Математический анализ II Учебное Пособие

Поясним геометрический смысл теоремы о среднем (рис 3). Если f (x ) > 0 на [a ,b], то, принимая во внимание геометрический смысл опреде-

лённого интеграла, в силу теоремы о среднем мы можем утверждать, что площадь криволинейной трапеции равновелика площади прямоугольника с тем же основанием и высотой, равной f (ξ) .

Приведём без доказательства ещё несколько интересных свойств определённого интеграла.

Свойство 6.

Свойство 9. Изменение значения f (x ) в одной или в любом конечном

числе точек из промежутка интегрирования не влияет на интегрируемость функции и не меняет значения определённого интеграла.

§2. Вычисление определённого интеграла

1. Теорема об интеграле с переменным верхним пределом (Теорема Барроу)

Теорема. Если функция f (x ) непрерывна на промежутке [a ,b], то ин-

теграл с переменным верхним пределом ∫x f (t )dt имеет производную, рав-

a

ную значению подынтегральной функции при верхнем пределе, т.е.

10

a

Полагая в этом равенстве x =a , получим:

F (a ) +c = a∫f (x )dx = 0 =>c = −F (a ) . Положим в равенстве (1) x =a , то-

a

гда получим ∫b f (x )dx =F (b) −F (a ) .

a

Итак, для того, чтобы вычислить определённый интеграл, достаточно вычислить разность значений первообразной на верхнем и на нижнем зна-

Для вычисления определённого интеграла применим формулу НьютонаЛейбница. Получим

Рассмотрим теперь основные способы вычисления определённого интеграла: замену переменных (подстановку) и интегрирование по частям.

3. Подстановка в определённом интеграле.

Теорема. Если функция f (x ) непрерывна на промежутке [a ,b], и в оп-

ределённом интеграле произвести замену переменной интегрирования при помощи подстановки x =ϕ(t ) , причём функция ϕ(t ) и её производная ϕ′(t )

12

∫b u (x )dv (x ) = (u (x ) v (x ))ba − ∫b v (x )du (x ) .

a a

Заметим, что в этом выражении интегрирование ведётся по переменной x .

Пример 3. Вычислить I = ∫b x lnxdx

Принимая во внимание геометрический смысл определённого интеграла, заметим, что если область D ограничена сверху кривой y = Φ(x ) , снизу

кривой y =ϕ(x ) , причём ϕ(x ) ≤ Φ(x ) (ϕ(x ) > 0,Φ(x ) > 0) x [a ,b] (рис 1), то площадь области D можно вычислить по формуле

S = ∫b Φ(x )dx − ∫b ϕ(x )dx , т.е. S = ∫b [Φ(x ) −ϕ(x )]dx

a a a

Если область ограничена прямыми y = 0 (сверху), x =a , x =b а также кривой y =ϕ(x ) (снизу), причём ϕ(x ) < 0 (рис 2), то площадь области D

вычисляется по формуле S = −∫b ϕ(x )dx .

a

14

x=a cost

, t [0, 2π]

y =b sint

Очевидно, что когда параметр t пробегает промежуток от 0 до 2π , текущая точка M (x ,y ) обегает контур эллипса один раз от точки

A1 →B1 →A 2 →B 2 →A1 . Переход к параметрическим уравнениям эллипса

существенно упрощает вычисление определённого интеграла, дающего нам выражение для площади эллипса. В виду симметричности эллипса вычислим площадь его четверти, которая лежит в первом квадрате.

Действительно 1 Sell = a∫y (x )dx , где y (x ) - уравнение верхней половины

4 0

эллипса. В силу параметрических уравнений эллипса найдём пределы ин-

тегрирования: x =a cost , положим здесь x1 = 0 , получим t1 = π2 , а положив

x 2 =a , будем иметь верхний предел интегрирования t 2 = 0 . Учитывая, что в силу тех же параметрических уравнений y =b sint , dx = −a sint dt , оконча-

тельно сформируем определённый интеграл для вычисления площади, ограниченной эллипсом:

Итак, площадь эллипса Sell =πab кв.ед.. Заметим, что, положив здесь a =b =r , получим известное нам выражение для площади круга S =πr 2 .

Допустим теперь, что нам необходимо вычислить площадь, ограниченную кривой, заданной уравнением в полярных координатах. Точнее, вычислим площадь фигуры, ограниченной лучами ϕ =α,ϕ = β , а также кривой