Математический анализ II Курс Лекций

10 Глава 5. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

, Положим x = ' (t) = t2 и будем считать, что t > 0. Тогда

-

Замечание 2. Следует обратить внимание на то, что при вычислении последнего интеграла мы применили формулу замены переменной справа налево.

Замечание 3. В данной ситуации можно было не вводить новую переменную явно, а оформить решение следующим образом:

Такой способ мы будем называть подведением функции под знак дифференциала.

-

3.2 Интегрирование по частям

Пусть u = u (x) и v = v (x) — две дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда на этом промежутке справедлива формула

ZZ

udv = uv vdu:

Эту формулу будем называть формулой интегрирования по частям.

I Данная формула очевидно следует из формулы дифференцирования произведения двух функций: d (uv) = udv + vdu. J

Z

-

Замечание 4. При вычислении функции v(x) мы выбрали только одну первообразную. Докажите самостоятельно, что, взяв любую другую первообразную, получим то же множество первообразных в окончательном ответе.

В последнем интеграле положим u = cos x, dv = exdx. Откуда получим

Обозначая искомый интеграл через I, получим равенство, которое можно

считать уравнением относительно неизвестного I: I = sin xex cos xex I,

откуда 2I = sin xex cos xex и I = ex (sin x cos x) + C: - 2

Приведенный метод называется методом сведения интеграла к себе.

Замечание 5. Равенство 2I = sin xex cos xex не содержит произвольной постоянной, однако, в ответе мы ее добавили. Это произошло оттого, что в данном рассуждении закралась неточность (впрочем, не повлиявшая на ответ). Попробуйте найти и исправить эту неточность самостоятельно.

§4 Классы интегрируемых функций

Естественно поставить вопрос о том, всякая ли функция имеет первообразную. Достаточное условие существования первообразной и, следовательно, широкий класс функций, имеющий первообразную, будут даны ниже.

Однако, даже если эта первообразная существует, ее не всегда можно записать с помощью элементарных функций. Мы будем говорить, что интегралы от таких функций не выражаются в конечном виде. Приведем примеры таких интегралов:

В настоящем параграфе мы разберем классы функций, интегралы от которых всегда выражаются через элементарные функции.

4.1 Интегрирование рациональных дробей

Сначала напомним некоторые сведения из теории многочленов и рациональных дробей.

Теорема 5.4.1 (Основная теорема алгебры). Каждый многочлен степени n

(n > 1) имеет по крайней мере один корень (вещественный или комплексный).

Следствие. Каждый многочлен степени n имеет ровно n корней.

Свойство многочлена с вещественными коэффициентами. Многочлен с вещественными коэффициентами и старшим коэффициентом равным

единице раскладывается на вещественные множители следующим образом:

Pn (x) = (x a1)k1 (x a2)k2 : : : (x aks)ks x2 + p1x + q1 `1 : : : x2 + pjx + qj `j ;

где числа a1; a2; : : : ; as — вещественные корни многочлена кратности k1; k2; : : : ; ks соответственно, указанные квадратные трехчлены имеют

отрицательные дискриминанты: Di = p2i 4qi < 0, i = 1; : : : ; j и k1 + k2 + + ks + 2 (`1 + `2 + + `j) = n.

Заметим, что при этом каждый квадратный трехчлен имеет два комплексно-сопряженных корня.

Рациональной дробью называется дробь вида Pn (x) , где Pn (x) и

Qm (x)

Qm (x) — многочлены относительно переменной x степени n и m, соответственно. Если n < m, то дробь называется правильной, в противном случае — неправильной. В дальнейшем все коэффициенты, встречающиеся в дробях, будем считать вещественными.

называются простейшими дробями первого, второго, третьего и четвертого типа, соответственно.

Теорема 5.4.2. Каждая правильная дробь может быть разложена на сумму простейших дробей, причем единственным образом.

Для доказательства теоремы докажем предварительно две леммы.

где число A выберем таким образом, чтобы числитель имел корень, равный a,

где последняя дробь правильная (но может быть сократимая).

Докажем единственность такого представления. Допустим, что возможны два представления:

комплексно-сопряженных корня. Обозначим эти корни через i, ( 6= 0) и предположим также, что эти числа не являются корнями многочлена

где последняя дробь правильная.

I Рассмотрим разность

Выберем числа A и B таким образом, чтобы комплексные числа i были корнями числителя последней дроби, т.е. чтобы

~

Pn ( i) (A ( i) + B) Q ( i) = 0:

Q2 — вещественные числа, и P12 + P21 6= 0, Q21 + Q12 6= 0. Тогда, отделяя в равенстве (*) вещественные и мнимые части, получим

P1 + P2i (A + B + A i) (Q1 + Q2i) =

=(P1 A ( Q1 Q2) BQ1) + (P2 A ( Q2 + Q1) BQ2) i = 0;

ичисла A и B найдутся из системы

(

A ( Q1 Q2) + BQ1 = P1;

A ( Q2 + Q1) + BQ2 = P2:

Определитель этой системы

= ( Q1 Q2) Q2 ( Q2 + Q1) Q1 = Q22 + Q21 6= 0;

следовательно, система имеет единственное решение, причем числа A и B не могут одновременно равняться нулю.

Из теории комплексных чисел известно, что

Pn ( i) = Pn + i = Pn ( + i) = P1 P2i

(x ( + i)) (x ( i)) = x2 + px + q. Единственность такого представления доказывается так же, как и в лемме 1. J

Теперь перейдем к доказательству теоремы.

I Пусть дробь Qm (x) правильная и несократимая, причем знаменатель име-

ет старший коэффициент равный единице и раскладывается на вещественные множители следующим образом:

Qm (x) = (x a1)k1 : : : (x as)ks x2 + p1x + q1 `1 : : : x2 + pjx + qj `j ;

где каждый квадратный трехчлен x2 + pix + qi имеет отрицательный дискриминант и, следовательно, комплексные корни.

Тогда по лемме 1 дробь может быть представлена в виде

Итак, мы получили, что если знаменатель правильной дроби имеет вещественный корень a1 кратности k1, то дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей первого и второго типа и некоторой правильной дроби, знаменатель которой получается из знаменателя исходной дроби делением на (x a1)k1 .

Аналогично, для следующего вещественного корня a2 кратности k2 получим еще k2 простейших дробей и т.д. Получим

Продолжая таким же образом, мы получим, что каждой паре комплексносопряженных корней знаменателя кратности ` в разложении дроби будет

соответствовать ` простейших дробей третьего и четвертого типа, и, окончательно, данная дробь будет представлена в виде:

k простейших дробей. В действительности часть коэффициентов могут быть равными нулю (но не первые), поэтому на практике количество простейших дробей, соответствующих одному корню, может быть меньше, чем его кратность.

Следствие. Интеграл от рациональной дроби может быть выражен через элементарные функции.

I Если дробь неправильная, то ее можно представить в виде суммы многочлена (целой части дроби) и правильной дроби. Правильную дробь можно разложить в сумму простейших дробей. Поэтому достаточно доказать, что каждая простейшая дробь имеет первообразную, которую можно записать с помощью элементарных функций.

Рассмотрим, как вычисляется интеграл от каждой из простейших дробей.

Z(Ax + B) dx

3.x2 + px + q . Для вычисления этого интеграла выделим в знамена-

18 Глава 5. НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

и