Математический анализ II Учебное Пособие

Q = ∫∫ax (x ,y ,z )dy dz +ay (x ,y ,z )dzdx +az (x ,y ,z )dxdy .

S

Вспоминая, что под знаком тройного интеграла в правой части стоит дивергенция векторного поля a , тогда окончательно можно написать

∫∫andS = ∫∫∫div adxdydz .

S T

Выясним теперь механический смысл дивергенции векторного поля. Допустим, что векторное поле есть поле скоростей текущей жидкости

v(x ,y ,z ,t ) и пусть плотность этой жидкости ρ =const . Возьмём в поле

вектора v замкнутую поверхность S , ограничивающую малый объём. По теореме Остроградского

QT = ∫∫∫div vdxdydz .

T

Применяя теорему о среднем, получим QT = (div v)M vT , где M - некоторая "средняя точка", лежащая в телеT . Отсюда

Вывод: дивергенция векторного поля v даёт нам расход жидкости из точечного источника в единицу времени, т.е. удельную силу источника. Заметим, что если div v в данной точке положительна, то это значит, что в этой

точке происходит втекание жидкости (т.е. в этой точке сток).

Принимая во внимание это рассуждение, можно дать механическое истолкование теоремы Остроградского:

расход жидкости из тела T , ограниченного поверхностью S , в единицу времени t равен сумме попарных произведений сит источников.

Заметим, что попутно мы доказали независимость дивергенции векторного поля от выбора системы координат. Действительно, с одной стороны

div a = ∂∂axx + ∂∂ayy + ∂∂azz ,

а с другой - это удельная сила источника, а независимость последней от системы координат очевидна.

114

3. Q 3 = ∫∫[x cos λ +(y +1)cos μ +z cosν]dS , n3 (0,0, −1) , т.е.

S 3

3-й метод решения. Вычислим тот же самый поток с помощью поверхностного интеграла второго рода Q = ∫∫axdydz +aydzdx +a zdxdy .

S4 (верхн. стор)

116

Следовательно, мы можем сделать вывод, что поток соленоидального векторного поля через поперечное сечение векторной трубки есть величина постоянная и не зависит от площади сечения. Эта величина называется напряжением векторной трубки.

Если соленоидальное поле является полем скоростей текущей несжимаемой жидкости v(vx ,vy ,vz ) , то мы имеем

Значит, если в пространстве, где течёт жидкость, нет ни источников, ни стоков, то проекции скоростей связаны соотношением (1), которое называется уравнением неразрывности.

Рассмотрим теперь некоторое скалярное поле U (x ,y ,z ) и найдём его градиент:

т.е. U = 0 , то функция называется гармонической.

Теорема. Для того, чтобы поле градиента какой-нибудь скалярной функции было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы эта функция была бы гармонической.

цияU (x ,y ,z ) гармоническая.

Достаточность. Пусть функцияU (x ,y ,z ) - гармоническая, т.е.

118

Теорема доказана.

Заметим, что при доказательстве теоремы мы предположили существование вторых смешанных производных от проекций вектора a и их непрерывность.

Допустим, что в поле вектора a лежит замкнутый контур l , имеющий в каждой своей точке касательную. Перекинем через контур l двухстороннюю поверхность S , имеющую в каждой своей точке нормаль n к поверхности. При таких предположениях о контуре l и поверхности S справедлива доказанная ранее формула Стокса.

Докажем теперь векторную форму теоремы Стокса.

Теорема Стокса. (векторная форма).

Циркуляция векторного поля по замкнутому контуру равна потоку его вихря через поверхность, натянутую на этот контур.

Доказательство. Итак, пусть через замкнутый контур, обладающий указанными выше свойствами, перекинута (натянута) двухсторонняя поверхность S . Рассмотрим циркуляцию векторного поля по замкнутому кон-

туру l : Ц= ∫aτdS .

l

Пусть касательный вектор τ образует углы α , β и γ с координатными

осями O x , O y и O z , тогда aτ =прτra = a τ0 =ax cosα +ay cos β +a z cosγ . Подставим aτ в выражение циркуляции, тогда получим

Ц= ∫ ax cosα +ay cos β +a z cosγ dS или, принимая во внимание связь меж-

l

ду криволинейными интегралами первого и второго рода, получим

Ц= ∫axdx +aydy +a zdz .

l

Воспользуемся теперь формулой Стокса:

При этом предполагается, что наблюдатель, у которого нормаль к поверхности проходит от ног к голове, обходит контур в таком направлении, что поверхность S остаётся слева.

Нетрудно заметить, что в правой части последней формулы находится поток вихря векторного поля a через поверхность S , т.е. имеем

∫aτdS = ∫∫(r ot a)n dS .

l S

Теорема доказана.

Теорема 2. Вихрь векторного поля не зависит от выбора координатных осей.

Доказательство. Рассмотрим в поле вектора a произвольное направ-

жение в правой части равенства не зависит от выбора координатных осей. Значит cn тоже от них зависит, а так как n - любое направление, то вектор

r ot a не зависит от выбора координатных осей.

Пример. Вычислить циркуляцию векторного поля a =xz i +x j +y k по

Решение.

1) Непосредственное вычисление циркуляции. Контур l можно разбить на три части: l 1 , l 2 и l 3 , лежащие в координатных плоскостях xO y , yO z и

zOx соответственно, таким образом циркуляция Ц=Ц1+Ц2+Ц3 , где

Ц1= ∫xzdx +xdy +ydz . На кривой l1 : z = 0 , dz = 0 x = 1 −y 2 , y [0,1].

Ц2= ∫xzdx +xdy +ydz . На кривой l2 : y +z =1, x = 0, dx = 0, z [0,1], т.е.

Ц1= ∫∫dy dz +xdzdx +dzdy . Перейдём в правой части к поверхностному