Математический анализ II Курс Лекций

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

неравенство

f (x) dx I

, которое, в силу аддитивности интеграла,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

2.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

90	Глава 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И				ВТОРОГО РОДА
Отсюда следует, что интеграл сходится, если		1 s > 0		или	s	<			, и расхо-
						1	s1
дится, если s > 1. Если интеграл сходится, то он равен			(b a)					. -

				1 s

1.3 Обобщение

Интегралы, рассмотренные в первом пункте, называются несобственными интегралами первого рода или интегралами по бесконечному промежутку, а интегралы, рассмотренные во втором пункте, — интегралами второго рода или интегралами от неограниченной функции.

В дальнейшем объединим рассмотрение интегралов обоих типов, обозна-

чая их символом	Z	f (x) dx. При этом будем считать, что особой точкой
является точка x	a	b, которая либо конечна и при этом				1	,
является точка x	=	b, которая либо конечна и при этом		lim f (x) =			,
	=		x	b	0
либо b = +1.				!
либо b = +1.			b
Тогда можно говорить, что интеграл Za			f (x) dx сходится к числу I, если

для любого " > 0 существует такая левосторонняя окрестность точки x = b, что для всякого значения , взятого из этой окрестности, будет выполняться


Z

неравенство f (x) dx I < ".

§2 Признаки сходимости несобственных интегралов

2.1 Критерий Коши сходимости интегралов

Теорема 8.2.1 (Критерий Коши). Пусть для любого (0 < < b a) функция f (x) интегрируема на промежутке [a; b ]. Тогда, для того чтобы

несобственный интеграл f (x) dx сходился, необходимо и достаточно,

чтобы для любого " > 0 существовала такая левосторонняя окрестность точки x = b, что для всяких двух значений 1 и 2, взятых из этой

	Z
окрестности, было выполнено неравенство	1		< ".
окрестности, было выполнено неравенство		2 f (x) dx	< ".

§2. Признаки сходимости несобственных интегралов		91
I Пусть интеграл Za	b
	f (x) dx сходится и его значение равно I. Тогда, взяв

произвольное " > 0, можно найти такую левостороннюю окрестность точки x = b, что для всякого значения из этой окрестности будет выполняться

f (x) dx также сходится).

приводит к неравенству Z f (x) dx

2 (так как Z

Взяв два значения 1 и 2 из этой

окрестности, получим

f (x) dx

2 f (x) dx

b f (x) dx

f (x) dx

< ";

что

и требовалось

доказать.

Докажем обратное утверждение. Пусть для любого " > 0 существует

такая левосторонняя окрестность точки x = b, что для всяких двух значений 1 и 2, взятых из этой окрестности, будет выполнено неравенство

2
Z

f (x) dx < ". Последнее означает, что для этих значений 1 и 2 выпол-

1
	Za
няется неравенство jI ( 2) I ( 1)j < ", где I ( ) =	Za	f (x) dx, а тогда по

критерию Коши существования предела функции (теорема 3.3.8) получим, что функция I ( ) имеет предел при ! b 0. J

Пример 1. Исследовать на сходимость интегралы

+1sin2 x

xdx

dx;

x5 + 5

+1sin2 x

, a) В интеграле

особой точкой является только верхний пре-

дел интегрирования, равный +

, так как lim

sin2 x

= 1. Возьмем " > 0 и

x!0

фиксируем какое-нибудь число A > 0 так, чтобы выполнялось неравенство

. Тогда,

если

взять 1

2 большие,

чем A, то, используя нера-

92 Глава 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА

венство 0

6 sin2 x 6 1

и теорему (6.6.7) для оценки интеграла, получим

dx 6

sin x

< ". Значит, выполнено достаточное

условие сходимости

интеграла,

и интеграл сходится.

b) В этом

интеграле

. Дока-

тоже только одна особая точка, равная +

жем расходимость этого интеграла. Для этого надо показать, что существует такое "0 > 0, что, какое бы значение A > 0 мы ни взяли, всегда найдутся значения 1 и 2, большие взятого A, при которых будет выполняться нера-

венство	2	p3 x5 + 5		> "0. Положим 1 = n и 2 = 2n. Тогда, используя
венство	Z	p3 x5 + 5		> "0. Положим 1 = n и 2 = 2n. Тогда, используя
	1		xdx

					1
					p3 x5 + 5
монотонность			функции			, получим оценку
монотонность			функции			, получим оценку

3 5

xdx =

43 n 5 n

= 3

px + 5

(2n) + 5 Z

2p32n + 5 2p32n + 5

xdx

Так как при n ! 1 последнее выражение стремится к бесконечности, оно, начиная с некоторого значения n, будет больше, например, единицы. Поэтому в качестве "0 можно взять, в частности, единицу. -

Замечание 1. Критерий Коши на практике обычно используют для доказательства расходимости интеграла, так как для доказательства сходимости существуют достаточные признаки сходимости, применение которых намного легче.

1=2

Пример 2. Доказать, что Z0	p	dx		расходится.
			ln x
		x3

, Здесь особой точкой является точка x = 0. Поэтому нужно показать, что существует такое "0 > 0, что, какое бы значение > 0 мы ни взяли, можно найти такие значения 1 и 2, удовлетворяющие неравенству 0 < 1;2 < ,

2 = 1=n. Тогда, используя монотонность функции 1=ln x и теорему об оценке
интеграла, получим

§2. Признаки сходимости несобственных интегралов

1=n

n p

px3 ln x

px3

ln n

1=n

Т.к. эта величина

стремится к

бесконечности,

то, начиная с некоторого но-

мера, она будет больше числа "0, т.е. расходимость интеграла доказана. -

2.2 Теоремы сравнения

В этом пункте будем рассматривать только интегралы от неотрицательных функций (f(x) > 0 при x 2 [a; b)). Тогда очевидно, что с изменением


параметра от a до b интеграл Za	f (x) dx возрастает. Следовательно, схо-
	Za	b
димость несобственного интеграла	Za	f (x) dx равносильна ограниченности

Z

интеграла f (x) dx как функции от переменной , а его расходимость бу-


дет означать, что lim	f (x) dx	= +1	.
!b 0 Za		= +1

Теорема 8.2.2. Пусть даны две функции f (x) и g (x), причем для всех x 2 [a; b) выполнено неравенство 0 6 f (x) 6 g (x). Допустим также, что функции f (x) и g (x) интегрируемы на каждом промежутке вида

[a; ], a < < b. Тогда, если интеграл Za			b
[a; ], a < < b. Тогда, если интеграл Za			g (x) dx сходится, то интеграл
	b			b
Za	f (x) dx тоже сходится, и, если интеграл Za			f (x) dx расходится, то
интеграл Za		b
интеграл Za		g (x) dx расходится.

(Сравните с теоремой 2.5.7)

I По критерию Коши для любого " > 0 можно найти такую окрестность точки b вида (b ; b), что для всяких значений a < 1;2 < b, лежащих

Глава 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И

ВТОРОГО РОДА

в этой окрестности, будет выполняться неравенство

< ". Но,

2 g (x) dx

в силу условий теоремы, для любых

a < 1;2 < b выполнено

неравенство

f (x) dx 6

g (x) dx , откуда

f (x) dx < " и интеграл

f (x) dx

сходится.

Наоборот,

если

интеграл

f (x) dx

расходится,

то

существует такое

"0 > 0, что, какую бы окрестность указанного вида мы ни взяли, найдутся такие a < 1;2 < b, лежащие в этой окрестности, что будет выполнено

неравенство

2 f (x) dx

> "0. Отсюда

2 g (x) dx

2 f (x) dx

> "0, а это

означает, что g (x) dx расходится. J

Замечание 2. В условии теоремы выполнение неравенства f (x) 6 g (x) или f (x) > g (x) можно требовать только в некоторой окрестности особой точки. Тогда надо промежуток [a; b) разбить на два: [a; c] и [c; b) таким образом, чтобы заданное неравенство выполнялось на промежутке [c; b). Интеграл по первому промежутку существует, как интеграл Римана, и признак сходимости достаточно применить только к интегралу по промежутку [c; b).

Теорема 8.2.3. Пусть функции f (x) и g (x)

1)неотрицательны на промежутке [a; b);

2)интегрируемы на каждом промежутке вида [a; ], a < < b;

3)f (x) g (x) при x ! b 0.

b		b
Тогда, если один из интегралов Za	f (x) dx или Za	g (x) dx сходится,

то сходится и второй, и, если один из них расходится, то расходится и второй.

I Эквивалентность функций, заданная в третьем условии теоремы, означает, что существует такая функция h (x), что f (x) = h (x) g (x) в некоторой левосторонней окрестности точки x = b и lim h (x) = 1. Возьмем " = 1=2 и

x!b 0

§2. Признаки сходимости несобственных интегралов

найдем такое > 0, чтобы для всех x 2 (b ; b) выполнялось неравенство

12 = 1 " < h (x) < 1 + " = 32. Тогда для этих значений x будет верным

неравенство 12g (x) < f (x) < 32g (x).

Если интеграл от функции g (x) по промежутку [a; b) сходится, то по теореме 8.2.2 (с учетом замечания) интеграл от функции f (x) тоже сходится, если же первый интеграл расходится, то второй интеграл тоже расходится.

При исследовании интегралов на практике, подынтегральную функцию

чаще всего сравнивают с функцией вида xs , если особая точка — бесконеч-

ная, или (b x)s , если особая точка x = b, где b — конечно. Сходимость

таких интегралов была исследована в предыдущем параграфе. Пример 3. Исследовать на сходимость интегралы

1 sin2 x

3xdx

a) Z

dx; b) Z

; c)

jln sin xj dx; d)

x) (x5 + 1)

ln (x7 + 2)

, a) Как мы уже говорили, данный интеграл имеет только одну особую точку

sin2 x

1 dx

1. Выполняется очевидное неравенство 0 6

. Так как

1 sin2 x

сходится, то Z1

dx тоже сходится, следовательно, сходится и данный

интеграл.

при x ! 1 0

b) В этом интеграле особая точка

x = 1,

причем

выполняется предельное соотношение lim

. Следовательно,

x!1 x5 + 1

. Интеграл

расходится, поэтому данный

x) (x5 + 1)

интеграл тоже расходится.

c) В этом интеграле особой точкой является x = 0. Из известного предела

lim (t ln t) = 0, > 0 (его можно вычислить по правилу Лопиталя), следует,

t!0

что в окрестности нуля будет выполнено неравенство jsin x ln sin xj < 1, где в качестве можно взять любое положительное число. Тогда, полагая

							=2
1			1				Z	dx
= 1=2, получим jln sin xj <	p			p		. Так как		p		сходится, сходит-
		sin x			x				x

Глава 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И

ВТОРОГО РОДА

ся Z0

и, следовательно, сходится данный интеграл.

sin x

d) Так как lim

ln x

= 0, то для достаточно больших значений x выпол-

x!+1

. Интеграл Za

няется неравенство ln x < x и

рас-

ln (x7 + 1)

7 ln x

ходится, следовательно, на этом промежутке интеграл от функции ln (x7 + 1)

тоже расходится. Расходится и данный интеграл. -

2.3 Исследование интеграла от функции, меняющей знак

Пусть функция задана на промежутке [a; b), интегрируема на каждом промежутке [a; ], a < < b и принимает на области своего определения как положительные, так и отрицательные значения. Тогда для интеграла от такой функции изучается два вида сходимости: обыкновенная, о которой мы говорили выше, и абсолютная.

Прежде, чем давать определение абсолютной сходимости интеграла, докажем теорему.

Теорема 8.2.4. Если функция f (x) интегрируема на каждом из проме-

жутков вида [a; ], a < < b и сходится интеграл Za

jf (x)j dx, то схо-

дится и интеграл Za

f (x) dx.

I Применим для доказательства критерий Коши.

По свойству

f (x)

интеграла Римана

2 f (x) dx

dx . Возьмем

" > 0 и найдем такое число 0, чтобы

для любых

значений

2 таких,

что 0 < 1;2 < b, было выполнено 1

jf (x)j dx < ". Тогда для этих же

значений 1 и 2

будет выполняться и неравенство

< ". Таким

f (x) dx

§2. Признаки сходимости несобственных интегралов

образом, Z	f (x) dx сходится. J
a
Определение 8.2.1. Будем говорить, что интеграл Za			b
Определение 8.2.1. Будем говорить, что интеграл Za			f (x) dx сходится
абсолютно, если сходится интеграл Z		b
абсолютно, если сходится интеграл Z		jf (x)j dx.
	a

Теорема 8.2.4 утверждает, что если интеграл сходится абсолютно, то он сходится в обычном смысле. Сразу заметим, что существуют функции, интегралы от которых сходятся, но не абсолютно. Примеры таких функций будут приведены ниже.

Определение 8.2.2. Если несобственный интеграл сходится, но не сходится абсолютно, то будем говорить, что такой интеграл сходится условно.

Очевидно, что для исследования интеграла на абсолютную сходимость можно применять признаки сравнения.

Докажем еще два признака, которые можно применять для интегралов от функций, меняющих свой знак.

Теорема 8.2.5 (признак Дирихле). Пусть функции f (x) и g (x)

1)определены на промежутке [a; b);

2)интегрируемы на любом промежутке вида [a; ], a < < b;

3)на промежутке [a; b) функция g (x) имеет ограниченную первообразную;

4)f (x) монотонна и lim f (x) = 0.

x!b 0

Тогда f (x) g (x) dx сходится.

I Так как каждая из данных функций интегрируема на промежутках вида [a; ], a < < b, то их произведение тоже интегрируемо на этих промежутках.

Возьмем какой-либо промежуток [ 1; 2], a < 1;2 < b и применим к нему вторую теорему о среднем:

2		2
Z	f (x) g (x) dx = f ( 1) Z	g (x) dx + f ( 2) Z	g (x) dx; где 2 [ 1; 2] :
1	1

98		Глава 8. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И						ВТОРОГО РОДА
		Пусть G (x) —		первообразная		функции g (x),	причем		по условию


				Z

jG (x)j 6 C.			Тогда	1	g (x) dx =	jG ( ) G ( 1)j	6 2C	и,	аналогично
	2


Z

g (x) dx 6 2C. Отсюда

2 f (x) g (x) dx 6

f ( 1)

g (x) dx

f ( 2)

2 g (x) dx

+ f ( 2) ) :

6 2C ( f ( 1)

Так как

lim f

(

, то по " >

можно найти такое

(

a; b , что если

b 0

) = 0

)

0 6 1;2

< b, то выполняются неравенства jf ( 1)j

и jf ( 2)j

Тогда, для этих значений 1

и 2 будет выполнено

< " и по

2 f (x) g (x) dx

критерию Коши интеграл сходится.

Теорема 8.2.6 (признак Абеля). Пусть функции f (x) и g (x)

1) определены на промежутке [a; b);

2) интегрируемы на любом промежутке вида [a; ], a < < b;

3)g (x) dx сходится;

4) f (x) монотонна и ограничена.

Тогда Za	b
Тогда Za	f (x) g (x) dx сходится.
I Снова применим вторую интегральную теорему о среднем:
	2		2
	Z	f (x) g (x) dx = f ( 1) Z	g (x) dx + f ( 2) Z	g (x) dx:
	1	1
Положим jf (x)j 6 C.
	b
Так как Z		g (x) dx сходится, то по " > 0 можно найти такое значение

0 2 (a; b), для которого при любых &1 и &2, лежащих на промежутке ( 0; b),

§2. Признаки сходимости несобственных интегралов

будет выполняться неравенство

" . Тогда, если 1;2 ( 0; b),

&2 g (x) dx

то справедлива оценка:

2 g (x) dx

2 f (x) g (x) dx

f ( 1)

g (x) dx

f ( 2)

< ";

j Z

откуда следует, что данный интеграл сходится.

Теорема 8.2.7. Пусть в некоторой окрестности точки b подынтеграль-

							b
ная функция представима в виде f (x) = f1 (x) + f2 (x), причем Za								f2 (x) dx
сходится абсолютно. Тогда
	b						b
	a) если интеграл Za	f1 (x) dx расходится, то интеграл Za					f (x) dx рас-
ходится;
	b						b
	b) если интеграл Za	f1 (x) dx сходится условно, то интеграл Za						f (x) dx
сходится условно;
		Za	b
	c) если интеграл	Za	f1 (x) dx сходится	абсолютно,		то интеграл
Z	b
Z	f (x) dx также сходится абсолютно.
a
I Утверждение a) очевидно.
	Утверждение c) следует из неравенства jf (x)j 6 jf1 (x)j + jf2 (x)j и тео-
ремы 8.2.2.
				Z	b
	В утверждении b) очевидно, что интеграл			Z	f (x) dx	сходится. Если
				a

бы эта сходимость была абсолютной, то, так как выполняется неравенство

jf1 (x)j = jf (x) f2 (x)j 6 jf (x)j + jf2 (x)j, сходимость интеграла Za	b
	f1 (x) dx

тоже была бы абсолютной, что противоречит условию. J

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1610 11 12 13 14 15 16 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
14.04.2015857.82 Кб10математика +.pdf
#
21.03.20162.39 Mб38Математика типовик 3 модуль.pdf
#
23.04.2019514.79 Кб16математика ч.2.docx
#
20.03.20162.47 Mб24Математика, Типовик 1 семестр 2 модуль.doc
#
14.07.2019246.56 Кб3Математика. Экзамен 2 курс 1 семестр.rtf
#
14.04.20152.46 Mб99Математический анализ II Курс Лекций.pdf
#
14.04.20157.4 Mб88Математический анализ II Учебное Пособие.pdf
#
21.03.2016133.76 Кб36Математический язык.docx
#
25.11.2019854.35 Кб26Материалы лекций_ЭКиТ_текущие_В.Скобелев_1.docx
#
21.03.2016596.2 Кб7Материалы тест №2.pdf
#
20.03.201619.35 Кб32матрица переходных вероятностей.docx