Математический анализ II Учебное Пособие
.pdfI (α) = ∫b f (x ,α)dx .
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
cosαx |
|
1 |
= |
1 −cosα |
; |
1 |
αx |
dx = |
e αx |
|
1 |
= |
e α −1 |
; |
||
|
|
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
Например ∫sinαxdx = − |
α |
|
|
0 |
|
α |
∫e |
|
α |
|
|
α |
|||||
0 |
5 |
|
|
|
|
e 5α −1 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
αx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
∫e |
|
|
|
dx = |
α |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменим, что интегралы, зависящие от параметра, находят многочисленные приложения. Представляет интерес вопрос о существовании и нахождении производной от такого интеграла по параметру α . Приведём без доказательства теорему.
Теорема. Если функция f (x ,α) непрерывна в замкнутом прямоугольнике a ≤x ≤b, c ≤α ≤d и имеет в нём непрерывную частную производную по параметру α , то на промежутке [c ,d ] имеем:
I α′ = ∫b fα′(x ,α)dx |
(1) |
a |
|
Заметим, что эта операция называется дифференцированием под знаком интеграла.
Отметим, что при b = +∞, т.е. для несобственных интегралов
+∞∫ f (x ,α)dx для дифференцирования под знаком интеграла не достаточно
a
сходимости интеграла и существования непрерывной частной производной fα′(x ,α) . Дополнительно требуется так называемая равномерная сходи-
мость несобственного интеграла. Рассмотрим это понятие подробнее.
Определение 1. Несобственный интеграл по неограниченному промежутку I (α) = +∞∫ f (x ,α)dx , (c ≤α ≤d ) называется равномерно сходя-
a
щимся по параметру α на [c ,d ] , если для любого ε > 0 найдётся такое, не зависящее от α число A 0 ≥a , что для любого A >A 0 неравенство
+∞∫ f (x ,α)dx −A∫f (x ,α)dx <ε |
|
a |
a |
будет выполняться для всех значений α из промежутка [c ,d ] .
40
Определение 2. Несобственный интеграл I (α) = ∫b f (x ,α)dx от неог-
a
раниченной функции называется равномерно сходящимся по параметру
α на промежутке [c ,d ] , если для любого ε найдётся такое, не зависящее от α число δ > 0 , что для любого η ≤δ неравенство
b |
b −η |
|
∫f (x ,α)dx − |
∫ f (x ,α)dx |
<ε |
a |
a |
|
выполняется для всех значений α из промежутка [c ,d ] .
Существует простой признак равномерной сходимости по параметру несобственных интегралов, который мы приведём без доказательства.
Теорема 1. (Достаточный признак равномерной сходимости)
Если функция f (x ,α) непрерывна по переменной x для x ≥a |
и суще- |
||||
ствует такая функция Ψ(x ) , что для α [c ,d ] |
|
f (x ,α) |
|
≤ Ψ(x ) |
и инте- |
|
|
||||
грал +∞∫ Ψ(x )dx сходится, то несобственный интеграл +∞∫ f (x ,α)dx |
сходит- |
||||
a |
|
a |
|
ся равномерно относительно α , где α [c ,d ] .
Аналогично этот признак формулируется для несобственных интегралов от неограниченных функций.
Пример 1. Доказать, что интеграл +∞∫ cosαx dx сходится равномерно
0 x 2 +k 2
относительно параметра α .
Решение. Очевидно, что для любого параметра α справедлива такая оценка
cosαx |
|
≤ |
1 |
, |
|
|
|||||
x 2 +k 2 |
x 2 +k 2 |
||||
|
|
|
+∞ |
dx |
|
|
а несобственный интеграл ∫0 |
сходится. |
||
x 2 +k 2 |
Следовательно, данный интеграл сходится равномерно относительно любого параметра α , для которого определена функция cosαx .
41
Теорема 2. (Дифференцирование несобственного интеграла по параметру)
Если функция f (x ,α) непрерывна по переменной x для x ≥a и имеет непрерывную по обеим переменным производную fα′(x ,α) (α [c ,d ]) , инте-
грал I (α) = +∞∫ f (x ,α)d x |
сходится, а интеграл |
+∞∫ fα′(x ,α)d x |
сходится равно- |
a |
|
a |
|
мерно относительно α из [c ,d ] , то имеет место соотношение |
|||
|
I ′(α) = +∞∫ fα′(x ,α)dx |
(2) |
|
|
a |
|
|
Аналогичная теорема имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций.
Приведённые выше формулы (1) и (2) называют формулами Лейбница. Если справедливы формулы Лейбница, т.е. возможна перестановка операции дифференцирования по параметру α и интегрирования по переменной x (для определённых или несобственных интегралов, то говорят, что функ-
ции I (α) = ∫b f (x ,α)dx |
и I (α) = +∞∫ f (x ,α)d x можно дифференцировать по |
a |
a |
параметру под знаком интеграла. Интегралы, зависящие от параметра, находят многочисленные приложения. В частности, они используют при вычислении так называемых неберущихся интегралов.
Пример 3. Вычислить интеграл I = ∫1 |
x −1 |
dx с помощью интеграла, |
||
|
||||
|
|
0 |
lnx |
|
1 x 2 − |
1 |
|
|
|
зависящего от параметра I (α) = ∫ |
lnx |
d x . |
|
|
0 |
|
|
|
Решение. Заметим, что интеграл I (α) представляет собою функцию переменной α , выраженную собственным интегралом. Подынтегральная
функция |
x α −1 |
и её частная производная по α |
|
||||||||
lnx |
|
||||||||||
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
x |
|
|
′ = |
(x α )′α = |
x α lnx =x α |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
lnx |
α |
|
lnx |
|
lnx |
|
непрерывны при всех x [0,1] и любом значении λ ≥ 0 . Следовательно, функцию I (α) можно дифференцировать под знаком интеграла. Получим
I α′(α) = ∫1 x αdx = |
x α+1 |
|
|
1 |
= |
1 |
|
, т.е. I α′(α) = |
1 |
|
. |
|
|||||||||||
1 +α |
|
|
λ +1 |
λ +1 |
|||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя получим:
I (α) = ∫αdα+1 = ln(α +1)+c .
40
Для определения значения постоянной |
c положим в этом тождестве |
||||||||||
α = 0 ; т.к. I (0) = 0 , то получаем c = 0 . Итак, получим |
|
|
|||||||||
|
|
I (α) = ln(1 +α) |
|
|
|
|
|||||
При α = |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
x −1 |
3 |
|
||
|
, в частности, имеем I |
|
= |
|
|
|
|
dx = ln |
|
. |
|
2 |
∫0 |
lnx |
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
Пример 4 (Интеграл Дирихле).
Вычислить +∞∫e −αx −e −βx |
sinm xd x (α > 0, β > 0) . |
|
0 |
x |
|
Решение. Будем считать, что данным интегралом является функция параметра m :
I (m ) = +∞∫ e −αx −e −βx |
sinm xd x |
|
0 |
x |
|
и проверим для него выполнение условий применимости формулы Лейбница.
|
|
1. Подынтегральная функция |
f (x ,m ) = |
e −αx −e −βx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
sinm x и её частная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
производная |
fm′ (x ,m ) = (e −αx −e −βx )cosm x непрерывны для всех |
x ≥ 0 |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
любом m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2. Данный интеграл сходится (абсолютно). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Действительно, принимая во внимание, что |
|
sinm x |
|
< |
|
m x |
|
|
|
, получим |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+∞∫ |
|
e −αx −e −βx |
sinm x |
|
dx = +∞∫ |
|
e −αx −e −βx |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
sinm x |
|
dx < |
|
|
m |
|
+∞∫ |
|
e −αx |
−e −βx |
|
dx < |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
e −αx −e −βx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
m |
|
dx = |
m |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3. Интеграл от функции fm′ (x,m ) мажорируется сходящимся интегралом: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+∞∫ |
|
e −αx −e −βx |
|
|
|
cosm x |
|
dx < +∞∫ |
|
e −αx |
−e −βx |
|
dx < ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Таким образом имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
+∞ |
|
−αx |
−e |
−βx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
β |
|
|
|||||||||||||||||||||||
Im′ (m ) = ∫ |
e |
|
|
|
|
|
|
sinmx |
|
|
′dx |
= ∫(e −αx −e −βx )cosmxdx = |
|
|
|
− |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
α |
2 |
2 |
β |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+m |
|
|
+m |
|
|
|||||||||
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I (m ) = arctg m −arctg m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
Учитывая, что I (0) = 0 и полагая m = 0 , находим c = 0 , следовательно |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+∞∫ e −αx −e −βx |
|
sinm xdx = arctg m |
|
|
−arctg m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41
В частности
+∞∫ e −αx sinm x dx |
= arctg m . |
|
0 |
x |
α |
Положим здесь α = 0, m =1, тогда получим часто встречающийся интеграл Дирихле
+∞∫ |
sinx dx = |
π . |
0 |
x |
2 |
§8 Гамма функция (интеграл Эйлера 2го рода)
1. Определение гамма-функции.
Не элементарная трансцендентная функция, определяемая для положительных x равенством
Γ(x ) = +∞∫e −t t x −1d t |
(1) |
0 |
|
называется гамма-функцией или интегралом Эйлера 2го рода. Эта функция относится к числу так называемых специальных функций, с помощью которых выражаются решения многих задач математической физики, статики и пр.. Γ(x ) имеет две особые точки t = 0 и t = +∞ . Представим интеграл (1)
в виде суммы двух интегралов
Γ(x ) = ∫1 t x −1e −tdt + +∞∫t x −1e −td t
0 1
Оба интеграла сходятся равномерно по параметру x на любом конечном
отрезке |
[a ,b] ]0,+∞[ . Действительно, |
пусть |
0 <a <1 |
и b >1. Тогда |
|
0 ≤t x −1e −t |
≤t α−1 |
при 0 ≤t ≤1 и ∫1 e α−1d t =α−1 , |
и, следовательно интеграл |
||
|
|
0 |
|
|
|
∫1 t x −1e −tdt |
сходится равномерно на [a ,b]. |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Аналогично |
0 ≤t x −1e −t ≤t b −1e −t при |
t ≥1, |
+∞∫t b −1e −tdt |
сходится, а |
|
|
|
|
|
1 |
|
+∞∫t x −1e −tdt сходится равномерно на [a ,b]. |
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
Кроме того оба интеграла непрерывны по параметру x |
на произвольном |
отрезке [a ,b] ]0,+∞[ , а поэтому функция Γ(x ) непрерывна x > 0 .
42
Значит при x > 0 функция Γ(x ) непрерывно дифференцируема, причём
Γ′(x ) = ∫1 t x −1e −t lntd t + +∞∫t x −1e −t lntd t = +∞∫t x −1e −t lntd t
0 1 0
Применяя метод математической индукции можно доказать, что Γ(x )
имеет производную nго проядка при x > 0 , причём
Γ(n ) (x ) = +∞∫t x −1e −t (lnt )n d t ,
0
в частности
Γ′′(x ) = +∞∫t x −1e −t (lnt )2dt .
0
Замечание. Сделаем подстановку t =u 2 в интеграле (1), тогда получим
Γ(x ) = +∞∫e −t t x −1dt = 2+∞∫e −u 2u 2x −1d u .
0 |
0 |
Заменяя здесь переменную интегрирования u на t , получим выражение для гамма-функции в виде
Γ(x ) = 2+∞∫e −t 2t 2x −1dt .
0
2.Свойства гамма-функции
1.Γ(x +1) =x Γ(x )
Попробуем взять по частям интеграл, представляющий Γ(x +1)
Γ(x +1) = +∞∫e −t t xd t = −e −t t x |
|
0+∞ +x +∞∫e −t t x −1dt =x +∞∫e −t t x −1dt =x Γ(x ) , |
||||
|
||||||
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
u =t x |
|
du =x t x −1dt |
|
||
|
dv =e −tdt v = −e −t |
|
т.е. Γ(x +1) =x Γ(x ) .
Получили формулу приведения для гамма-функции.
2. Γ(n +1) =n !
Вычислим значения Γ(1), Γ(2), Γ(3),...
Имеем
+∞ |
|
+∞ |
|
Γ(1) = ∫e −td t = −e −t |
|
=1, т.е. Γ(1) =1. |
|
|
|||
|
0 |
||
0 |
|
|
|
Γ(2) = Γ(1 +1) =1Γ(1), Γ(3) = Γ(2 +1) = 2Γ(2),
Γ(4) = 3Γ(3) = 3 2 Γ(2) = 3 2 1 Γ(1) = 3! , т.е.
Γ(n +1) =n !
43
В частности Γ(1) = Γ(0 +1) = 0! => Γ(1) = 0!, следовательно 0! =1. Т.к. функция Γ(x ) определена для любого положительного x , то с по-
мощью гамма-функции Γ(x ) можно распространить понятие факториала на любое положительное число r функций (r −1)! = Γ(r ) .
4. Если x =n + p , где 0 < p <1, то будет
Γ(n + p ) = (n + p −1) (n + p − 2) p Γ(p ) ,
т.е. вычисление гамма-функции от любого аргумента можно свести к вычислению её от аргумента можно свести к вычислению её от аргумента, заключённого между 0 и 1.
3. Исследование гамма-функции.
Ранее мы установили, что гамма-функция Γ(x ) непрерывна и дифференцируема сколько угодно раз для x > 0 , кроме того Γ(1) = Γ(2) , следователь-
но в силу теоремы Ролля
c ]1, 2[ такая, что Γ′(c ) = 0 .
можно показать, что c =1.4616 и в этой точке гамма-функция имеет минимум, причём Γmin = 0.8856 . Учитывая, что Γ(x ) = Γ(xx+1) , нетрудно заме-
тить, что lim Γ(x ) = +∞.
x →+0
Принимая во внимание проведённое исследование, нетрудно нарисовать график гамма-функции для x > 0 (рис 1).
y
3
2
0,88561
1 1, 46 2 |
3 |
4 x |
рис 1 Пользуясь формулами приведения, гамма-функцию доопределяют и для
отрицательных x . Окончательно график Γ(x ) имеет вид (рис 1).
44
Γ(x )
x
0
45
Теорема 2. (Дифференцирование несобственного интеграла по параметру)
Если функция f (x ,α) непрерывна по переменной x для x ≥a и имеет непрерывную по обеим переменным производную fα′(x ,α) (α [c ,d ]) , инте-
грал I (α) = +∞∫ f (x ,α)dx |
сходится, а интеграл |
+∞∫ fα′(x ,α)dx |
сходится рав- |
a |
|
a |
|
номерно относительно α из [c ,d ] , то имеет место соотношение |
|||
|
I ′(α) = +∞∫ fα′(x ,α)dx |
(2) |
|
|
a |
|
|
Аналогичная теорема имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций.
Приведённые выше формулы (1) и (2) называют формулами Лейбница. Если справедливы формулы Лейбница, т.е. возможна перестановка операции дифференцирования по параметру α и интегрирования по переменной x (для определённых или несобственных интегралов, то говорят, что функ-
ции I (α) = ∫b f (x ,α)dx |
и I (α) = +∞∫ f (x ,α)dx можно дифференцировать по |
a |
a |
параметру под знаком интеграла. Интегралы, зависящие от параметра, находят многочисленные приложения. В частности, они используют при вычислении так называемых неберущихся интегралов.
|
|
1 |
x −1 |
|
||
Пример 3. Вычислить интеграл I = ∫ |
|
|
dx |
с помощью интеграла, |
||
lnx |
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
1 x 2 −1 |
|
|
|
|
||
зависящего от параметра I (α) = ∫ |
lnx |
dx . |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
Решение. Заметим, что интеграл I (α) представляет собою функцию переменной α , выраженную собственным интегралом. Подынтегральная
функция |
x α −1 |
и её частная производная по α |
|
||||||||
lnx |
|
||||||||||
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
x |
|
|
′ = |
(x α )′α = |
x α lnx =x α |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
lnx |
α |
|
lnx |
|
lnx |
|
непрерывны при всех x [0,1] и любом значении λ ≥ 0 . Следовательно, функцию I (α) можно дифференцировать под знаком интеграла. Получим
I α′(α) = ∫1 x αdx = |
x α+1 |
|
|
1 |
= |
1 |
|
, т.е. I α′(α) = |
1 |
|
. |
|
|||||||||||
1 +α |
|
|
λ +1 |
λ +1 |
|||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя получим:
I (α) = ∫αdα+1 = ln(α +1)+c .
42
Для определения значения постоянной |
c положим в этом тождестве |
||||||||||
α = 0 ; т.к. I (0) = 0 , то получаем c = 0 . Итак, получим |
|
|
|||||||||
|
|
I (α) = ln(1 +α) |
|
|
|
|
|||||
При α = |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
x −1 |
3 |
|
||
|
, в частности, имеем I |
|
= |
|
|
|
|
dx = ln |
|
. |
|
2 |
∫0 |
lnx |
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
Пример 4 (Интеграл Дирихле).
Вычислить +∞∫e −αx −e −βx |
sinm xdx (α > 0, β > 0) . |
|
0 |
x |
|
Решение. Будем считать, что данный интеграл является функцией параметра m :
I (m ) = +∞∫ e −αx −e −βx |
sinm xdx |
|
0 |
x |
|
и проверим для него выполнение условий применимости формулы Лейбница.
|
|
1. Подынтегральная функция |
f (x ,m ) = |
e −αx |
−e −βx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
sinm x и её частная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производная |
fm′ (x ,m ) = (e −αx −e −βx )cosm x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ≥ 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
непрерывны для всех |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
любом m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2. Данный интеграл сходится (абсолютно). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Действительно, принимая во внимание, что |
|
sinm x |
|
< |
|
m x |
|
|
|
, получим |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
+∞∫ |
|
e −αx −e −βx |
sinm x |
|
dx = +∞∫ |
|
e −αx −e −βx |
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
sinm x |
|
dx < |
|
|
m |
|
+∞∫ |
|
e −αx |
−e −βx |
|
dx < |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
m |
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3. Интеграл от функции fm′ (x,m ) мажорируется сходящимся интегралом: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+∞∫ |
|
e −αx −e −βx |
|
|
|
cosm x |
|
dx < +∞∫ |
|
e −αx |
−e −βx |
|
dx < ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
+∞ |
|
−αx |
−e |
−βx |
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
β |
|
|
||||||||||
Im′ (m ) = ∫ |
e |
|
|
|
|
|
|
sinmx |
|
′dx |
= ∫ |
(e −αx −e −βx )cosmxdx = |
|
|
|
− |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
α |
2 |
2 |
β |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+m |
|
|
+m |
|
|
||||||||||
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
I (m ) = arctg m |
−arctg m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Учитывая, что I (0) = 0 и полагая m = 0 , находим c = 0 , следовательно |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
+∞∫ e −αx −e −βx sinm xdx = arctg m |
|
|
−arctg m . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43