Математический анализ II Учебное Пособие

ГЛАВА II. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку

1. Определение несобственного интеграла по неограниченному промежутку

Пусть функция f (x ) определена на промежутке [a , +∞[ и интегрируема

f (x ) по бесконечному промежутку [a , +∞[ (несобственным интегралом 1го рода) называют предел

A

lim ∫f (x )dx

A →∞ a

Если этот предел конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Если f (x ) > 0 (рис 1), то очевидно,

где F (x ) - первообразная функции f (x ) на любом промежутке [a ,A ] [a , +∞[ . Обобщив формулу Ньютона-Лейбница, можно окончательно написать

+∞

∫ f (x )dx =F (x ) a+∞ =F (+∞) −F (a ) ,

a

здесь F (+∞)= limF (x ) .

x →∞

30

В том случае, когда бесконечны и верхний и нижний пределы интегрирования, то по определению имеем:

где c - любое действительное число. При этом несобственный интеграл

+∞∫ f (x )dx называется сходящимся, если сходятся оба интеграла, стоящие

−∞

справа.

2. Главное значение интеграла +∞∫ f (x )dx

−∞

Определение. Главным значением несобственного интеграла

+∞∫ f (x )dx называется предел

−∞

которое обозначается так:

(от франц. valleur principal - главное значение)

Заметим, что в определении главного значения несобственного интеграла имеется в виду симметричное возрастание модуля переменной x в положительном и отрицательном направлении, в то время как по определению не-

собственный интеграл +∞∫ f (x )dx мы прежде всего должны заменить суммой

−∞

31

Ответ: данный интеграл расходится, в то время как его главное значение сходится.

Пример 4. Вычислить, при каком значении параметра p несобствен- +∞∫dxxp (a > 0) сходится.

a

Ранее мы установили , что при p =1 данный интеграл расходится, поэтому при дальнейшем исследовании случай p =1 мы рассматривать не будем.

Следовательно

дальнейшем этот факт можно использовать как очевидный при решении примеров.

3.Достаточные признаки сходимости несобственных интегралов по неограниченному промежутку

Часто бывает нужно определить, сходится или расходится несобствен-

ный интеграл, не находя его первообразной, т.е. оценить сходимость несоб-

ственного интеграла. Для этого можно воспользоваться в частности так называемыми признаками сравнения, которые мы оформим в виде теорем.

Теорема 1 (Первый признак сравнения).

Если функции f (x ) и ϕ(x ) непрерывны на промежутке [a ;+∞[ и при этом 0 ≤ f (x ) ≤ϕ(x ) , то тогда

33

Теорема 2 (Второй признак сравнения).

Если функции f (x ) и ϕ(x ) непрерывны на промежутке [a ;+∞[ и неотрицательны, т.е. f (x ) > 0 и ϕ(x ) > 0 , и существует конечный отличный от

В силу определения предела это означает, что для любого ε > 0 при дос-

Предположим сначала, что интеграл +∞∫ f (x )dx сходится, а тогда в силу по-

a

лученного неравенства и первого признака сравнения следует, что интеграл +∞∫(r −ε)ϕ(x )dx = (r −ε)+∞∫ϕ(x )dx сходится, значит сходится и +∞∫ϕ(x )dx .

же неравенства и первого признака сравнения вытекает, что расходится и интеграл +∞∫(r +ε)ϕ(x )dx = (r +ε)+∞∫ϕ(x )dx , т.е. расходится +∞∫ϕ(x )dx .

a a a

4. Абсолютная сходимость

Несобственный интеграл +∞∫ f (x )dx называется абсолютно сходящимся,

a

если сходится интеграл от модуля этой функции, т.е. интеграл

+∞∫ f (x ) dx .

a

35

то интеграл называется сходящимся не абсолютно (условно сходящимся). Без доказательства отметим, что из абсолютной сходимости следует схо-

димость интеграла +∞∫ f (x )dx .

a

Для установления абсолютной сходимости (и следовательно сходимости

интеграла) могут использоваться признаки сравнения, доказанные выше для положительных функций.

сходится, следовательно, сходится и данный интеграл.

§6 Несобственные интегралы от неограниченных функций

Определение. Несобственным интегралом 2го рода ∫b f (x )dx назы-

ется сходящимся, если указанный предел конечен и расходящимся в противном случае.

Аналогично определяется несобственный интеграл, если f (x ) не ограничена в точке a (рис 2):

36

В том случае, когда функция f (x ) обращается в бесконечность на кон-

цах промежутка интегрирования [a ,b], несобственный интеграл ∫b f (x )dx

интеграла, стоящие справа и расходящиеся, если расходится хотя бы один из этих интегралов.

Пример 1. Оценить сходимость несобственного интеграла

I = ∫b dx p при различных значениях p . a (b −x )

2. Пусть p >1. Обозначим p =1 +s , где s > 0 , тогда

Следовательно при p <1 интеграл сходится.

Заметим, что в качестве эталона для сравнения часто используется рас-

Точно так же, как и для несобственных интегралов 1го рода формулируются и доказываются признаки сравнения для несобственных интегралов 2- го рода. Аналогично определяется абсолютная сходимость и формулируется

признак абсолютной сходимости.

В силу первого признака сравнения данный интеграл расходится.

Решение. Заметим, что подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв на верхнем пределе интегрирования, т.е. в точке x =1. На проме-

интегралом при p = 13 (см. пример 1). В силу признака сравнения данный интеграл сходится.

Вывод: данный интеграл сходится.

§7 Интегралы, зависящие от параметра

В том случае, если функция, стоящая под знаком определённого интеграла кроме переменной x , по которой ведётся интегрирование, зависит

ещё от некоторого параметра α , то очевидно, что интеграл ∫b f (x ,α)dx яв-

a

ляется функцией параметра α , т.е.

39