Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математический анализ II Курс Лекций

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

2.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

130 Глава 10. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

2) fn (x) f (x), x 2 D.

Тогда предельная функция f (x) непрерывна на D.

I Фиксируем некоторую точку x0 2 D, возьмем " > 0 и найдем такую окрестность U (x0) точки x0, что если x 2 U (x0), то jf (x) f (x0)j < ". (Если точка x0 — граничная, то нужно искать одностороннюю окрестность.)

Для этого сначала найдем номер n0, начиная с которого для любых x

выполняется неравенство jfn (x) f (x)j <

. Тогда и jfn (x0)

f (x0)j <

В частности jfn0 (x) f (x)j <

и jfn0

(x0) f (x0)j <

Так как функция f

(x) непрерывна в точке x

, то можно найти такое

> 0, что если x 2 U (x0), то jfn0 (x) fn0 (x0)j <

. Тогда получим, что

если x 2 U (x0), то

jf (x) f (x0)j = jf (x) fn0 (x) + fn0 (x) fn0 (x0) + fn0 (x0) f (x0)j 6

6 jf (x) fn0 (x)j + jfn0 (x) fn0 (x0)j + jfn0 (x0) f (x0)j <

= ":

Теорема 10.2.3. Пусть дана последовательность функций ffn (x)g1n=1 такая, что

1)для каждого n 2 N функция fn (x) непрерывна на [a; b];

2)fn (x) f (x), x 2 [a; b].

x	x
Тогда для всякого x0 2 [a; b] выполнено Z	fn (x) dx Z	f (x) dx.
x0	x0

I Заметим сначала, что интегрируемость всех функций следует из их непрерывности.

Для доказательства

равенства

n!1 Z

lim

f (x) dx

f (x) dx возьмем

" > 0 и рассмотрим разность

f (x)) dx

x fn (x) dx

x f (x) dx

(fn

(x)

fn (x)

f (x)

Используя равномерную сходимость последовательности функций, по " найдем номер n0, начиная с которого для всех x 2 [a; b] будет выполняться

неравенство jfn (x) f (x)j < b a. Тогда

x fn (x) dx	x f (x) dx	6	x

Z	Z		Z

fn (x)	f (x)	dx	<		"		x	x0	j	< ":
				b
j	j					a j

§3. Равномерная сходимость ряда

131

Так как последнее неравенство выполняется для всех n > n0 и для всех x 2 [a; b], то сходимость последовательности интегралов к интегралу от предельной функции равномерная. J

Теорема 10.2.4. Если последовательность ffn (x)g1n=1 непрерывно дифференцируемых на [a; b] функций

1)сходится хотя бы в одной точке промежутка [a; b];

2)последовательность ffn0 (x)g1n=1 сходится равномерно на промежутке [a; b],

то последовательность ffn (x)g1n=1 тоже сходится равномерно на [a; b]

к некоторой функции f (x) и nlim fn0 (x) = f0 (x), x 2 [a; b].

Обозначим точку, в которой сходится последовательность

че-

n!1 n

fx n (

)gn=1

n!1 Z

рез x

, а

lim f0 (x) через g (x). Тогда

lim

f0 (x) dx

g (x) dx или

n!1

gn=1

(x)

n 0

)) =

)

сходит-

lim (f

g (x) dx. Последовательность

ся по условию, поэтому, обозначая ее предел через C, получим, что по-

следовательность	1	сходится в произвольной точке к функции
x	ffn (x)gn=1	сходится в произвольной точке к функции
Z

f (x) = C + g (x) dx, причем, по теореме 10.2.3 эта сходимость равномер-

ная.

Осталось доказать, что f0 (x) = g (x). Это равенство следует из правила дифференцирования интеграла по переменному верхнему пределу. J

§3 Равномерная сходимость ряда

3.1 Определение

Так как сходимость функционального ряда означает сходимость последовательности его частичных сумм, то все, изложенное в предыдущем пункте, применимо к функциональным рядам.

	1
Определение 10.3.1. Будем говорить, что ряд	Xk
Определение 10.3.1. Будем говорить, что ряд	uk (x) сходится рав-
	=1

номерно к функции S (x) на области D, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно на D, т.е. если по любому " > 0 можно найти номер n0, начиная с которого для всех x 2 D выполняется неравенство jSn (x) S (x)j < ".

132			Глава 10. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
Если	ввести	понятие	остатка	функционального	ряда:

Rn (x) = S (x) Sn (x), то можно сказать, что ряд сходится равномерно тогда и только тогда, когда его остаток равномерно стремится к нулю.

	X
Пример 1. Исследовать ряд	1	( 1)n 1	на равномерную сходимость на про-
Пример 1. Исследовать ряд		p3 n + x	на равномерную сходимость на про-
межутке [0; +1).	n=1
межутке [0; +1).					1
, В каждой точке данного промежутка дробь				p	1	убывает и стремится

3 n + x

к нулю. Поэтому ряд сходится по признаку Лейбница. Для ряда Лейбница справедлива оценка остаточного члена

1			1
jRn (x)j 6 jun+1 (x)j =	p3		6	p3		:
		n + x			n

Отсюда следует, что, начиная с некоторого n0, остаточный член будет меньше произвольного " > 0 для всех значений x из указанного промежутка. Следовательно, ряд сходится равномерно. -

Перефразируем некоторые утверждения, сформулированные в предыду-
щем пункте, для рядов.
1. Ряд сходится равномерно на D тогда и только тогда, когда
sup Rn (x) n! 0.
x D	!1
2		1
2.	Критерий Коши. Для того чтобы ряд	Xk
		uk (x) сходился равно-
		=1
мерно на D, необходимо и достаточно, чтобы для любого " > 0 можно

было найти номер n0, начиная с которого для всех ` 2 N и всех x 2 D

выполняется неравенство n+` uk (x)								< ".
				X



				n+1
										n+`
	Последнее следует из того, что Sn+` (x) Sn (x) =									X
	Последнее следует из того, что Sn+` (x) Sn (x) =									uk (x).
					1					n+1
					1		x
Пример 2. Доказать, что ряд					Xk				сходится неравномерно на проме-
Пример 2. Доказать, что ряд					=1	1 + k2x2			сходится неравномерно на проме-
жутке [0; 1].					=1
жутке [0; 1].								0. При x 6=
, При		x =		0 выполнено	uk (0)		=	0. При x 6=		0 общий член ряда
	x	1		, поэтому на данном промежутке ряд сходится.

	1 + k2x2		xk2

Для доказательства того, что он сходится неравномерно, воспользуемся отрицанием критерия Коши, т.е. докажем, что можно указать такое "0 > 0, что при любом n0 найдутся n > n0, ` 2 N и xn 2 D, для которых выполняется

§3. Равномерная сходимость ряда

133

n+`

> "0.

неравенство

1 + k2xn

n+1

Возьмем ` = n, xn

. Тогда

n+l

= 5n

1 + k2xn >

5n n = 5:

1 + k2xn2

1 +

n+1

Таким образом, в качестве "0 можно взять число 1=5 и отрицание критерия Коши выполнено. Ряд сходится, но не равномерно. -

3.2 Признаки равномерной сходимости функциональных рядов

	1
Теорема 10.3.1 (признак Вейерштрасса). Пусть дан ряд	Xk
Теорема 10.3.1 (признак Вейерштрасса). Пусть дан ряд	uk (x), при-
	=1

чем для любого k 2 N и для любого x 2 D выполняется неравенство

ся.				1
ся.	(x)j 6 ak, где последовательность fakg такова, что ряд			Xk
juk	(x)j 6 ak, где последовательность fakg такова, что ряд			ak сходит-
				=1
		1
	Xk
	Тогда ряд	uk (x) сходится абсолютно и равномерно на D.
		=1
		1
I Так как ряд		Xk	сходится, то по критерию Коши для любого " > 0
I Так как ряд		ak	сходится, то по критерию Коши для любого " > 0

можно найти номер n0, начиная с которого для всех ` 2 N будет выполняться

n+`		n+`	n+`
X
неравенство	ak < ". Следовательно, для тех же значений n		и для всех
n+1		X	X
значений x 2
	D будет выполняться неравенство	juk (x)j 6	ak < ",
		n+1	n+1

что означает (по достаточности критерия Коши) абсолютную и равномерную

сходимость ряда

uk. J

arctg nx

на равномерную сходимость на R.

Пример 3. Исследовать ряд

n2 + x2

n=1

, Так как jarctg nxj 6

arctg nx

, то выполняется неравенство

n2 + x2

2n2

откуда следует, что данный ряд сходится абсолютно и равномерно

на всей

вещественной оси. -

134		Глава 10. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
			1
Теорема 10.3.2 (признак Дирихле). Пусть дан ряд			uk (x) vk (x) и на
			=1
области D выполняются условия:			Xk
области D выполняются условия:
		n
1)	суммы	Xuk (x) ограничены в совокупности на D, т.е.
n		k=1

uk (x) 6 M, где постоянная M не зависит от n и x;

k=1

2) при каждом фиксированном значении x последовательность функ-

ций fvk (x)g монотонна (нестрого) и vk (x) 0.

k!1

Тогда ряд	Xk	(x) vk (x) сходится равномерно на D.
Тогда ряд	uk	(x) vk (x) сходится равномерно на D.
	=1
		n+`
		Xk	uk (x) vk (x) преобразование Абеля (гл. 6, п. 7.2):
I Применим к сумме			uk (x) vk (x) преобразование Абеля (гл. 6, п. 7.2):
		=n
n+`		` 1
Xk		X
uk (x) vk (x) =		Sn+i (x) (vn+i (x) vn+i+1 (x)) + Sn+` (x) vn+` (x) ;
=n		i=0
	n+i
где Sn+i (x) =	Xk	(x).
где Sn+i (x) =	uk	(x).
	=n
Тогда выполнено неравенство
n+` uk (x) vk	(x) 6	` 1 Sn+i (x) (vn+i (x) vn+i+1		(x)) + jSn+` (x) vn+` (x)j 6
k=n		i=0
X		X

` 1

6jSn+i (x)j j(vn+i (x) vn+i+1 (x))j + jSn+` (x)j jvn+` (x)j 6

i=0

				6 M		` 1 jvn+i (x) vn+i+1 (x)j + jvn+` (x)j!:
						Xi
						=0
Так		как		последовательность			fvk (x)g				монотонна,
то разности vn+i (x) vn+i+1 (x) имеют одинаковый знак и поэтому
` 1 jvn+i (x) vn+i+1				(x)j = ` 1 vn+i (x) vn+i+1			(x) = jvn (x) vn+` (x)j :
i=0				i=0
X				X

Так как v	k	(x)							0	, начиная с кото-
Так как v		(x)		0, то по	" > 0 можно найти номер				n	, начиная с кото-
			k!1						"
рого для всех x 2 D справедливо неравенство vk (x) <											. Следовательно,
рого для всех x 2 D справедливо неравенство vk (x) <								3M			. Следовательно,

§3. Равномерная сходимость ряда

135

если n > n0, то для всех x 2 D

n+i	< M (jvn (x) vn+` (x)j + jvn+` (x)j) 6
Xuk (x) vk (x)	< M (jvn (x) vn+` (x)j + jvn+` (x)j) 6


k=n	6 M (jvn (x)j + 2 jvn+` (x)j) < M	"	+	2"	= "
		"		2"

		3M		3M
и по критерию Коши данный ряд сходится равномерно. J
	1

Теорема 10.3.3 (признак Абеля). Пусть дан ряд	uk (x) vk (x) и на об-
	=1
ласти D выполняются условия:	Xk
ласти D выполняются условия:
1
X

1) ряд uk (x) сходится равномерно на D;

k=1

2)при каждом фиксированном значении x последовательность функций fvk (x)g ограничена на D, т.е. существует такое C, что jvk (x)j 6 C для k 2 N и x 2 D;

3)при каждом фиксированном значении x последовательность функ-

ций fvk (x)g монотонна (нестрого).

Тогда ряд uk (x) vk (x) сходится равномерно на D.

k=1

I Аналогично тому, как это было сделано в доказательстве признака Дирих-

n+`

ле, применим преобразование Абеля к сумме uk (x) vk (x). Тогда получим

n+`

k=n

` 1

uk (x) vk (x) 6 jSn+i (x)j j(vn+i (x) vn+i+1 (x))j + jSn+` (x)j jvn+` (x)j ;

i=0

n+i

где Sn+i (x) = uk (x).

k=n

Так как ряд uk (x) сходится равномерно, то по " > 0 можно найти но-

k=1

мер n0, начиная с которого для всех x 2 D и ` 2 N выполняется неравенство

	n+`		"
Xuk (x)		= jSn+` (x)j <	"	:
Xuk (x)		= jSn+` (x)j <	3C	:

k=n

136 Глава 10. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Тогда

n+`

` 1

uk (x) vk

(x)

jvn+i (x) vn+i+1 (x)j + jvn+` (x)j! =

i=0

k=n

( v

(x)

(x) +

(x) )

3C = ":

j n

n+`

По критерию Коши ряд сходится равномерно на D. J

Пример 4. Исследовать ряды на равномерную сходимость:

x 2 [1=2; 3];

1)n 1

k=1 sin kx ln 1 + k

n=1 (p3 n + x ln 2 + n ,

x 2 [0; 5].

, a) Применим признак Дирихле. С одной стороны

sin kx =

2 sin

sin kx! =

2 sin x2

k=1

cos

x cos

k +

2 sin x2

k=1

cos

cos n +

x ;

2 sin x2

откуда

sin kx

cos

n +

2 sin x

sin x

k=1

неравенство

другой

стороны

для

[1=2; 3]

выполняется

откуда следует, что

. Кроме того, по-

0 6 ln 1 + k 6 k 6 k,

ln 1 + k

следовательность ln 1 +

монотонно убывает при каждом фиксированном

неотрицательном значении x. Следовательно, данный ряд сходится равномерно на [1=2; 3].

b) Для исследования этого ряда воспользуемся признаком Абеля.

Ряд

( 1)n 1

сходится равномерно на данном промежутке (см. при-

p3 n + x

n=1

мер 1).

убывает при любом неотрицательном зна-

Последовательность

ln 2 +

6 ln 5. Следовательно, условия при-

чении x и ограничена: 0 < ln

2 +

знака Абеля выполнены и ряд сходится равномерно на промежутке

[0; 5]

§4. Степенные ряды

137

Свойства суммы равномерно сходящегося ряда

Для суммы равномерно сходящегося ряда выполнены свойства, которыми обладает предел равномерно сходящейся последовательности функций.

Теорема 10.3.4. 1) Если члены ряда uk (x) непрерывны на D и ряд

k=1

сходится равномерно на D, то сумма ряда будет функцией, непрерывной

на D.

2) Если члены ряда uk (x) непрерывны на промежутке [a; b] и ряд

k=1

сходится равномерно на этом промежутке к некоторой сумме S (x), то ряд можно интегрировать почленно на любом промежутке [c; d] [a; b], т.е.

1	d		d
	Z	uk (x) dx = Z		S (x) dx:
k=1
X c			c
1
3) Если члены ряда		uk (x) непрерывно дифференцируемые на про-
=1
Xk			сходится	хотя бы в одной точке это-
межутке [a; b] функции,	ряд
1		uk0
го промежутка, а ряд			(x) сходится равномерно на [a; b], то ряд
=1
Xk
1

uk (x) также сходится равномерно на [a; b] к некоторой сумме S (x) и

k=1

Xu0k (x) = S0 (x).

k=1

§4 Степенные ряды

Определение 10.4.1. Степенным рядом будем называть		ряд вида
1
Xk	fakg — числовая последовательность, x0	— фикси-
ak (x x0)k, где	fakg — числовая последовательность, x0	— фикси-
=0

рованное вещественное число и x 2 R — переменная.

Отметим, что область сходимости степенного ряда всегда непустое множество, так как ряд сходится в точке x = x0.

Заменой t = x x0 переместим начала координат в точку x = x0. Тогда

ряд примет более простой вид aktk. Очевидно, что эта замена не влияет

k=0

138	Глава 10. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

на сходимость ряда, поэтому в дальнейшем будем рассматривать ряды такого вида.

			1
Теорема 10.4.1 (Первая теорема Абеля). 1) Если ряд вида			Xk
Теорема 10.4.1 (Первая теорема Абеля). 1) Если ряд вида			akxk сходит-
			=0
ся в точке x1, то он сходится абсолютно на промежутке jxj < jx1j.
	1
2) Если ряд	Xk	, то он расходится на
2) Если ряд	akxk расходится в точке x2	, то он расходится на
	=0
промежутках jxj > jx2j.
	1

I 1) Пусть ряд akxk1 сходится. Тогда akxk1 k!1! 0, следовательно, последо-

k=0

вательность akxk1 ограничена, т.е. существует такая постоянная C, что для всякого k 2 N выполняется неравенство akxk1 6 C.

Возьмем значение x, принадлежащее промежутку jxj < jx1j. Тогда

akxk

= akx1k

6 C

Ряд, с общим членом C

сходится, так как является геометрической

прогрессией со знаменателем < 1, следовательно, в точке x данный ряд

сходится абсолютно.

2) Вторая часть легко доказывается от противного. Допустим, что в какой-нибудь точке x, удовлетворяющей неравенству jxj > jx2j, ряд сходится. Тогда по доказанному в первой части ряд будет сходиться для всех значений x, удовлетворяющих неравенству jxj < jxj, значит он будет сходиться и в точке x2, что противоречит условию. J

Следствие. Существует такое вещественное число R, что в промежут-

ке ( R; R) степенной ряд вида	1
	Xakxk сходится, а на множестве
( 1; R) [ (R; +1) — расходится.	k=0

Определение 10.4.2. Число R, для которого в промежутке ( R; R) сте-

пенной ряд вида akxk сходится, а на множестве ( 1; R) [ (R; +1)

k=0

расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда.

§4. Степенные ряды						139
						1
					Xk
Теорема 10.4.2 (Адамара). Радиус R сходимости степенного ряда						akxk
1						=0
1
равен R =					.
равен R =					.
	n!1 pj		a	nj
		lim n	a
				1
					Xk	akxk на
I Возьмем произвольное значение переменной x и исследуем ряд						akxk на
				=0

сходимость в этой точке с помощью радикального признака Коши (теорема 9.1.2).

Для этого вычислим

qj n

j = j

. Если этот предел

n!1

j n!1

lim n a

меньше единицы, т.е. если jxj < R, то ряд сходится, причем абсолютно; если этот предел больше единицы, то ряд расходится, так как в этом случае общий член ряда стремится к бесконечности и не выполняется необходимое условие сходимости. J

Замечание 1.

lim

R =

Если существует n!1 qj

nj, то

nlim

n janj.

Замечание

можно

доказать,

n!1

, то

Аналогично,

что

n!1 an+1 .

an+1

lim

R = lim

Пример

Найти радиус сходимости

и область сходимости ряда

x .

= n!1

an+1

n=1

, Применяя формулу R

lim

, получим

R = lim

= lim

= 0:

!1 p(

n + 1

1)!

Ряд сходится в одной точке x = 0.

n!xn

Пример 2. Найти радиус сходимости и область сходимости ряда

n=1

n 2n2

, Применим формулу R =

: R =

nlim s

nlim

. Так

p p

lim

!1 nn

как по формуле Стирлинга n!

2 n, то

и, следовательно,

e2n

nlim

= nlim

= 1. Областью сходимости данного ряда является мно-

жество всех вещественных чисел. -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1614 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.2015857.82 Кб10математика +.pdf
#
21.03.20162.39 Mб38Математика типовик 3 модуль.pdf
#
23.04.2019514.79 Кб16математика ч.2.docx
#
20.03.20162.47 Mб24Математика, Типовик 1 семестр 2 модуль.doc
#
14.07.2019246.56 Кб3Математика. Экзамен 2 курс 1 семестр.rtf
#
14.04.20152.46 Mб99Математический анализ II Курс Лекций.pdf
#
14.04.20157.4 Mб88Математический анализ II Учебное Пособие.pdf
#
21.03.2016133.76 Кб36Математический язык.docx
#
25.11.2019854.35 Кб26Материалы лекций_ЭКиТ_текущие_В.Скобелев_1.docx
#
21.03.2016596.2 Кб7Материалы тест №2.pdf
#
20.03.201619.35 Кб32матрица переходных вероятностей.docx