4. Деление:

Lim_x->x0(f1(x)/f2(x))= Lim_x->x0/Lim_x->x0f2(x)

19. Сравнение бесконечно малых. Принцип замены на эквиваленту.

Опр1: Говорят что α(x) есть б.м. более высшего порядка чем β(x), если Lim_x->x0(α(x)/β(x))=0. И пишут α(x)=0*β(x)

Опр2: Говорят что α(x)-б.м. и β(x) – б.м., имеют одинаковый порядок малости предела, если Lim_x->x0(α(x)/β(x))=k, где k-конечное число и не равно нулю.

Опр3: Говорят что α(x) и β(x) – эквивалентны и б.м. в точке x0 если предел их отношений равен 1. Lim_x->x0(α(x)/β(x))=1, α(x)~β(x)

Th1: Произведение двух б.м. есть б.м. функция высокого порядка малости чем любой из двух пределов

Th2: Для того что бы α(x) и β(x) были б.м., необходимо чтобы их разность была бесконечно малой и больше чем они.

Th3: Принцип замены на эквиваленту

Если в (.) x0 α(x)~ α`(x), β(x)~ β`(x), то Lim_x->x0(α(x)/β(x))= Lim_x->x0(α`(x)/β`(x))

Доказательство:

Lim_x->x0(α(x)/α`(x))= Lim<sub>x->x0</sub>(β(x)/β`(x))=1

Lim_x->x0(α(x)/β(x))= Lim_x->x0(α(x)α`(x)β`(x)/ α`(x)β`(x)β(x))= Lim_x->x0(α(x)/α`(x))* Lim<sub>x->x0</sub>(α`(x)/β`(x))* Lim<sub>x->x0</sub>(β`(x)/β(x))* Lim_x->x0(α`(x)/β`(x))= Lim_x->x0(α`(x)/β`(x))

Эквиваленты:

1. Sinα(x)~α(x)

2. arcSinα(x)~α(x)

3. tgα(x)~α(x)

4. arctgα(x)~α(x)

20. Непрерывность функции в точке(определение).

Опр1: Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если Lim_Δx->0f(x)=f(x0)

Опр2: f(x), называется непрерывной в точке x0, если б.м. приращение аргумента в этой точке, соответствует б.м. приращение этой функции. Lim_Δx->0Δf(x0)=0

Опр3: Функция называется непрерывной в точке x0, если ε любое больше нуля, можно указать так δ=δ(ε)>0, что из неравенства следует |f(x)-f(x0)|<ε, |x-x0|<δ

21. Классификация точек разрыва

1) Точка х0 называется точкой устранимого разрыва, если пределы при x->x0 справа и слева конечны и равны. При этом говорят, что разрыв в (.) х0 можно устранить, если доопределить функцию по непрерывности.

2) (.) х0 называется точкой разрыва 1-го рода или точкой конечного разрыва, если в этой точке функция определена, а односторонние пределы конечны

Скачок:

3) Точка х0 называется (.) разрыва 2-го рода или (.) бесконечного разрыва, если хотя бы 1 из односторонних пределов равен бесконечности.

22. Замечательные пределы lim(ln(1+x))/x, lim(a^x-1)/x, lim((1+x)^k -1)/x при x->0

1. Lim_x->0(ln(1+x))/x=lim _x->01/x*ln(1+x)=lim _x->0ln(1+x)^1/x=ln lim _x->0 (1+x)^1/x=lne=1

2. lim _x->0 (a^x-1)/x= lim _x->0 ln(1+a^x-1)/x ₌ lim _x->0 lna^x/x= lim _x->0 x*lna/x=lna

3. lim _x->0 ((1+x)^k -1)/x= lim _x->0 ln((1+x)^k -1+1)/x= lim _x->0 ln(1+x)^k /x= lim _x->0 k*ln(1+x)/x=k

23. Свойства функций, непрерывных в точке(3 свойства).

Теорема: Если f(x) непрерывна в (.) x0 и f(x0) не равно 0, то существует некоторая окрестность U(x0, δ), в которой функция имеет тот же знак, что и в (.) х0

Теорема: Если f1(x) и f2(x) непрерывны в(.) х0, то справедливо:

1) С*f1(x) – непрерывна в (.) х0

2) f1(x) ± f2(x) - непрерывна в (.) х0

3) f1(x)*f2(x) – непрерывна в (.) х0

4) f1(x)/f2(x), где (f2(x0)≠0) – непрерывна в (.) х0

Теорема: любой элемент функции непрерывен в каждой (.) ее множества определений.