Математический анализ II Курс Лекций

этом промежутке ряд сходится равномерно. Следовательно, сумма ряда будет непрерывна в точке x0 (теорема 10.3.4(1)).

Второе следствие очевидно следует из теоремы 10.3.4(2) и равномерной сходимости степенного ряда на промежутке [c; d].

Для доказательства третьего следствия сначала нужно доказать, что об-

X

Отсюда и из теоремы следует, что ряд nanxn сходится равномерно

n=0

на каждом промежутке вида [ R + ; R ] и, следовательно, выполнены условия теоремы 10.3.4(3) о почленном дифференцировании ряда.

Так как после первого дифференцирования получается тоже степенной ряд, то рассуждение можно продолжить на любой порядок производной. J

Теорема 10.4.4 (Вторая теорема Абеля). Пусть R — радиус сходимости

1

X

ряда akxk и ряд сходится в точке x = R. Тогда он сходится равномер-

k=0

но на промежутке [0; R] и на этом промежутке его сумма непрерывна.

чении x 2 [0; R]. Следовательно, по теореме Абеля, ряд сходится равномерно на промежутке [0; R].

Из равномерной сходимости следует непрерывность предельной функции на этом промежутке. J

в окрестности точки x0 = 0.

, Данная функция определена и непрерывна на всей вещественной прямой.

Докажем по индукции, что f(n) (x) = P3n (t) e t2 , x 6= 0, где P3n (t) — некоторый многочлен степени 3n.

Эта формула верна для первой и второй производных. Предполо-

0 + 0 x + 0 x2 + + 0 xn + : : :. Последний ряд сходится к функции, тождественной равной нулю на всей оси и, следовательно, сумма ряда отличается от исходной функции. -

Частичная сумма ряда Тейлора и остаток ряда равны, соответственно, многочлену Тейлора данной функции в заданной точке и остаточному члену формулы Тейлора (гл. IV, п. 5.2).

Для остаточного члена формулы Тейлора было получено две формулы:

f(n+1) ( )

1)Rn (x) = (n + 1)! (x x0)n+1 (гл. IV, п. 5.2) Этот вид остатка будем называть остаточным членом в форме Лагранжа.

x

2) Rn (x) = n1! Z f(n+1) (t) (x t)n dt (гл. 6, п. 10.3). Эту формулу будем

x0

называть интегральной формой остаточного члена.

Эти формулы можно использовать при исследовании ряда.

к данной функции на промежутке (x0 R; x0 + R) тогда и только тогда, когда на этом промежутке остаточный член ряда стремится к нулю при n, стремящемся к бесконечности.

Замечание. Вернемся к примеру 1, приведенному в начале этого пункта. Формула Тейлора для заданной функции будет иметь вид

откуда получим Rn (x) = f (x). Остаточный член ряда не стремится к нулю при n ! 1 (он вообще не зависит от n), поэтому ряд Тейлора данной функции сходится не к самой функции.

Следствие. Если все производные функции f (x) ограничены на промежутке (x0 R; x0 + R), то ряд Тейлора этой функции, построенный в точке x0, сходится к самой функции.

функции ex < er и, следовательно, остаток ряда будет стремиться к нулю при n ! 1. Отсюда

2. f (x) = ch x = ex + e x . 2

Так как радиус сходимости ряда для экспоненты равен бесконечности, то этот ряд в каждой точке сходится абсолютно. Следовательно, ряд Маклорена

3. f (x) = sh x = ex e x . 2

Аналогично пункту 2, получим требуемое разложение, как разность разложений, полученных для функций ex и e x. Тогда

Кроме того, все производные от данной функции не превосходят единицы, поэтому рад Маклорена будет сходиться к самой функции. Следовательно,

148 Глава 10. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

Кроме того, используя неравенство 1+xz > 1 z при jxj < 1 и 0 6 z 6 1, получим

jRn (x)j 6 2mnm jxjn+1 ' (x) :

При фиксированных m и x последовательность nm jxjn+1 стремится к нулю, следовательно, ряд сходится к исходной функции.

Частные случаи

При = 1 получим 1 = 1 x + x2 + ( 1)n xn + : : : .

1 + x

Если = 1 и x заменить на ( x), то получим

1 = 1 + x + x2 + + xn + : : : :

1 x

Последняя формула представляет собой уже известную формулу для суммы бесконечной убывающей прогрессии.

8. Рассмотрим еще одну функцию: f (x) = arctg x.

Применим другой способ разложения функции в степенной ряд.

почленно на любом промежутке, входящем в этот интервал. Проинтегрируем его по промежутку [0; x], jxj < 1. Получим