Математический анализ II Учебное Пособие

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

p 2 (x ,y ) +q 2 (x ,y ) +1dxdy ,

∂z (x ,y )

∂z (x ,y )

где p (x ,y ) =

, q(x ,y ) =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

7.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

2. Вычисление тройного интеграла

Пусть тело T есть простая область (рис. 10). Допустим, что оно ограничено снизу поверхностью z =z1(x ,y ) , сверху поверхностью z =z 2 (x ,y ) , а с

боков - цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси O z , а направляющей служит граница простой области D , расположен-

ной в плоскости xO y , причём функции z1(x ,y )						и z 2 (x ,y ) непрерывны в
области D . Пусть, кроме того, функция f (x ,y ,z )						интегрируема в теле T .
Тогда можно сказать, что
	z 2		(x ,y )
∫∫∫f (x ,y ,z )dxdydz = ∫∫			∫	f (x ,y ,z )dz dxdy ,
		1
T	D z		(x ,y )
причём интеграл, стоящий справа, записывается так:
∫∫∫f (x ,y ,z )dxdy dz = ∫∫dxdy				z 2 (x ,y )
∫∫∫f (x ,y ,z )dxdy dz = ∫∫dxdy				∫	f (x ,y ,z )dz .
T	D			z1 (x ,y )
В том случае, если область D	ограничена				снизу непрерывной кривой

y =y1(x ) , сверху - непрерывной кривой y =y 2 (x ) , а с боков прямыми x =a и x =b , то последнюю формулу можно записать так:

	b	y 2 (x )	z 2	(x ,y )
∫∫∫f (x ,y ,z )dxdy dz = ∫dx		∫ dy		∫ f (x ,y ,z )dz .
T	a	y1 (x )	z1 (x ,y )

Интеграл, стоящий справа, называется трехкратным или повторным. Заметим, что выбирая внешнее интегрирование по переменной y или z , можно написать ещё пять различных трехкратных интегралов, через которые выражается данный интеграл I . Порядок выполнения операций интегрирования зависит от вида области, по которой выполняется интегрирование.

3.Геометрический смысл тройного интеграла

Втом случае, если подынтегральная функция f (x ,y ,z ) ≡1, то очевидно,

что тройной интеграл I = ∫∫∫dxdydz даёт нам объём тела T , по которому

ведётся интегрирование.

Пример 1. Вычислить объём тела, ограниченного координатными плоскостями и плоскостью x +y +z −1 = 0 (P ) (рис. 11).

Решение. Искомый объём v = ∫∫∫dxdydz , где тело T есть пирамида,

ограниченная плоскостью P и координатными плоскостями.

Очевидно, что этот тройной интеграл можно выразить шестью различными способами через трёхкратный:

		z			1−x−y	1	1−x	1−x−y	1	1−y	1−x−y
				v =∫∫dxdy	∫	dz =∫dx ∫dy ∫			dz =∫dy ∫dx ∫ dz
	1			Dxy	0	0	0	0	0	0	0
	1			или
				или
				1−y−z		1	1−y	1−y−z	1	1−z	1−y−z
	D xz	D y z	y	v =∫∫dydz	∫ dx =∫dy ∫dz			∫ dx =∫dz ∫dy			∫ dx
	D xz	D y z	y	Dyz	0	0	0	0	0	0	0
	D xy		1	или			1−x 1−x−z			1−z 1−x−z
x				1−x−z		1	1−x 1−x−z		1	1−z 1−x−z
x	1			v =∫∫dxdz	∫ dy =∫dx ∫dz			∫ dy =∫dz ∫dx ∫ dy
	1	рис. 11		v =∫∫dxdz	∫ dy =∫dx ∫dz			∫ dy =∫dz ∫dx ∫ dy
		рис. 11		Dxz	0	0	0	0	0	0	0
				Dxz	0	0	0	0	0	0	0

Проведём вычисления по последней формуле (нетрудно убедиться, что остальные интегралы вычисляются аналогично), получим

v = ∫1 dz 1−∫z dx 1−x∫−z dy .

0	0	0
Имеем										1−z
1−x −z					1−z			2				1 −z	2
1−x −z					1−z			2					2
I 1Вн = ∫ dy =1 −x −z ; I 2Вн = ∫											=		) .
I 1Вн = ∫ dy =1 −x −z ; I 2Вн = ∫						(1 −x −z )dx = x − x			−xz		=	(	) .
0					0		2			0		2
0					0					0
Наконец, v = ∫1			(1 −z )2	dz =	1	куб. ед.
Наконец, v = ∫1			2	dz =	6	куб. ед.
		0	2		6

§3. Приложения двойных и тройных интегралов

1.Вычисление площади плоской области D

Мы установили, что площадь плоской области может быть вычислена по формуле

SD = ∫∫dxdy .

2. Вычисление площади кривой поверхности

Ранее мы установили, что площадь кривой поверхности S , заданной уравнением z = f (x ,y ) и расположенной над областью D в плоскости

xO y , вычисляется по формуле

3. Вычисление объёма телаT

Пусть тело T ограничено снизу простой областью D , сверху - поверхностью z = f (x ,y ), f (x ,y ) ≥ 0, f (x ,y ) непрерывна в области D , а с боков

цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси O z , а направляющей служит контур области D , то объём тела можно вычислить с помощью двойного интеграла так:

vT = ∫∫f (x ,y )dxdy

или так:

vT = ∫∫∫dxdy dz .

4. Вычисление массы поверхности

Пусть в каждой точке поверхности S , заданной уравнением z = f (x ,y ) плотность равна ρ(x ,y ,z ) , где ρ(x ,y ,z ) - непрерывная функция в каждой


точке поверхности S , а функция f (x ,y ) - непрерывна в области D						плоско-
сти xO y и имеет в ней непрерывные частные производные
	∂f (x ,y )	= p (x ,y ) и		∂f (x ,y )	=q(x ,y ) .
				∂y
	∂x
Разбивая произвольным образом поверхность S на n частей,						заметим,
что масса k -й ячейки приблизительно равна					m k ≈ ρ(xk ,y k ,z k )	Sk , где
Sk - площадь k -й ячейки, тогда масса всей поверхности S :
	n		n
	M = ∑ m k ≈ ∑ρ(xk ,y k ,zk ) Sk .
	k =1		k =1

Справа здесь стоит интегральная сумма для непрерывной функции. Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, в пределе мы получим такую формулу для вычисления массы поверхности S :

M = ∫∫ρ(x ,y ,z ) p 2 (x ,y ) +q 2 (x ,y ) +1dxdy .

Вчастности, если поверхность S лежит в плоскости xO y , т.е. совпадает

собластью D , то M D = ∫∫ρ(x ,y )dxdy .

5. Вычисление массы тела

Если в каждой точке тела T , ограниченного простой поверхностью, задана плотность ρ = ρ(x ,y ,z ) , где ρ - непрерывная функция в каждой точке

телаT , то, проведя аналогичные рассуждения, получим, что масса тела

M T = ∫∫∫ρ(x ,y ,z )dxdy dz .

6. Моменты плоской фигуры

Из курсов теоретической механики известно, что статическим моментом Sl материальной точки массы m относительно оси l называется произве-

дение массы этой точки на расстояние до оси l , т.е. Sl =m rl .

Моментом инерции I l материальной точки относительно оси l называется произведение массы m этой точки на квадрат её расстояния от оси l ,

т.е. Sl =m rl 2 .

Статическим моментом системы материальных точек относительно оси l называется сумма статических моментов относительно этой оси всех материальных точек, входящих в систему.

Пусть в плоской области D распределена масса с плотностью ρ(x ,y ) . Разобьём область D на n частей, Sk - площадь k -й ячейки (k =1, 2,...,n ). В ячейке Dk возьмём произвольную точку (xk ,y k ) , тогда в силу сделанного выше определения можем считать, что

n	n
Sx ≈ ∑ρ(xk ,y k ) y k	Sk ; Sy ≈ ∑ρ(xk ,y k ) xk Sk .
k =1	k =1

Измельчая дробление, в пределе получим точные значения для статических моментов области D о осей O x и O y :

Sx = ∫∫ρ(x ,y )y dxdy ;	Sy = ∫∫ρ(x ,y )x dxdy .
D	D

Проводя аналогичные рассуждения для моментов инерции области отно-

сительно координатных осей, получим
I x = ∫∫ρ(x ,y )y 2 dxdy ;	I y = ∫∫ρ(x ,y )x 2 dxdy .
D	D

7. Координаты центра масс

Пусть D - плоская область, в которой распределена масса с плотностью ρ(x ,y ) . По определению центром масс плоской области называется точка

C с координатами

xc = MSy , y c = MSx ,

где M - масса плоской области D , а Sx и Sy - статические моменты.

Принимая во внимание выражения для массы и статических моментов через двойные интегралы, получим

x		=	∫∫ρ(x ,y )xdxdy	, y		=	∫∫ρ(x ,y )y dxdy
	c		D		c		D
			∫∫ρ(x ,y )dxdy				∫∫ρ(x ,y )dxdy

			D				D
Рассмотрим теперь некоторое тело T , ограниченное простой поверхно-
стью, и пусть в нём распределена масса,						плотность которой ρ(x ,y ,z ) , то

для координат центра масс этого тела получим совершенно аналогичные выражения:

∫∫ρ(x ,y ,z )xdv

, y

∫∫ρ(x ,y ,z )y dv

, z

∫∫ρ(x ,y ,z )zdv

∫∫ρ(x ,y ,z )dv

§4. Криволинейные координаты и замена переменных

вкратных интегралах

1.Криволинейные координаты

Относительно пространственной декартовой системы координат O xyz положение точки M определяется её тремя декартовыми координатами x , y и z . Если z > 0 , то положение точки M можно определить, задав такие три параметра: ρ - расстояние

точки M	от оси O z ; r	-расстояние точки	x	φ
M от начала координат;		ϕ - двухгранный		рис. 12
угол между плоскостью xO z и плоскостью,

проходящей через ось O z и точку M (рис.			12). Очевидно,		что параметры
ρ , r и ϕ можно выразить через декартовы координаты x , y					и z . Парамет-
ры ρ , r	и ϕ мы можем также назвать координатами точки M , ϕ [0, 2π[ .
И вообще, за координаты точки M мы можем принять любые три функции:
ξ =ξ(x ,y ,z ), η =η(x ,y ,z ), ζ =ζ (x ,y ,z )					(1)

лишь бы только соотношениями (1) координаты x ,y и z определялись од-

нозначно:
x =x (ξ,η,ζ ), y =z (ξ,η,ζ ), z =z (ξ,η,ζ )	(2)

Т.е. ни одно из соотношений (1) или (2) не должно противоречить другим или быть следствием других. Заметим, что из соотношений (2) в этом случае параметры ξ, η и ζ также будут определяться однозначно. Можно

доказать, что эти условия выполняются, если определить I (ξ,η,ζ ) , назы-

ваемый определителем Якоби или якобианом преобразования, отличен от нуля, т.е.

	xξ′	xη′	xζ′
	xξ′	xη′	xζ′
I (ξ,η,ζ ) =	y ξ′	yη′	y ζ′	≠ 0	(3)
	z ξ′	zη′	z ζ′

2. Координатные поверхности

Зафиксируем какую-нибудь координату, определённую соотношениями (1), например ξ , положив ξ =c1 , тогда получим ξ (x ,y ,z )=c1 (рис. 13).

С геометрической точки зрения этому уравнению в пространстве соответствует некоторая поверхность ξ . Аналогично можно определить коорди-

натные поверхности η и ζ соответственно:

η(x ,y ,z ) =c 2 и ζ (x ,y ,z )) =c3 .

Координатные поверхности ξ =c1 , η =c 2 и ζ =c3 при соблюдении усло-

вия (2) пересекаются в некоторой точке M . Таким образом, точка M определяется как точка пересечения координатных поверхностей (рис. 13).

3. Координатные линии

	z	к.л.ζ
	ξ
η =c 2		ξ0	ζ
		M
	r	ζ0	ξ =c1
к.л.ξ	r	η0	y
к.л.ξ			y
ζ =c 3	0	η	к.л.η
	0	η

Рассмотрим пересечения двух координатных поверхностей

	(	x ,y ,z	)	=c	1
ξ		x ,y ,z		=c
η(x ,y ,z )				=c 2		.
η(x ,y ,z )				=c 2

Очевидно, что кривая, по которой пересекаются эти поверхности, обладает таким свойством, что вдоль этой кривой координаты ξ и η постоянны, а меняется

одна только координата ζ , поэто-

му эта кривая называется координатной линией ζ . Аналогично пе-

рис. 13 ресечение поверхностей

(

x ,y ,z

)

(

x ,y ,z

)

ζ (x ,y ,z )=c3

даёт нам соответственно координатные линии η и ξ .

Очевидно, что в общем случае координатные линии представляют собой некоторые кривые, поэтому координаты ξ, η и ζ называются криволиней-

ными координатами. Проведем к координатным линиям, пересекающимся в точке M , касательные, направления которых соответствуют направлениям возрастания координат. Орты этих осей называются ортами криволинейных координатных осей и обозначаются соответственно ξ, η и ζ . Систему кри-

волинейных координат называют ортогональной, если ортогональны орты ξ0 , η0 и ζ0 , т.е. если выполняются условия

ξ0 η0 = η0 ξ0 = ζ0 ξ0 = 0 .

Заметим, что в декартовой системе координат O xy z координатными поверхностями будут являться плоскости, параллельные координатным плоскостям xO y , xO z , y O z , а координатными линиями - прямые, параллельные осям O x , O y и O z .

4. Коэффициенты Ламе

Рассмотрим вектор r - радиус-вектор точки M (рис. 13). Очевидно, что производная ∂∂ξr лежит на касательной к годографу вектора r , построенно-

му в предположении, что меняется только координата ξ , а координаты η и ζ остаются неизменными в сторону возрастания координаты ξ . Очевидно,

что ξ0 =

∂r

∂ξ

∂r

Аналогично η

∂η

∂ζ

∂r

Выражения

H ξ =

, H η

, H ζ

называются коэффициентами

∂ξ

∂η

∂ζ

Ламе. Так как радиус-вектор точки M .

r =x i +y j +z k , то, выполняя диф-

ференцирование, получим

∂r

∂x i

∂y

∂z

j +

∂ξ

∂r

∂x

∂y

∂z

(4)

j +

∂η

∂r

∂x

∂y

∂z

j +

∂ζ

Принимая во внимание эти соотношения, нетрудно получить такие вы-

ражения для коэффициентов Ламе:
H ξ = xξ′2 +′y ξ′2 +zξ′2 , H η = xη′2 +′yη′2 +zη′2 , H ζ = xζ′2 +′y ζ′2 +z ζ′2	(5)
70

Примем во внимание соотношения (4) и (5), тогда выражение для ортов криволинейных координат запишутся так:

ξ0 = (xξ′i +y ξ′j +z ξ′k )/ xξ′2 +y ξ′2 +z ξ′2 η0 = (xη′i +yη′j +zη′k )/ xη′2 +yη′2 +zη′2 ζ0 = (xζ′i +y ζ′ j +z ζ′k )/ xζ′2 +y ζ′2 +z ζ′2

5. Сферические координаты

Сферическими координатами точки M называются параметры ρ , θ и ϕ

(рис. 14), где		z	ρ	- расстояние от точки M до начала ко-
	z	θ ρr M (x ,y ,z )
				ординат (0 ≤ ρ < +∞);
			θ - угол, отсчитываемый от оси O z до век-
	0	y y		тора ρ (0 ≤θ ≤π) ;
			ϕ	- угол между плоскостью xO z и плос-
	x	M ′
x	ϕ			костью, проходящей через точку M и
				ось O z ( 0 ≤ϕ ≤ 2π ).
		рис. 14

Очевидно, что в сферических координатах координатными поверхностями являются также поверхности : - ρ =c1 - сфера радиуса c1 с

центром в начале координат; θ =c 2 - конус с вершиной в начале координат,

образующие которого составляют	угол	θ =c 2 с осью	O z ;	ϕ =c3	-
плоскость, проходящая через ось	O z	и образующая	угол	ϕ =c 2	с
координатной плоскостью xO z .

Сфера ρ =c1 и конус θ =c 2 пересекаются по окружности, которая представляет собой координатную линию ϕ . Сфера ρ =c1 и плоскость ϕ =x3 пересекаются по окружности (координатная линия θ ). Конус θ =c 2 и плоскость ϕ =c3 пересекаются по прямой (координатная линия ρ ). Орты криволинейной сферической системы координат изображены на рис. 14.

Непосредственно из рис. 14 можно установить связь между декартовы-

ми и сферическими координатами.

x = ρsinθ cosϕy = ρsinθ sinϕ .

z = ρcosθ

Вычислим теперь Якобиан преобразования для сферических координат

sinθ cosϕ J (ρ,θ,ϕ) = sinθ sinϕ

cosθ

Найдём теперь ∂r , ∂r , ∂r

∂ρ ∂θ ∂ϕ

с соотношениями (4):

ρcosθ cosϕ	−ρsinθ sinϕ	= ρ2 sinθ .
ρcosθ cosϕ	−ρsinθ sinϕ
ρcosθ sinϕ	ρsinθ cosϕ
−ρsinθ	0

для сферических координат в соответствии

	∂r			= sinθ cosϕi +sinθ sinϕj +cosθk
	∂ρ			= sinθ cosϕi +sinθ sinϕj +cosθk


	∂r
	∂r
				= ρcosθ cosϕi + ρcosθ sinϕj − ρsinθk
	∂θ			= ρcosθ cosϕi + ρcosθ sinϕj − ρsinθk
	∂θ
	∂r			= −ρsinθ sinϕi + ρsinθ cosϕj

	∂ϕ
	∂ϕ

А теперь нетрудно написать выражения для коэффициентов Ламе в сферических координатах: H ρ =1, H θ = ρ, H ϕ = ρsinθ . Очевидно, что орты

ρ0 , θ0 и φ0 запишутся так:

	0			∂r
ρ			=		/ H ρ = sinθ cosϕi +sinθ sinϕj +cosθk
ρ			=	∂ρ	/ H ρ = sinθ cosϕi +sinθ sinϕj +cosθk
				∂ρ
				∂r
	0			∂r
θ			=		/ H θ = cosθ cosϕi +cosθ sinϕj −sinθk
θ			=	∂θ	/ H θ = cosθ cosϕi +cosθ sinϕj −sinθk
				∂θ
φ		0	=	∂r	/ H ϕ = −sinϕi +cosϕj

				∂ϕ
				∂ϕ

Нетрудно убедиться, что криволинейная сферическая система координат ортогональна. Действительно

ρ0θ0 = ρ0φ0 = θ0φ0 = 0

6. Цилиндрические и полярные координаты

Цилиндрическими

координатами

точки M

(рис.

15) называются

пара-

метры:

точки M от

оси O z

- расстояние

ρ0

( 0 ≤ ρ < +∞);

- угол, отсчитываемый от плоскости

xO z

до плоскости,

проходящей через

точку M и осью O z (0 ≤ϕ < 2π) ;

рис. 15

z - координата, совпадающая с декартовой координатой z (−∞<z <+∞).

Очевидно, что в цилиндрических координатах координатными поверхностями являются:

ρ =c1 - цилиндрическая поверхность, образующие которой параллельны оси O z , а направляющей служит окружность в плоскости xO y с центром в начале координат радиуса ρ =c1 ;

ϕ =c 2 - плоскость, проходящая через ось O z и образующая с плоскостью xO y угол ϕ ;

z =c3 - плоскость, параллельная координатной плоскости xO y .

Координатные поверхности ρ =c1 и ϕ =c 2 пересекаются по прямой, па-

раллельной оси O z (координатная линия z ). Координатные поверхности ρ =c1 и z =c 2 пересекаются по окружности (координатная линия ϕ ). Ко-

ординатные поверхности ϕ =c 2 и z =c3 пересекаются по прямой (координатная линия ρ ). Орты цилиндрической системы координат и координатные линии ρ , ϕ и z изображены на рис. 15.

Непосредственно из рис. 15 нетрудно установить связь между декарто-

выми и цилиндрическими координатами:

x = ρcosϕ

y = ρsinϕ .
z =z

Найдём Якобиан преобразования для цилиндрических координат:

	cosϕ	−ρsinϕ			0
	cosϕ	−ρsinϕ			0
J (ρ,ϕ,z ) =	sinϕ	ρcosϕ			0	= ρ .
	0		0		1
Нетрудно получить выражения для		∂r ,	∂rr	и	∂r	, а также коэффициен-
Нетрудно получить выражения для		∂r ,	∂ϕ	и	∂z	, а также коэффициен-
		∂ρ	∂ϕ		∂z

ты Ламе H ρ , H ϕ и H z :
	∂r	= cosϕi +sinϕj,	∂r	= −ρsinϕi + ρcosϕj,	∂r	=k
	∂ρ		∂ϕ		∂z

H ρ =1, H ϕ = ρ, H z =1.

С учётом этих соотношений получим:

ρ0 = cosϕi + sinϕj, φ0 = −sinϕi +cosϕj, . z0 = k

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.03.20162.39 Mб38Математика типовик 3 модуль.pdf
#
23.04.2019514.79 Кб16математика ч.2.docx
#
20.03.20162.47 Mб24Математика, Типовик 1 семестр 2 модуль.doc
#
14.07.2019246.56 Кб3Математика. Экзамен 2 курс 1 семестр.rtf
#
14.04.20152.46 Mб99Математический анализ II Курс Лекций.pdf
#
14.04.20157.4 Mб87Математический анализ II Учебное Пособие.pdf
#
21.03.2016133.76 Кб36Математический язык.docx
#
25.11.2019854.35 Кб26Материалы лекций_ЭКиТ_текущие_В.Скобелев_1.docx
#
21.03.2016596.2 Кб7Материалы тест №2.pdf
#
20.03.201619.35 Кб32матрица переходных вероятностей.docx
#
21.03.201638.28 Кб22менедж_реф.docx