- •36. Связь пределов последовательностей с арифметическими операциями.
- •37. Бесконечно малые, бесконечно большие последовательности.
- •38. Монотонные последовательности, число е
- •39. Понятие функции, области определения, значений. Способы задания функции.
- •40. Предел функции, теорема существования предела функции.
- •41. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •42. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных в точке функций.
- •1. Если функции и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .
- •2. Если функция непрерывна в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .
- •43. Точки разрыва функций.
- •44. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
- •45. Производная функции. Её геометрический и механический смысл.
- •46. Производная суммы, произведения, частного.
- •47. Производная сложной, обратной функции. Производные сложных тригонометрических функций.
- •48. Функции, заданные параметрически и их дифференцирование.
- •49. Гиперболические функции. Их свойства и дифференцирование.
- •50. Дифференцируемость функции.
- •51. Дифференциал функции. Связь с производной, геометрический смысл.
- •52. Инвариартность формы дифференциала.
- •53. Производные высших порядков.
- •54. Формула Лейбница
- •55. Дифференциалы высших порядков.
- •56. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
- •57. Правило Лопиталя.
- •58. Формула Тейлора.
- •61. Исследование функций на экстремум при помощи производных высшего порядка.
- •62. Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба функции.
- •63. Асимптоты кривых. Общая схема построения графиков функций.
36. Связь пределов последовательностей с арифметическими операциями.
Если xn,yn – числовые последовательности, то их суммой, разностью, произведением, частным при yn 0 называются соответственно последовательности
{(xn yn)},{(xnyn)},{(xn/yn}.
Теорема 8(предел суммы, произведения, частного). Пусть
limnxn = A, limnyn = B,
тогда
limn(xn yn) = A B;
limnxnyn = AB;
limnxn/yn = A/B, при B 0.
Теорема 9. Если
limn xn = A,
limn yn = B,
и A<B, то N: n>N xn<yn.
Теорема 10 (о трех последовательностях). Пусть последовательности xn, yn, zn удовлетворяют при любом n>N условию: xn yn zn, причем
limn xn = limn zn = A.
Тогда
limn yn = A.
Доказательство. Согласно определению предела > 0 N1: n>N1 выполняется A- < xn < A+ > 0 N2: n > N2, A- < zn < A+ Если N = max(N1,N2), тогда при n>N получим A-<xn yn zn < A+ . Следовательно,
|yn-A|< .
Следствие 2. Если все члены последовательности принадлежат отрезку [a,b], и limn xn = c, то c [a,b].
37. Бесконечно малые, бесконечно большие последовательности.
Определение. Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если для любого положительного числа A можно указать номер N такой, что при все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству .
Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Но не каждая неограниченная последовательность является бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, ... 1, n, ... не является бесконечно большой, так как при A > 1 неравенство не выполняется для xn с нечетными номерами.
Определение. Последовательность {xn} называется бесконечные малой, если для любого положительного числа ε можно указать номер N такой, что при все элементы xn этой последовательности удовлетворяют неравенству .
Любая бесконечно малая последовательность является ограниченной.
1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть αn и βn - бесконечно малые последовательности.
ε > 0 N1 : n > N1 , <
ε > 0 N2 : n > N2 , <
αn + βn αn + βn
ε > 0 N = max ( N1 , N2 ) : n > N αn + βn < ε + ε =
2. Разница двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Эта теорема доказывается аналогично теореме о сумме двух бесконечно малых последовательностей, только вместо αn + βn αn + βn надо взять αn − βn αn − βn .
3. Бесконечно малая последовательность ограничена.
Доказательство. M = max { ε, α1 , ..., αN − 1 }
n : αn M.
4. Произведение двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство.
{αn} бесконечно малая, {xn} - ограниченная.
c > 0 : xn c , n < N
ε > 0 N : n > N , αn <
αn * xn = αn * xn
ε > 0 N : n > N
αn * xn < ε.
5. Если все элементы бесконечно малой последовательности, начиная с некоторого номера, равны одному и тому же числу, то это число - ноль.
Доказательство.
{αn} - бесконечно малая последовательность.
При n N * αn = c. Предположим, c 0.
Рассмотрим ε = c / 2 > 0. N : n > N (ε) αn < c / 2.
Положим N1 = max , N * ), тогда при n > N , c < c / 2 - противоречие, значит, c = 0.
6 (а). Если {xn} - бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность {1 / xn} , причём она является бесконечно малой.
6 (б). Если {yn} - бесконечно малая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность {1 / en} , причём она является бесконечно большой.
Доказательство. M > 0 N (M) : n > N (M) xn > M.
Из этого видно, что начиная с определённого номера n > 0 , а это значит, что последовательность определена.
{1 / xn} < - бесконечно малая.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.