция f(x).

Доказательство:

Lim_x->x0=A  любое E>0 -> δ=δ(ε)>0

Любой x+U0(X0,δ) |f(x)-A|<ε => A-ε<f(x)<A+ε

Th2: Если в окрестности (.) x0 имеет место неравенство ϕ(x)≤ψ(x), и существуют конечные пределы Lim_x->x0ϕ(x)=A, Lim_x->x0ψ(x)=B A≤B

Действия:

1. Сумма

Lim_x->x0(f1(x)+f2(x))= Lim_x->x0f1(x)+ Lim_x->x0f2(x)

2. Разность

Lim_x->x0(f1(x)-f2(x))= Lim_x->x0f1(x)- Lim_x->x0f2(x)

3. Произведение:

Lim_x->x0(f1(x)F2(x))= Lim_x->x0f1(x)* Lim_x->x0f2(x)=A*B