Математический анализ II Учебное Пособие

Вычисляя скалярные произведения ортов ρ0 , φ0 и z0 нетрудно убедиться, что ρ0 φ0 =ρ0 z0 = φ0 z0 = 0 , т.е. можно сделать вывод, что цилиндри-

ческая система координат ортогональна.

Если положить z = 0 , то мы придём к известным уже полярным координатам ρ, ϕ :

x= ρcosϕ

y= ρsinϕ

Нетрудно убедиться, что для полярных и цилиндрических координат выражения для Якобиана преобразования совпадают, т.е.

J (ρ,ϕ,z ) =J (ρ,ϕ) = ρ .

Замечание (о геометрическом смысле якобиана)

Рассмотрим ортогональную криволинейную систему координат Oξη, и пусть декартовы координаты x и y связаны с криволинейными ξ и η со-

отношениями:

x =x (ξ,η), y =y (ξ,η) ,

причём предполагается, что Якобиан преобразования

J (ξ,η) =xξ′ yη′ −xη′ y ξ′ ≠ 0 .

рис. 16

Если функции x (ξ,η) и y (ξ,η) непрерывны и имеют непрерывные част-

ные производные первого порядка, а также непрерывные смешанные производные, то в этом случае можно доказать, что площади SD и S связаны

соотношением

SD = J (ξ ,η) S ,

где (ξ,η) -некоторая "средняя" точка области . Из этого соотношения вытекает очевидный геометрический смысл якобиана преобразования. А именно: мы можем сказать, что модуль якобиана преобразования J (ξ,η)

при переходе к криволинейным координатам даёт нам коэффициент искажения площадей отображаемых областей.

74

Пример. Вычислить

I = ∫∫(x 2 +xy )dS , где D есть круг x 2 +y 2 ≤R 2 .

D

Решение. Перейдём к полярным координатам x =r cosϕ, y =r sinϕ . В

Заметим, что для того, чтобы расставить пределы интегрирования, достаточно выяснить, как проходят (возрастают) через область D координатные линии r и ϕ .

Предположим далее, что нужно вычислить тройной интеграл I = ∫∫∫f (x ,y ,z )dxdy dz и пусть осуществляется переход к криволинейным

T

координатам ξ, η, ζ по формулам:

x =x (ξ,η,ζ ), y =y (ξ,η,ζ ), z =z (ξ,η,ζ ) .

Предположим, что относительно функций x (ξ,η,ζ ), y (ξ,η,ζ ) , z (ξ,η,ζ ) , ξ(x ,y ,z ),η(x ,y ,z ),ζ (x ,y ,z ) и их частных производных имеет место сказанное замечании п. 6. Допустим также, что в области T функция f (x ,y ,z )

непрерывна. Тогда аналогично вышесказанному относительно двойного интеграла имеет место соотношение

∫∫∫f (x ,y ,z )dxdydz = ∫∫∫f x (ξ,η,ζ ),y (ξ,η,ζ ),z (ξ,η,ζ ) J (ξ,η,ζ )dξdηdζ ,

T T

где J (ξ,η,ζ ) - якобиан преобразования.

Для расстановки пределов интегрирования по переменным ξ,η,ζ следует выяснить, как проходят координатные линии ξ, η, ζ через область T .

Рассмотрим теперь конкретные примеры.

76

Пример. Найти объём тела, лежащего в первом октанте и ограниченного снизу конической поверхностью x 2 +y 2 =z 2 , сверху шаровой поверхностью x 2 +y 2 +z 2 =R 2 , а с боков координатными плоскостями x = 0 и y = 0 (рис. 18).

Решение. Искомый объём v = ∫∫∫dxdy dz . Перейдём к сферическим ко-

(r sinθ cosϕ)2 +(r sinθ sinϕ)2 = (r cosθ )2 ,

78

2.Применения криволинейных интегралов первого рода

1.Вычисление длины дуги кривой.

Из определения криволинейного интеграла первого рода следует, что длина дуги кривой A B , по которой ведётся интегрирование, равна

SA B = ∫ dS .

AB

2.Вычисление массы материальной кривой.

Найдём массу кривой A B , заданной уравнением y = f (x ) , где f (x ) - непрерывная функция на промежутке [a ,b], если плотность её в каждой точке кривой определена непрерывной функцией ρ = ρ(x ,y ) на том же

промежутке.

Разобьём кривую A B на n частей произвольным образом. Очевидно, что её масса

n −1

M ≈ ∑ρ(ξk ,ηk ) Sk ,

k =0

где (ξk ,ηk ) - произвольная точка, принадлежащая каждому отрезку кривой A B , а Sk - длина дуги этого участка. В правой части выражения для M

стоит интегральная сумма, а потому, измельчая дробление и устремляя его ранг к нулю, мы получим в пределе

M = ∫ ρ(x ,y )dS .

A B

3. Вычисление работы

Найдём работу силы по перемещению материальной точки вдоль кривой A B (рис. 2). Будем рассматривать кривую A B как направленную, тогда и на касательной к ней можно задать направление, совпадающее с

82