Математический анализ II Учебное Пособие
.pdfn −1
σn = ∑f (ξk ,ηk ) xk . k =0
Измельчая дробление и устремляя ранг дробления к нулю, ищем предел
I = limσn .
λ→0 n →∞
Если этот предел существует, то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f (x ,y ) по кривой A B и обозначается
так:
|
I = ∫ f (x ,y )dx . |
|
Итак, короче: |
A B |
|
n −1 |
||
|
||
∫ f (x ,y )dx = limλ→0 ∑f (ξk ,ηk ) xk . |
||
A B |
n →∞ k =0 |
|
Определение относится к плоской кривой. Точно так же определяется интеграл по пространственной кривой ∫ f (x ,y ,z )dx .
|
A B |
|
|
Аналогично определяются |
интегралы |
∫ f (x ,y ,z )dy |
и ∫ f (x ,y ,z )dz . |
|
|
A B |
A B |
Сумму интегралов по кривой A B обозначают так: |
|
||
∫ P (x ,y ,z )dx + ∫Q (x ,y ,z )dy + ∫ R (x ,y ,z )dz = |
|||
A B |
A B |
A B |
|
∫ P (x ,y ,z )dx +Q (x ,y ,z )dy +R (x ,y ,z )dz
A B
Всё сказанное не исключает случая, когда точка A совпадает с точкой B , т.е. кривая A B представляет собой замкнутый контур K , в этом случае криволинейный интеграл второго рода обозначается так:
∫f (x ,y )dx ,
K
причём безразлично, в какой точке следует начать движение по контуру. Следует заметить, что если K - есть плоский замкнутый самонепересекающийся контур, то у такого контура различают положительное и отрицательное направление обхода, а именно: за положительное направление обхода принимают такое направление, при котором область, ограниченная контуром K , остается слева, если наблюдатель движется по контуру. В таком случае, если K - пространственная кривая, то направление обхода контура оговаривается особо. Иногда для интегралов по замкнутому самонепересекающемуся контуру употребляют такие обозначения:
∫f (x ,y )dx и ∫f (x ,y )dy .
2.Теорема существования криволинейного интеграла
84
второго рода
Теорема. Пусть кривая A B |
задана уравнениями x =ϕ(t ) , y =ψ(t ), где |
|
ϕ(t ) и ψ(t ) непрерывны на |
промежутке |
′ |
[p ,q ] , причём ϕ (t ) также |
||
существует и непрерывна на [p ,q ] , причём, |
когда параметр t возрастает |
|
от p до q , то кривая A B (или контур K ) описывается в одном и том же
направлении от A до B .
Пусть также в каждой точке кривой A B задана непрерывная функция f (x ,y ) .
Тогда криволинейный интеграл второго рода от функции f (x ,y ) по кривой A B существует и выражается через определённый интеграл так:
∫ f (x ,y )dx = ∫b f [ϕ(t ),ψ(t )]ϕ′(t )dt .
A B |
a |
задана уравнением y =ψ (t ), где |
Частный случай. Если кривая A B |
||
ψ (t ) - непрерывная на промежутке [a ,b] |
функция, и если в каждой точке |
|
кривой A B задана непрерывная функция f (x ,y ) , то тогда криволинейный
интеграл второго рода I = ∫ f (x ,y )dx |
существует и выражается через оп- |
A B |
|
ределенный интеграл так: |
|
∫ f (x ,y )dx = ∫b f [x ,ψ(x )]dx . |
|
A B |
a |
3. Свойства криволинейного интеграла второго рода
Остановимся на некоторых свойствах и применениях криволинейного интеграла второго рода, причём не будем упоминать и доказывать свойства, которые очевидны.
1. При определении криволинейного интеграла второго рода I = ∫ f (x ,y )dx нужно различать начало и конец пути интегрирования, а
A B
именно:
∫ f (x ,y )dx = − ∫ f (x ,y )dx .
A B B A
Это свойство станет очевидным, если для одного и того же способа разбиения составить интегральные суммы для интегралов, стоящих в левой и прямой части равенства.
85
2. В том случае, если кривая A B замкнута, т.е. представляет собой замкнутый контур K , то
∫ f (x ,y )dx = − ∫f (x ,y )dx ,
т.е. изменение направления обхода контура K меняет знак интеграл на противоположный.
3. Если функция f (x ,y ) |
интегрируема на кривой A B и если точка C |
|
разбивает кривую на два участка A C и C B , то |
||
∫ f (x ,y )dx = ∫ f (x ,y )dx + ∫ f (x ,y )dx . |
||
A B |
A C |
C B |
Для доказательства этого свойства достаточно составить интегральную сумму, а точку C включить в число точек дробления.
4. Очевидно, что если кривая A B есть прямолинейный отрезок, перпендикулярный оси O x , то при любой f (x ,y ) интеграл I = ∫ f (x ,y )dx суще-
A B
ствует и равен нулю.
4. Связь криволинейных интегралов первого и второго рода
Рассмотрим |
интеграл |
|
|
B |
I = ∫ P (x ,y )dx , |
где P (x ,y ) - непре- |
y |
|
|
β |
τ |
|||
A B |
|
|
|
|
рывная функция в каждой точке кривой |
|
|
||
|
|
α |
||
A B , а кривая A B задана уравнением |
|
|
||
A |
|
|
||
y =ψ(x ) , причём |
ψ(x ) непрерывна и |
M |
|
|
|
′ |
|
|
|
имеет непрерывную производную ψ (x ) |
|
|
|
|
на промежутке [a ,b], где a <b и |
0 |
рис. 4 |
x |
|
a является абсциссой точки A , |
|
|
||
b - абсциссой точки B (рис. 4)
При выполнении таких условий кривая A B в каждой точке имеет касательную. Мы будем рассматривать касательную, имеющую направление, совпадающее с направлением кривой A B . Обозначим через α угол между положительным направлением касательной и осью O x . В силу геометриче-
|
′ |
|
ского смысла производной следует, что tgα =ψ (x ) , а тогда |
||
cosα = |
1 |
. |
1 +[ψ′(x )]2 |
||
Интеграл I мы можем записать так:
I = ∫ P [x ,ψ(x )]cosα 1+ψx′2dx .
A B
86
Перейдём в правой части к определённому интегралу:
b |
[ |
] |
[ |
|
] |
2 |
|
∫ |
′ |
|
|||||
I = P |
x ,ψ(x ) cosα |
|
|
dx . |
|||
1 + ψ (x ) |
|
|
|||||
a
Точно такому же определённому интегралу равен криволинейный интеграл первого рода
I 1 = ∫ P (x ,y )cosαdS ,
A B
т.е. I =I 1 .
Окончательно получаем
∫ P (x ,y )cosαdS = ∫ P (x ,y )dx .
A B A B
Совершенно аналогично можно доказать и такую формулу:
∫Q (x ,y )cos βdS = ∫Q (x ,y )dy ,
A B A B
где β - угол между положительным направлением касательной к осью O y .
Скатывая почленно две последние формулы, получим соотношение, устанавливающее связь между криволинейными интегралами первого и второго рода по кривой A B , лежащей в плоскости xO y :
∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy =
AB
=∫ [P (x ,y )cosα +Q (x ,y )cos β]dS
A B
Между левой и правой частям равенства здесь такое согласование: следа интеграл вычисляется по кривой A B от A к B , а справа через α и β обо-
значены углы касательной, направление которой совпадает с направлением кривой A B , с координатными осями.
Если A B - пространственная кривая, α , β , γ - углы касательной, совпадающей по направлению с кривой A B , с координатными осями O x , O y и O z соответственно, то справедливо такое соотношение:
∫ P (x ,y ,z )dx +Q (x ,y ,z )dy +R (x ,y ,z )dz =
AB
=∫ [P (x ,y ,z )cosα +Q (x ,y ,z )cos β +R (x ,y ,z )cosγ ]dS
AB
5.Вычисление работы с помощью криволинейного интеграла
87
Мы получили ранее выражение для ра- |
y |
|
F |
B |
|||
боты силы F по перемещению материаль- |
|
|
γ |
||||
|
|
|
|||||
ной точки M по кривой A B через криво- |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||
линейный |
интеграл |
первого |
рода: |
|
|
θ |
α τ |
A = ∫ F cosθdS . |
|
|
|
A |
M |
|
|
A B |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь θ - угол между вектором F и ка- |
0 |
|
|
x |
|||
сательной, направление которой совпадает |
|
рис. 5 |
|||||
с направлением кривой A B .
Найдём выражение для этой работы с помощью криволинейного интеграла второго рода (рис. 5). Пусть α - угол между направлением касательной и осью O x , β - угол между вектором F и осью O y , тогда ясно, что
θ = ±(γ −α).
Обозначим через P (x ,y ) и Q (x ,y ) проекции силы F на координатные оси. Очевидно, что
F (x ,y )cosγ =P (x ,y ), F (x ,y )sinγ =Q (x ,y ) ,
кроме того,
cosθ = cosγ cosα +sinγ sinα ,
тогда
A = ∫ [F (x ,y )cosγ cosα +F (x ,y )sinγ sinα]dS =
AB
=∫ [P (x ,y )cosα +Q (x ,y )sinα]dS
AB
Принимая во внимание формулу, устанавливающую связь между криволинейными интегралами первого и второго рода, получим окончательно
A = ∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy .
A B
Итак, всякий криволинейный интеграл второго рода вида
∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy
A B
можно истолковать как работу силы, имеющей своими проекциями на координатные оси P (x ,y ) и Q (x ,y ) , по перемещению материальной точки
вдоль кривой A B из точки A в точки B .
88
Удалено: ¶
§ 3. Формула Грина
Пусть задана некоторая область D , ограниченная снизу кривой y =ϕ(x ) , сверху - кривой y = Φ(x ) , а с боков - отрезками B C и A D , параллельными
|
|
|
|
|
|
|
оси O y |
(рис. 6), и пусть в этой об- |
||
y |
D |
y = Φ(x ) |
|
|
ласти |
определена |
непрерывная |
|||
|
|
|
C |
функция P (x ,y ) , имеющая непре- |
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
D |
|
|
|
рывную |
частную |
производную |
||
|
|
|
|
|
Py′(x ,y ) . |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
A |
y =ϕ(x ) |
B |
Вычислим |
∂P (x ,y ) |
|
||||
|
|
|
|
I = ∫∫ |
dxdy . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
a |
|
|
b x |
|
∂y |
|||
|
|
|
|
D |
|
|||||
|
|
|
Переходя к повторному интегра- |
|||||||
|
|
рис. 6 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
лу, получим |
|
|
|
|
|
b |
Φ(x ) |
∂P (x ,y ) |
|
b |
|
|
|
|
|
|
I = ∫dx |
∫ |
dy |
= ∫[P (x ,Φ(x ) −P (x ,ϕ(x )]dx |
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
a |
ϕ(x ) |
∂y |
|
|
a |
|
|
|
С другой стороны, интеграл по контуру области D : |
|
|||||||||
∫ P (x ,y )dx = ∫ P (x ,y )dx + ∫ P (x ,y )dx + ∫ P (x ,y )dx + ∫ P (x ,y )dx = |
||||||||||
K D |
|
A B |
|
|
B C |
C D |
|
D A |
||
|
|
= ∫b P [x ,ϕ(x )]dx −∫b P [x ,Φ(x )]dx . |
|
|
||||||
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
Правые части двух последних формул отличаются только знаком, следовательно,
|
|
∫∫ |
∂P (x ,y ) |
dxdy = −∫∫P (x ,y )dx . |
|
|
∂y |
||
|
|
D |
K D |
|
|
|
|
||
y |
x =ϕ(y ) |
x = Φ(y ) |
Полученная формула называется ма- |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
лой формулой Грина. Можно доказать, |
|
|
D |
|
|
что она справедлива и для области, изо- |
|
|
|
браженной на рис. 7. |
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
Нетрудно доказать также, что эта |
|
|
|
формула справедлива для любой области, |
|
0 |
|
|
x |
|
рис. 7 |
|
распадающейся на конечное число час- |
||
|
|
|
тей, изображенных на рис. 6 и рис. 7. |
|
|
|
|
|
|
Если в области D определена и непрерывна функция Q (x ,y ), имеющая
непрерывную частную производную ∂Q (x ,y ) , то совершенно аналогично
∂x
можно доказать вторую малую формулу Грина:
89
∫∫∂Q∂(xx ,y ) = ∫∫Q (x ,y )dy .
D K D
Складывая почленно обе малые формулы Грина, получим формулу
∂Q (x ,y ) |
|
∂P (x ,y ) |
|
|||
∫∫ |
|
− |
|
dxdy = ∫∫P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy . |
||
∂x |
∂y |
|||||
D |
|
|
K D |
|||
Эта формула называется большой формулой Грина или просто формулой Грина. Она устанавливает связь между двойным интегралом по области D и криволинейным интегралом по контуру этой области.
Замечание (о вычислении площади области с помощью криволинейного интеграла). Положим в формуле Грина P (x ,y ) = −y ,
Q (x ,y ) =x тогда получим
∂Q (x ,y ) |
− |
∂P (x ,y ) |
=1+1 = 2. |
|
∂x |
∂y |
|||
|
|
При таких значениях функции P (x ,y ) и Q (x ,y ) интеграл, стоящий в ле-
вой части формулы Грина, даёт нам удвоенную площадь области D , откуда следует
SD = 12 K∫D xdy −y dx .
По этой формуле можно вычислить площадь области D , ограниченной контуром K D .
Пример. Вычислить площадь эллипса x =a cost , y =a sint
Решение. Очевидно, что когда параметр t изменяется от 0 до 2π , точ-
ка (x ,y ) |
обегает полный контур эллипса в положительном направлении. |
||||
Учитывая, что xt′ = −a sint , y t′ =b cost , получим |
|
|
|||
SЭЛЛ = |
1 ∫ |
xdy −ydx =1 2∫π[a cost bcost +bsint a sint ]dt = |
1ab2∫πdt =πab кв. ед. |
||
|
2K |
ЭЛЛ |
2 0 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
§ 4. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования
Пусть функции P (x ,y ) и Q (x ,y ) определены и непрерывны в некоторой открытой области S и имеют в ней непрерывные частные производные
∂Q (x ,y ) |
и |
∂P (x ,y ) |
. Мы будем рассматривать кривые, целиком лежащие в |
|
∂x |
∂y |
|||
|
|
|||
|
|
|
90 |
области S и допускающие представление x =ϕ(t ) , y =ψ(t ), при нём функции ϕ(t ) и ψ(t ) непрерывны и имеют непрерывные производные ϕ′(t ) и ψ′(t ) при любом t [p ,q ].
Определение 1. Говорят, что интеграл I = ∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy
A B
не зависит от пути интегрирования, если результаты интегрирования по любой кривой, соединяющей точки A и B , совпадают, т.е. если (рис. 8).
∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy = ∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy .
A M B A N B
Замечание. Интегралы, не зависящие от пути интегрирования, иногда записывают так:
y |
|
(x ,y ) |
N |
B |
I = ∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy , |
|
|
(x0 ,y 0 ) |
A |
S |
где A (x 0 ,y 0 ) и B (x1,y1 ) , а под кривой, по |
M |
|
которой ведется интегрирование, пони- |
0 |
x |
маем любую кривую A B , лишь бы на |
ней не нарушались условия теоремы су- |
||
рис. 8 |
|
ществования криволинейного интеграла. |
|
|
Определение 2. Говорят, что интеграл по замкнутому контуру ра-
вен нулю, если для любого замкнутого самонепересекающегося контура L , целиком лежащем в S , оказывается
∫P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy = 0 .
L
Лемма. Определения 1 и 2 эквивалентны.
1. Докажем , что если криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то тогда по любому замкнутому контуру он равен нулю (рис. 8).
Действительно пусть
∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy = ∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy
A M B |
A N B |
|
Отсюда следует: |
|
|
∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy − ∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy = 0 => |
||
A M B |
A N B |
|
=> ∫ P (x,y )dx +Q(x,y )dy + |
∫ P (x,y )dx +Q(x,y )dy = |
∫ Pdx +Qdy =0 |
AMB |
BNA |
AMBNA |
Теперь достаточно только обозначить замкнутую кривую A M B N A буквой L и оказывается
∫P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy = 0 .
L
91
2. Второе утверждение: Если интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то он не зависит от пути интегрирования, доказывается аналогично, для чего достаточно разбить замкнутый контур L на два участка.
(Докажите самостоятельно).
Теорема 1. Для того, чтобы интеграл I = ∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy не
A B
зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке области S было выполнено условие
∂P (x ,y ) |
= |
∂Q (x ,y ) |
. |
(1) |
∂y |
|
|||
|
∂x |
|
||
Доказательство. Достаточность. Допустим, что в каждой точке области S выполнено условие (1). Возьмём замкнутый самонепересекающийся контур L , лежащий в S и ограничивающий область D (рис. 9). По формуле Грина
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Q (x ,y ) |
|
|
∂P (x ,y ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
∫P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy = ∫∫ |
|
|
|
− |
|
|
|
dxdy . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Так как выполнено условие (1) , |
то |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy = 0 , а тогда в си- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 |
ρ |
|
|
B |
|||
лу |
леммы |
криволинейный |
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
D |
||||||||||||||||||
|
∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy |
не |
зависит |
от |
|
|
|
|
A |
|
|
|
L ρ |
|
S |
|||||||||||
A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
пути интегрирования. |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рис. 9 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Необходимость. Допустим, что условие (1) не выполнено всюду в S |
||||||||||||||||||||||||
и |
пусть |
найдётся |
некоторая |
|
точка |
|
|
|
M 0 (x 0 ,y 0 ), |
в |
|
которой |
||||||||||||||
|
∂P (x ,y ) |
≠ |
∂Q (x ,y ) |
. Пусть для определённости в этой точке |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
∂y |
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Q (x ,y ) |
− |
∂P (x ,y ) |
|
> 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Так как |
частные производные |
|
∂Q (x ,y ) |
|
|
и |
|
∂P (x ,y ) |
|
непрерывны, то |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
∂y |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
можно найти круг |
ρ с центром в точке M 0 столь малого радиуса ρ , что |
|||||||||||||||||||||||||
последнее неравенство во всех точках области |
|
ρ . Пусть L ρ - контур об- |
||||||||||||||||||||||||
ласти ρ . Для этой области справедлива формула Грина, но т.к. в каждой
точке области ρ |
∂Q |
− |
∂P |
> 0 , то двойной интеграл |
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
92 |
∫∫ρ |
∂Q |
− |
∂P |
, |
|
∂x |
∂y |
|
|||
|
|
|
dxdy > 0 |
||
следовательно, нашелся контур L ρ такой, что
∫P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy > 0 .
L ρ
Теорема 2. Если в каждой точке области S функции P (x ,y ) и Q (x ,y )
непрерывны |
и |
имеют |
непрерывные |
частные |
производные |
||||||||
|
∂P (x ,y ) |
= |
∂Q (x ,y ) |
, |
то выражение P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy |
является пол- |
|||||||
|
∂y |
|
|||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ным |
(x ,y ) |
дифференциалом |
непрерывной |
|
функции |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Φ(x ,y ) = ∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy , |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
(a ,b ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. d Φ(x ,y ) =P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy . |
|
|
|
|
|||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
x |
Доказательство. Пусть в каждой |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
точке области |
S выполнено |
условие |
||||
|
|
|
|
M (x ,y ) N (x + x ,y ) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1). Закрепим |
|
точку A (a ,b) |
и пусть |
|
|
S |
|
M (x ,y ) - какая-нибудь точка области |
|
A |
x |
S . Тогда ∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy за- |
||
0 |
|
A M |
|
|
|
висит от точки M |
, но не зависит от ли- |
||
|
рис. 10 |
|
||
|
|
нии A M . |
|
|
|
|
|
|
|
Это означает, что написанный интеграл является функцией переменных x и y . Обозначим через Φ(x ,y ) , тогда можно написать:
(x ,y )
Φ(x ,y ) = ∫ P (x ,y )dx +Q (x ,y )dy .
(a ,b )
Попробуем продифференцировать функцию Φ(x ,y ) по переменной x (рис. 10). Для этого, исходя из точки M (x ,y ) , дадим x приращение x , взяв его столь малым, чтобы отрезок M N , соединяющий точки M (x ,y ) и N (x + x ,y ) , целиком лежал в области S , тогда будет
(x+Δx ,y ) |
(x ,y ) |
(x+Δ,y ) |
Φ(x +Δx,y ) = ∫ |
P (x,y )dx +Q(x,y )dy = ∫ Pdx +Qdy + |
∫ Pdx +Qdy => |
(a ,b) |
(a ,b) |
(x ,y ) |
(x +Δx ,y )
=> ΔΦ(x ,y ) = Φ(x + x ,y ) −Φ(x ,y ) = ∫ P dx +Q dy .
(x ,y )
93