Математический анализ II Курс Лекций

Т.В.Родина, Е. С.Трифанова

КУРС ЛЕКЦИЙ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ – II

для напр.«Прикладная математика иинформатика»

Учебноепособие

подредакциейпроф.И.Ю. Попова

Санкт-Петербург

2013

Т.В. Родина, Е.С. Трифанова Курс лекций по математическому анализу – II (для напр. «Прикладная математика и информатика»). Учебное пособие. – СПб: НИУ ИТМО, 2013. –153 с.

Предлагаемое пособие является продолжением учебного пособия Т.В. Родина, Е.С. Трифанова «Курс лекций по математическому анализу – I» и предназначено для студентов ЕНФ и ФИТИП специальности «Прикладная математика и информатика». В пособии представлен курс лекций по математическому анализу, читаемых для студентов этой специальности во втором семестре. Данное пособие может быть использовано студентами других специальностей, желающими углубить свои знания в области математического анализа.

Авторы выражают глубокую признательность редактору профессору И.Ю. Попову и студенту А.А. Бойцеву за внимательное отношение к работе и ряд ценных замечаний.

Рекомендовано к печати Ученым советом естественнонаучного факультета, 04.04.2013, протокол №3

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена Программа развития государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики» на 2009–2018 годы.

Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики, 2013

Т.В. Родина, Е.С. Трифанова, 2013

7.2 Вторая интегральная теорема о среднем . . . . . . . . . . . 54 §8 Методы вычисления определенного интеграла . . . . . . . . . . 58 §9 Свойства определенного интеграла от четной, нечетной и пе-

риодической функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 §10 Некоторые формулы, связанные с определенным интегралом . 61

10.2 Формула Валлиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 10.3 Интегральная форма остаточного члена формулы Тейлора 63 10.4 Формула Стирлинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

1.2Свойства измеримых множеств . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.3Необходимые и достаточные условия измеримости множеств 71 §2 Вычисление площадей плоских фигур . . . . . . . . . . . . . . 73

1.1Несобственный интеграл по бесконечному промежутку . . 86

1.2Несобственный интеграл от неограниченной функции . . . 88

1.3Обобщение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 §2 Признаки сходимости несобственных интегралов . . . . . . . . 90

2.1Критерий Коши сходимости интегралов . . . . . . . . . . . 90

2.2Теоремы сравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

2.3 Исследование интеграла от функции, меняющей знак . . . 96

§1 Ряды с положительными членами . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 §2 Ряды с произвольными членами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.1 Абсолютная сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 2.2 Признаки сходимости рядов с произвольными членами . . 115

§3 Законы сложения для рядов. Теорема Римана . . . . . . . . . . 120

= f (x), что означает, что (x) является первообразной для функции f (x) на данном промежутке. J

Замечание 2. Первообразная для функции, заданной на несвязном множестве (например, состоящем из нескольких промежутков), может быть образована из одной, простейшей первообразной с помощью добавления различных констант.

1

Пример 2. Первообразной для функции f (x) = x2 , x =6 0 будет функ-

ция F1 (x) = x1, но в качестве первообразной можно взять, например, такую функцию

для функции f (x) на промежутке (a; b), а функция G (x) — первообразная для функции g (x) на том же промежутке, то на этом промежутке функция F (x)+ G (x) будет первообразной для функции f (x)+ g (x).

I

0 0 0

( F (x) + G (x)) = (F (x)) + (G (x)) = f (x) + g (x) :

J

§2 Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла и таблица простейших интегралов

Определение 5.2.1. Неопределенным интегралом от функции f (x) на промежутке (a; b) называется множество всех первообразных этой функции на этом промежутке.

Z

Неопределенный интеграл обозначают следующим образом: f (x) dx,

где функцию f(x) называют подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx — подынтегральным выражением.

Если F (x) — какая-нибудь первообразная функции f (x) на промежутке (a; b), то имеет место равенство

Z

f (x) dx = F (x) + C;

Доказательство последних формул проводится с помощью дифференцирования. Докажем, например, формулу 14:

I Используя тот факт, что (ln jxj)0 = x1, (x 6= 0), получим

J

§3 Методы интегрирования

3.1 Замена переменной

Пусть ' (t) — дифференцируемая функция, отображающая промежуток ( ; ) на промежуток (a; b). Тогда справедлива формула

ZZ

f (x) dx = f (' (t)) '0 (t) dt;

где x = ' (t). Эту формулу будем называть формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

I Для доказательства справедливости данного равенства достаточно доказать, что равны дифференциалы от каждой части этого равенства. Действительно,

Z

df (' (t)) '0 (t) dt = f (' (t)) '0 (t) dt = f (' (t)) d' (t) = f (x) dx

Z

и d f (x) dx = f (x) dx. J

Замечание 1. При решении задач на вычисление неопределенного интеграла будем считать, что ответ требуется получить только на какомлибо промежутке, где подынтегральная функция непрерывна.