Математический анализ II Учебное Пособие

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Γ(x +1) = +∞∫e −t t xd t = −e −t t x

0+∞ +x +∞∫e −t t x −1dt =x +∞∫e −t t x −1dt =x Γ(x ) ,

Γ(x +1) = +∞∫e −t t xd t = −e −t t x

0+∞ +x +∞∫e −t t x −1dt =x +∞∫e −t t x −1dt =x Γ(x ) ,

du =x t x −1dt

dv =e −tdt v = −e −t

.pdf

Скачиваний:

102

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

7 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

I (α) = ∫b f (x ,α)dx .

cosαx

1 −cosα

;

αx

dx =

e αx

e α −1

;

Например ∫sinαxdx = −

∫e

e 5α −1

αx

∫e

dx =

Заменим, что интегралы, зависящие от параметра, находят многочисленные приложения. Представляет интерес вопрос о существовании и нахождении производной от такого интеграла по параметру α . Приведём без доказательства теорему.

Теорема. Если функция f (x ,α) непрерывна в замкнутом прямоугольнике a ≤x ≤b, c ≤α ≤d и имеет в нём непрерывную частную производную по параметру α , то на промежутке [c ,d ] имеем:

I α′ = ∫b fα′(x ,α)dx	(1)
a

Заметим, что эта операция называется дифференцированием под знаком интеграла.

Отметим, что при b = +∞, т.е. для несобственных интегралов

+∞∫ f (x ,α)dx для дифференцирования под знаком интеграла не достаточно

сходимости интеграла и существования непрерывной частной производной fα′(x ,α) . Дополнительно требуется так называемая равномерная сходи-

мость несобственного интеграла. Рассмотрим это понятие подробнее.

Определение 1. Несобственный интеграл по неограниченному промежутку I (α) = +∞∫ f (x ,α)dx , (c ≤α ≤d ) называется равномерно сходя-

щимся по параметру α на [c ,d ] , если для любого ε > 0 найдётся такое, не зависящее от α число A 0 ≥a , что для любого A >A 0 неравенство

+∞∫ f (x ,α)dx −A∫f (x ,α)dx <ε
a	a

будет выполняться для всех значений α из промежутка [c ,d ] .

Определение 2. Несобственный интеграл I (α) = ∫b f (x ,α)dx от неог-

раниченной функции называется равномерно сходящимся по параметру

α на промежутке [c ,d ] , если для любого ε найдётся такое, не зависящее от α число δ > 0 , что для любого η ≤δ неравенство

b	b −η
∫f (x ,α)dx −	∫ f (x ,α)dx	<ε
a	a

выполняется для всех значений α из промежутка [c ,d ] .

Существует простой признак равномерной сходимости по параметру несобственных интегралов, который мы приведём без доказательства.

Теорема 1. (Достаточный признак равномерной сходимости)

Если функция f (x ,α) непрерывна по переменной x для x ≥a			и суще-
ствует такая функция Ψ(x ) , что для α [c ,d ]	f (x ,α)	≤ Ψ(x )	и инте-

грал +∞∫ Ψ(x )dx сходится, то несобственный интеграл +∞∫ f (x ,α)dx			сходит-
a	a

ся равномерно относительно α , где α [c ,d ] .

Аналогично этот признак формулируется для несобственных интегралов от неограниченных функций.

Пример 1. Доказать, что интеграл +∞∫ cosαx dx сходится равномерно

0 x 2 +k 2

относительно параметра α .

Решение. Очевидно, что для любого параметра α справедлива такая оценка

cosαx	≤	1	,

x 2 +k 2		x 2 +k 2

+∞	dx
а несобственный интеграл ∫0		сходится.
	x 2 +k 2

Следовательно, данный интеграл сходится равномерно относительно любого параметра α , для которого определена функция cosαx .

Теорема 2. (Дифференцирование несобственного интеграла по параметру)

Если функция f (x ,α) непрерывна по переменной x для x ≥a и имеет непрерывную по обеим переменным производную fα′(x ,α) (α [c ,d ]) , инте-

грал I (α) = +∞∫ f (x ,α)d x	сходится, а интеграл	+∞∫ fα′(x ,α)d x	сходится равно-
a		a
мерно относительно α из [c ,d ] , то имеет место соотношение
	I ′(α) = +∞∫ fα′(x ,α)dx		(2)
	a

Аналогичная теорема имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций.

Приведённые выше формулы (1) и (2) называют формулами Лейбница. Если справедливы формулы Лейбница, т.е. возможна перестановка операции дифференцирования по параметру α и интегрирования по переменной x (для определённых или несобственных интегралов, то говорят, что функ-

ции I (α) = ∫b f (x ,α)dx	и I (α) = +∞∫ f (x ,α)d x можно дифференцировать по
a	a

параметру под знаком интеграла. Интегралы, зависящие от параметра, находят многочисленные приложения. В частности, они используют при вычислении так называемых неберущихся интегралов.

Пример 3. Вычислить интеграл I = ∫1			x −1	dx с помощью интеграла,
Пример 3. Вычислить интеграл I = ∫1				dx с помощью интеграла,
		0	lnx
1 x 2 −		1
зависящего от параметра I (α) = ∫	lnx	d x .
0	lnx

Решение. Заметим, что интеграл I (α) представляет собою функцию переменной α , выраженную собственным интегралом. Подынтегральная

функция	x α −1	и её частная производная по α
	lnx
				α
					−1			1		1
		x					′ =		(x α )′α =		x α lnx =x α

			lnx			α		lnx		lnx

непрерывны при всех x [0,1] и любом значении λ ≥ 0 . Следовательно, функцию I (α) можно дифференцировать под знаком интеграла. Получим

I α′(α) = ∫1 x αdx =	x α+1	1	=	1	, т.е. I α′(α) =	1	.

	1 +α			λ +1		λ +1
0		0

Интегрируя получим:

I (α) = ∫αdα+1 = ln(α +1)+c .

Для определения значения постоянной						c положим в этом тождестве
α = 0 ; т.к. I (0) = 0 , то получаем c = 0 . Итак, получим
		I (α) = ln(1 +α)
При α =	1		1		1	x −1		3
		, в частности, имеем I		=			dx = ln		.
	2				∫0	lnx
			2					2

Пример 4 (Интеграл Дирихле).

Вычислить +∞∫e −αx −e −βx		sinm xd x (α > 0, β > 0) .
0	x

Решение. Будем считать, что данным интегралом является функция параметра m :

I (m ) = +∞∫ e −αx −e −βx		sinm xd x
0	x

и проверим для него выполнение условий применимости формулы Лейбница.

1. Подынтегральная функция

f (x ,m ) =

e −αx −e −βx

sinm x и её частная

производная

fm′ (x ,m ) = (e −αx −e −βx )cosm x непрерывны для всех

x ≥ 0

любом m .

2. Данный интеграл сходится (абсолютно).

Действительно, принимая во внимание, что

sinm x

m x

, получим

+∞∫

e −αx −e −βx

sinm x

dx = +∞∫

e −αx −e −βx

sinm x

dx <

+∞∫

e −αx

−e −βx

dx <

m x

+∞

∫

e −αx −e −βx

dx =

−

3. Интеграл от функции fm′ (x,m ) мажорируется сходящимся интегралом:

+∞∫

e −αx −e −βx

cosm x

dx < +∞∫

e −αx

−e −βx

dx < ∞

Таким образом имеем:

+∞

−αx

−e

−βx

+∞

Im′ (m ) = ∫

sinmx

′dx

= ∫(e −αx −e −βx )cosmxdx =

−

Откуда

I (m ) = arctg m −arctg m

+c .

Учитывая, что I (0) = 0 и полагая m = 0 , находим c = 0 , следовательно

+∞∫ e −αx −e −βx

sinm xdx = arctg m

−arctg m .

В частности

+∞∫ e −αx sinm x dx		= arctg m .
0	x	α

Положим здесь α = 0, m =1, тогда получим часто встречающийся интеграл Дирихле

+∞∫	sinx dx =	π .
0	x	2

§8 Гамма функция (интеграл Эйлера 2го рода)

1. Определение гамма-функции.

Не элементарная трансцендентная функция, определяемая для положительных x равенством

Γ(x ) = +∞∫e −t t x −1d t	(1)
0

называется гамма-функцией или интегралом Эйлера 2го рода. Эта функция относится к числу так называемых специальных функций, с помощью которых выражаются решения многих задач математической физики, статики и пр.. Γ(x ) имеет две особые точки t = 0 и t = +∞ . Представим интеграл (1)

в виде суммы двух интегралов

Γ(x ) = ∫1 t x −1e −tdt + +∞∫t x −1e −td t

0 1

Оба интеграла сходятся равномерно по параметру x на любом конечном

отрезке	[a ,b] ]0,+∞[ . Действительно,		пусть	0 <a <1	и b >1. Тогда
0 ≤t x −1e −t	≤t α−1	при 0 ≤t ≤1 и ∫1 e α−1d t =α−1 ,		и, следовательно интеграл
		0
∫1 t x −1e −tdt	сходится равномерно на [a ,b].
0
Аналогично		0 ≤t x −1e −t ≤t b −1e −t при	t ≥1,	+∞∫t b −1e −tdt	сходится, а
				1
+∞∫t x −1e −tdt сходится равномерно на [a ,b].
1
Кроме того оба интеграла непрерывны по параметру x					на произвольном

отрезке [a ,b] ]0,+∞[ , а поэтому функция Γ(x ) непрерывна x > 0 .

Значит при x > 0 функция Γ(x ) непрерывно дифференцируема, причём

Γ′(x ) = ∫1 t x −1e −t lntd t + +∞∫t x −1e −t lntd t = +∞∫t x −1e −t lntd t

0 1 0

Применяя метод математической индукции можно доказать, что Γ(x )

имеет производную nго проядка при x > 0 , причём

Γ(n ) (x ) = +∞∫t x −1e −t (lnt )n d t ,

в частности

Γ′′(x ) = +∞∫t x −1e −t (lnt )2dt .

Замечание. Сделаем подстановку t =u 2 в интеграле (1), тогда получим

Γ(x ) = +∞∫e −t t x −1dt = 2+∞∫e −u 2u 2x −1d u .

Заменяя здесь переменную интегрирования u на t , получим выражение для гамма-функции в виде

Γ(x ) = 2+∞∫e −t 2t 2x −1dt .

2.Свойства гамма-функции

1.Γ(x +1) =x Γ(x )

Попробуем взять по частям интеграл, представляющий Γ(x +1)

т.е. Γ(x +1) =x Γ(x ) .

Получили формулу приведения для гамма-функции.

2. Γ(n +1) =n !

Вычислим значения Γ(1), Γ(2), Γ(3),...

Имеем

+∞	+∞
Γ(1) = ∫e −td t = −e −t		=1, т.е. Γ(1) =1.

	0
0

Γ(2) = Γ(1 +1) =1Γ(1), Γ(3) = Γ(2 +1) = 2Γ(2),

Γ(4) = 3Γ(3) = 3 2 Γ(2) = 3 2 1 Γ(1) = 3! , т.е.

Γ(n +1) =n !

В частности Γ(1) = Γ(0 +1) = 0! => Γ(1) = 0!, следовательно 0! =1. Т.к. функция Γ(x ) определена для любого положительного x , то с по-

мощью гамма-функции Γ(x ) можно распространить понятие факториала на любое положительное число r функций (r −1)! = Γ(r ) .

4. Если x =n + p , где 0 < p <1, то будет

Γ(n + p ) = (n + p −1) (n + p − 2) p Γ(p ) ,

т.е. вычисление гамма-функции от любого аргумента можно свести к вычислению её от аргумента можно свести к вычислению её от аргумента, заключённого между 0 и 1.

3. Исследование гамма-функции.

Ранее мы установили, что гамма-функция Γ(x ) непрерывна и дифференцируема сколько угодно раз для x > 0 , кроме того Γ(1) = Γ(2) , следователь-

но в силу теоремы Ролля

c ]1, 2[ такая, что Γ′(c ) = 0 .

можно показать, что c =1.4616 и в этой точке гамма-функция имеет минимум, причём Γmin = 0.8856 . Учитывая, что Γ(x ) = Γ(xx+1) , нетрудно заме-

тить, что lim Γ(x ) = +∞.

x →+0

Принимая во внимание проведённое исследование, нетрудно нарисовать график гамма-функции для x > 0 (рис 1).

0,88561

1 1, 46 2

4 x

рис 1 Пользуясь формулами приведения, гамма-функцию доопределяют и для

отрицательных x . Окончательно график Γ(x ) имеет вид (рис 1).

Γ(x )

Теорема 2. (Дифференцирование несобственного интеграла по параметру)

грал I (α) = +∞∫ f (x ,α)dx	сходится, а интеграл	+∞∫ fα′(x ,α)dx	сходится рав-
a		a
номерно относительно α из [c ,d ] , то имеет место соотношение
	I ′(α) = +∞∫ fα′(x ,α)dx		(2)
	a

Аналогичная теорема имеет место и для несобственных интегралов от разрывных функций.

ции I (α) = ∫b f (x ,α)dx	и I (α) = +∞∫ f (x ,α)dx можно дифференцировать по
a	a

		1	x −1
Пример 3. Вычислить интеграл I = ∫				dx	с помощью интеграла,
Пример 3. Вычислить интеграл I = ∫			lnx	dx	с помощью интеграла,
		0	lnx
1 x 2 −1
зависящего от параметра I (α) = ∫	lnx	dx .
0	lnx

функция	x α −1	и её частная производная по α
	lnx
				α
					−1			1		1
		x					′ =		(x α )′α =		x α lnx =x α

			lnx			α		lnx		lnx

I α′(α) = ∫1 x αdx =	x α+1	1	=	1	, т.е. I α′(α) =	1	.

	1 +α			λ +1		λ +1
0		0

Интегрируя получим:

I (α) = ∫αdα+1 = ln(α +1)+c .

Для определения значения постоянной						c положим в этом тождестве
α = 0 ; т.к. I (0) = 0 , то получаем c = 0 . Итак, получим
		I (α) = ln(1 +α)
При α =	1		1		1	x −1		3
		, в частности, имеем I		=			dx = ln		.
	2				∫0	lnx
			2					2

Пример 4 (Интеграл Дирихле).

Вычислить +∞∫e −αx −e −βx		sinm xdx (α > 0, β > 0) .
0	x

Решение. Будем считать, что данный интеграл является функцией параметра m :

I (m ) = +∞∫ e −αx −e −βx		sinm xdx
0	x

и проверим для него выполнение условий применимости формулы Лейбница.

1. Подынтегральная функция

f (x ,m ) =

e −αx

−e −βx

sinm x и её частная

производная

fm′ (x ,m ) = (e −αx −e −βx )cosm x

x ≥ 0

непрерывны для всех

любом m .

2. Данный интеграл сходится (абсолютно).

Действительно, принимая во внимание, что

sinm x

m x

, получим

+∞∫

e −αx −e −βx

sinm x

dx = +∞∫

e −αx −e −βx

sinm x

dx <

+∞∫

e −αx

−e −βx

dx <

m x

−

3. Интеграл от функции fm′ (x,m ) мажорируется сходящимся интегралом:

+∞∫

e −αx −e −βx

cosm x

dx < +∞∫

e −αx

−e −βx

dx < ∞

Таким образом имеем:

+∞

−αx

−e

−βx

+∞

Im′ (m ) = ∫

sinmx

′dx

= ∫

(e −αx −e −βx )cosmxdx =

−

Откуда

I (m ) = arctg m

−arctg m

+c .

Учитывая, что I (0) = 0 и полагая m = 0 , находим c = 0 , следовательно

+∞∫ e −αx −e −βx sinm xdx = arctg m

−arctg m .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.04.2019515 Кб28математика ч.2.docx
#
01.05.20251 Мб0математика экзамен.docx
#
20.03.20162 Мб29Математика, Типовик 1 семестр 2 модуль.doc
#
14.07.2019247 Кб4Математика. Экзамен 2 курс 1 семестр.rtf
#
14.04.20152 Мб124Математический анализ II Курс Лекций.pdf
#
14.04.20157 Мб102Математический анализ II Учебное Пособие.pdf
#
21.03.2016134 Кб41Математический язык.docx
#
01.07.2025579 Кб0Математическое_моделирование_лекции_1-3.doc
#
01.04.2025244 Кб1Материалы к контрольной 1.Древнегреческая филос...doc
#
21.03.2016596 Кб11Материалы тест №2.pdf
#
20.03.201619 Кб35матрица переходных вероятностей.docx