Математический анализ II Курс Лекций

40 Глава 6. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

I Заметим, что если f(a) = f(b), то функция f(x) является константой, а, значит, она интегрируема на отрезке [a; b] (пример 2, гл. 6, § 1). Будем считать, что f(a) 6= f(b).

Так как функция определена и монотонна на [a; b], то выполнено неравенство f (x) 6 f (b) для всех x 2 [a; b], т.е. функция ограничена на отрезке.

Кроме того, в силу монотонности функции, ее колебание на произвольном промежутке [x0; x00] [a; b] будет равно f (x00) f (x0).

Возьмем " > 0 и пусть — некоторое число, удовлетворяющее нера-

XX X

Таким образом, выполняются условия критерия интегрируемости функции. J

Определение 6.5.1. Будем говорить, что множество E R имеет лебегову меру, равную нулю, если существует покрытие этого множества интервалами, сумма длин которых не превосходит произвольного наперед заданного положительного ".

Теорема 6.5.4 (Лебега). Для интегрируемости функции на отрезке, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена на этом отрезке, и множество ее точек разрыва имело лебегову меру, равную нулю.

Каждое конечное или счетное множество имеет лебегову меру, равную нулю, т.е. эта теорема является обобщением предыдущих теорем. В дальнейшем мы покажем, что существуют и несчетные множества меры нуль. Теорема Лебега будет доказана в одной из следующих частей нашего курса.

Теорема 6.5.5. Если функция f (x) определена и ограничена на промежутке (a; b) и интегрируема на каждом промежутке [c; d] (a; b), то она интегрируема на (a; b).

I Пусть jf (x)j 6 M. Возьмем " > 0 и выберем точки c и d так, чтобы выполнялось неравенство 0 < 2M ((c a) + (b d)) < 2".

Так как функция f (x) интегрируема на отрезке [c; d], то для любого

n

разбиения T этого отрезка будет выполнено неравенство X!i xi < 2". Если

i=1

на промежутке [b; a]. Эти равенства будем считать определениями. Теперь промежуток интегрирования может быть взят в любом направлении.

Легко проверить, что свойства интеграла, сформулированные в предыдущем пункте, выполняются для любых промежутков.

В дальнейшем, говоря об интеграле на промежутке [a; b], будем считать возможным любой случай a < b, a > b и a = b.

Теорема 6.6.4. Если функция f (x) интегрируема на промежутке [a; b], то она интегрируема на любом промежутке [c; d] [a; b].

I Будем считать, что a 6 c < d 6 b. Возьмем " > 0 и найдем такое > 0,

=1

Выберем разбиение T , диаметр которого (T ) < и которое содержит точки c и d. Тогда

и, так как каждое слагаемое последней суммы неотрицательно, то

n

XX

!i (f) xi 6 !i (f) xi < ":

По теореме 6.4.3 и замечанию к теореме 6.4.1 функция интегрируема на промежутке [c; d].

Если точки располагаются в другом порядке, например, если a 6 d < c 6 b, то теорема доказана для промежутка [d; c], следовательно, она справедлива и для промежутка [c; d]. J

Теорема 6.6.5 (Свойство аддитивности определенного интеграла). Если функция f (x) интегрируема на промежутке [a; b] (a < b) и c 2 (a; b), то

I По предыдущей теореме функция f (x) будет интегрируемой на каждом из промежутков [a; c] и [c; b].

Возьмем некоторое разбиение отрезка T , причем, будем считать, что точка c входит в число точек деления. Обозначим через T 0 и T 00 разбиения отрезков [a; c] и [c; b], порожденные разбиением T .

46 Глава 6. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Эта теорема является следствием предыдущей.

Теорема 6.6.9. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a; b], a < b и f (x) > 0, x 2 [a; b], и существует хотя бы одна точка x0 2 [a; b], в которой функция непрерывна и строго положительна, то существует

I Допустим, что функция непрерывна в точке x0 2 (a; b), причем f (x0) > 0. Тогда по теореме об отделимости непрерывной в точке функции можно найти такую окрестность (x0 ; x0 + ) (a; b) точки x0, что для любого значения x из этой окрестности будет справедливо неравенство f (x) > > 0. Тогда

Замечание 1. Если a > b, то во всех теоремах доказываемые неравенства меняют свой знак на противоположный.

Теорема 6.6.10. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a; b], a < b, то функция jf (x)j также интегрируема на этом отрезке, причем

b b

ZZ

f (x) dx 6 jf (x)j dx:

I Из неравенства jjf (x1)j jf (x2)jj 6 jf (x1) f (x2)j следует, что при любом разбиении отрезка справедливо неравенство !i (jfj) 6 !i (f) и, следова-

если интегрируема функция f (x), то будет интегрируемой и функция jf (x)j. Так как для любого разбиения отрезка и при любом выборе промежуточных точек интегральные суммы связаны неравенством j T (f)j 6 T (jfj), то

b b

ZZ

f (x) dx 6 jf (x)j dx. J

Замечание 2. Следует отметить, что из интегрируемости функции jf (x)j не следует интегрируемость функции f (x). Например, функция

(

1; x— рациональное;

f(x) = 1 2d(x) =

1; x— иррациональное;

будет верным при любом . J

Замечание 4. Теорема остается верна и в случае, если g (x) 6 0, x 2 [a; b]. Следствие 1. Если f (x) интегрируема на отрезке [a; b], a < b и m 6 f (x) 6 M, то существует число , удовлетворяющее неравенству

I Для доказательства достаточно положить в условии теоремы g (x) 1. J

Следствие 2. Если в теореме (или в следствии 1) функция f (x) непрерывна на отрезке [a; b], то существует такая точка c 2 [a; b], что

стигает своих наименьшего и наибольшего значений. Пусть m = min f (x)

x2[a;b]

и M = max f (x). Так как непрерывная на отрезке функция принимает там

x2[a;b]

любое промежуточное значение, то существует такое значение x = c, что f (c) = . J