Математический анализ II Учебное Пособие

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

B (p ,1) = ∫x

, тогда будет

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

7.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

В частности

+∞∫ e −αx sinm x dx		= arctg m .
0	x	α

Положим здесь α = 0, m =1, тогда получим часто встречающийся интеграл Дирихле

+∞∫	sinx dx =	π .
0	x	2

§8. Гамма функция

(Интеграл Эйлера 2го рода)

1. Определение гамма-функции.

Неэлементарная трансцендентная функция, определяемая для положительных x равенством

Γ(x ) = +∞∫e −t t x −1dt	(1)
0

называется гамма-функцией или интегралом Эйлера 2-го рода. Эта функ-

ция относится к числу так называемых специальных функций, с помощью которых выражаются решения многих задач математической физики, статистки и пр.. Γ(x ) имеет две особые точки t = 0 и t = +∞ . Представим инте-

грал (1) в виде суммы двух интегралов

Γ(x ) = ∫1 t x −1e −tdt + +∞∫t x −1e −tdt

0 1

Оба интеграла сходятся равномерно по параметру x на любом конечном

отрезке	[a ,b] ]0, +∞[ . Действительно,			пусть	0 <a <1 и	b >1. Тогда
0 ≤t x −1e −t	≤t α−1	при 0 ≤t	≤1 и ∫1 e α−1dt =α−1 ,		и, следовательно интеграл
			0
∫1 t x −1e −tdt	сходится равномерно на [a ,b].
0
Аналогично		0 ≤t x −1e −t	≤t b −1e −t при	t ≥1,	+∞∫t b −1e −tdt	сходится, а
					1

+∞∫t x −1e −tdt сходится равномерно на [a ,b].

Кроме того, оба интеграла непрерывны по параметру x на произвольном отрезке [a ,b] ]0, +∞[ , а поэтому функция Γ(x ) непрерывна x > 0 .

Значит при x > 0 функция Γ(x ) непрерывно дифференцируема, причём

Γ′(x ) = ∫1 t x −1e −t lntdt + +∞∫t x −1e −t lntdt = +∞∫t x −1e −t lntdt

0 1 0

Применяя метод математической индукции можно доказать, что Γ(x )

имеет производную nго проядка при x > 0 , причём

Γ(n ) (x ) = +∞∫t x −1e −t (lnt )n dt ,

в частности

Γ′′(x ) = +∞∫t x −1e −t (lnt )2dt .

Замечание. Сделаем подстановку t =u 2 в интеграле (1), тогда получим

Γ(x ) = +∞∫e −t t x −1dt = 2+∞∫e −u 2u 2x −1du .

Заменяя здесь переменную интегрирования u на t , получим выражение для гамма-функции в виде

Γ(x ) = 2+∞∫e −t 2t 2x −1dt .

2.Свойства гамма-функции

1.Γ(x +1) =x Γ(x )

Попробуем взять по частям интеграл, представляющий Γ(x +1)

+∞

u =t x

du =x t x −1dt

+∞

Γ(x +1) = ∫e

−t

dt =

= −e

−t

+x ∫e

−t

x −1

dv =e −tdt v = −e −t

=x +∞∫e −t t x −1dt =x Γ(x )

т.е. Γ(x +1) =x Γ(x ) .

Получили формулу приведения для гамма-функции.

2. Γ(n +1) =n !

Вычислим значения Γ(1), Γ(2), Γ(3),... Имеем

+∞	+∞
Γ(1) = ∫e −tdt = −e −t		=1, т.е. Γ(1) =1.

	0
0

Γ(2) = Γ(1 +1) =1Γ(1), Γ(3) = Γ(2 +1) = 2Γ(2),

Γ(4) = 3Γ(3) = 3 2 Γ(2) = 3 2 1 Γ(1) = 3! , т.е.

Γ(n +1) =n !

В частности Γ(1) = Γ(0 +1) = 0! => Γ(1) = 0!, следовательно 0! =1. 3. В соответствии с формулой приведения для гамма-функции имеем

Γ(x ) = (x −1)Γ(x −1) = (x −1)(x − 2)Γ(x − 2) = (x −1)(x − 2)...(x −k )Γ(x −k )

Т.к. функция Γ(x ) определена для любого положительного x , то с помощью гамма-функции Γ(x ) можно распространить понятие факториала на

любое положительное число r функций

(r −1)! = Γ(r ) .

4. Если x =n + p , где 0 < p <1, то будет

Γ(n + p ) = (n + p −1) (n + p − 2) pΓ(p ) ,

т.е. вычисление гамма-функции от любого аргумента можно свести к вычислению её от аргумента, заключённого между 0 и 1.

3. Исследование гамма-функции.

Ранее мы установили, что гамма-функция Γ(x ) непрерывна и дифференцируема сколько угодно раз для x > 0 , кроме того Γ(1) = Γ(2) , следователь-

но в силу теоремы Ролля

c ]1, 2[ такая, что Γ′(c ) = 0 .

можно показать, что c =1.4616 и в этой точке гамма-функция имеет минимум, причём Γmin = 0.8856 . Учитывая, что Γ(x ) = Γ(xx+1) , нетрудно заме-

тить, что lim Γ(x ) = +∞.

x →+0

Принимая во внимание проведённое исследование, нетрудно нарисовать график гамма-функции для x > 0 (рис 1).

0,88561

1 1, 46 2

4 x

рис 1

Пользуясь формулами приведения, гамма-функцию доопределяют и для отрицательных x . Окончательно график Γ(x ) имеет вид (рис 1).

Γ(x )

−5

−4 −3

−2

−1

−2

−3

−4

−5

рис 2

Как и многие специальные функции, гамма-функция табулирована. Ввиду того, что значения гамма-функция для x <1 и для x > 2 могут быть вы-


числены с помощью формул Γ(x ) =				Γ(x +1)		, Γ(x ) = (x −1)Γ(x −1) , в таблице
числены с помощью формул Γ(x ) =						, Γ(x ) = (x −1)Γ(x −1) , в таблице
					x
приводятся значения Γ(x ) для x [1, 2]. (рис 2).
			Гамма-функция

x	Γ(x )	x	Γ(x )		x		Γ(x )	x	Γ(x )
1,00	1,00000	1,25	0,90640		1,50		0,88623	1,75	0,91906
01	0,99433	26	0,90440		51		0,88659	76	0,92137
02	0,98884	27	0,90250		52		0,88704	77	0,92376
03	0,98355	28	0,90072		53		0,88757	78	0,92623
04	0,97844	29	0,89904		54		0,88818	79	0,92877
1,05	0,97350	1,30	0,89747		1,55		0,88887	1,80	0,93138
06	0,96874	31	0,89600		56		0,88964	81	0,93408
07	0,96415	32	0,89464		57		0,89049	82	0,93685
08	0,95973	33	0,89338		58		0,89142	83	0,93969
09	0,95546	34	0,89222		59		0,89243	84	0,94261
1,10	0,95135	1,35	0,89115		1,60		0,89352	1,85	0,94561
11	0,94740	36	0,89018		61		0,89468	86	0,94869
12	0,94359	37	0,88931		62		0,89592	87	0,95184
13	0,93993	38	0,88854		63		0,89724	88	0,95507
14	0,93642	39	0,88785		64		0,89864	89	0,95838
1,15	0,93304	1,40	0,88726		1,65		0,90012	1,90	0,96177
16	0,92980	41	0,88676		66		0,90167	91	0,96523
17	0,92670	42	0,88636		67		0,90330	92	0,96877
18	0,92373	43	0,88604		68		0,90500	93	0,97240
19	0,92089	44	0,88581		69		0,90678	94	0,97610
1,20	0,91817	1,45	0,88566		1,70		0,90864	1,95	0,97988
21	0,91558	46	0,88560		71		0,91057	96	0,98374
22	0,91311	47	0,88563		72		0,91258	97	0,98768
23	0,91075	48	0,88575		73		0,91467	98	0,99171
24	0,90852	49	0,88595		74		0,91683	99	0,99581
1,25	0,90640	1,50	0,88623		1,75		0,91906	2,00	1,00000

Пример. Вычислить интеграл I = +∞∫	dt
Пример. Вычислить интеграл I = +∞∫	t e	t
0	t e

Решение. Запишем данный интеграл так:

		+∞	dt		+∞					1		+∞	1
		I = ∫	dt		= ∫e −t t −					2dt = ∫e −t t 2				−1dt
		I = ∫	t e	t	= ∫e −t t −					2dt = ∫e −t t 2				−1dt
	0		t e		0						0
Нетрудно видеть, что данный интеграл										I = Γ 1			.
В силу формул приведения												2
В силу формул приведения										3
									Γ	3
					1				Γ
					1					2		.
					Γ	2		=		2
					Γ			=
										1
					3					2					1
					3	=	0.88623								1	≈1.73 .
Находим в таблице значение Γ						=	0.88623				, следовательно Γ				2	≈1.73 .
					2										2
Ответ: +∞∫	dt	≈1.73
Ответ: +∞∫	t	≈1.73
0	t e

§9. Бета-функция

(интеграл Эйлера первого рода)

1. Определение бета-функции

Бета-функцией или интегралом Эйлера первого рода называется интеграл вида

B (p ,q ) = ∫1 x p −1(1 −x )q −1dx	(p ,q > 0)	(1)
0

Для p <1 и q <1 интеграл является несобственным как на верхнем, так и на нижнем пределах интегрирования. Можно доказать однако, что эти интегралы сходятся.

2.Свойства бета-функции

1.B (p ,q ) =B (q ,p ) (симметрия)

Действительно, сделаем замену переменных в интеграле

B (p ,q ) = ∫1 x p −1(1 −x )q −1dx , положив 1 −x =t , dx = −dt .

Получим

B (p ,q ) = −∫0 (1 −t )p −1t q −1dt = ∫0 t q −1(1 −t )p −1dt =B (q ,p ) ,

1			1
т.е. B (p ,q ) =B (q ,p ) .
2. Докажем, что для бета-функции справедливы формулы приведения
B (p ,q ) =		(q −1)B (p ,q −1)

		p	+q −1
		p	+q −1		(2)
	(p −1)B (p −			1,q )	(2)
B (p ,q ) =	(p −1)B (p −			1,q )
B (p ,q ) =
		p +q −1
		p +q −1

Для доказательства решим интеграл (1) по частям:

B (p ,q ) = ∫1 x p −1 (1 − x )q −1d x = u =t x				du =x t x −1dt =
0			dv =e −tdt v = −e −t
= (1 − x )q −1 1 x p		0 + q −1	1
= (1 − x )q −1 1 x p		0 + q −1	∫x p (1 − x )q −2 d x
		1
		p
	p		0
	p		0

Преобразуем подынтегральное выражение во втором интеграле так: x p (1 −x )q −2 =x p −1(1 −x )q −2[1 −(1 −x )] =

=x p −1(1 −x )q −2 −x p −1(1 −x )q −1

таким образом выражение для B (p ,q ) :

B (p ,q ) =	q −1	1	p −1	q −2	1	p −1	q −1		=
B (p ,q ) =	p	∫x		(1 −x )	dx − ∫x		(1 −x )	dx	=
	p	0			0

= q p−1[B (p ,q −1) −B (p ,q )].

Откуда следует:

pB(p,q) =(q −1)B(p,q −1) −(q −1)B(p,q) =>(p +q −1)B(p,q) =(q −1)B(p,q −1) =>

B(p,q) =(q −1)B(p,q −1) . p +q −1

В силу симметрии бета-функции имеем аналогичную формулу приведения:

B (p ,q ) = (p −1)B (p −1,q ) . p +q −1

Формулы приведения позволяют свести вычисление бета-функции от аргументов больших единицы, к вычислению её от аргументов, меньших единицы.

3. Между гамма-функцией и бета-функцией имеет место соотшение

B (p ,q ) = Γ(p )Γ(q ) .

Γ(p +q )

В формуле приведения (2) положим q =n , n , тогда будет

B (p ,n ) =	n −1	B (p ,n −1) =	(n −1)(n − 2)...1	B (p ,1)
	p +n −1		(p +n −1)(p +n − 2)...(p +1)

Вычислим

B (p ,n ) =

Если p =m , то тогда

B (m

(n −1)(n − 2)...1

(p +1)(p + 2)...(p +n −1)

,n ) = (n −1)!(m −1)! . (m +n −1)!

Напомним, что для рассмотренной выше гамма-функции мы получили такие соотношения

Γ(n ) = (n −1)!, Γ(m ) = (m −1)!, Γ(m +n ) = (m +n −1)!

Следовательно имеем:

B (m ,n ) = Γ(m )Γ(n ) .

Γ(m +n )

Обобщим эту формулу на произвольные значения аргументов (p ,q > 0) :

B (p ,q ) = Γ(p )Γ(q ) .

Γ(p +q )

4. Интеграл Пуассона

Пример 1. Вычислить

Решение.

1		;	1	=	1	1	−1	1	−1
B	2	;	2	=	∫0	x 2		(1 −x )2	dx
	2		2		∫0

	1	;	1
B	2	;	2	.
	2		2
= ∫1			dx		= ∫1	dx		= ∫1		dx				=
= ∫1		x (1 −x )			= ∫1	x −x	2	= ∫1	1			1	2	=
0		x (1 −x )			0	x −x		0	1		−	1
									4	− x	−	2
									4			2

= 2∫1

u = 2x −1,

= ∫1

= arcsinu

1−1 = arcsin1 −arcsin(−1) =π

du = 2xdx

1 −(2x −1)

−1 1 −u

Итак B 1 ; 1 =π2 2

С другой стороны					1				1
					1				1
1		1		Γ		Γ			2			1
1		1			2				2		2	1
B	;		=							= Γ			=π ,
B	;		=		1			1		= Γ			=π ,
2 2				Γ	1	+		1				2
2 2				Γ		+						2
откуда следует					2			2
откуда следует					1
				Γ	1		=		π .
				Γ			=		π .
					2

Рекомендуем сравнить с результатами примера, рассмотренного на стр 48.

Пример 2. Рассмотрим интеграл I = +∞∫e −x 2dx .

Сделаем замену переменной:			x = t , dx =			1			. Тогда наш интеграл I
Сделаем замену переменной:			x = t , dx =			2			. Тогда наш интеграл I
так выражается через гамма-функцию:						2		t
так выражается через гамма-функцию:
										1
+∞	1	+∞	1	1	+∞	1				Γ		π
I = ∫e −x 2dx =	1	∫e −tt	−2dt =	1	∫e −t t 2		−1dt =			2	=	π	.
I = ∫e −x 2dx =	2	∫e −tt	−2dt =	2	∫e −t t 2		−1dt =			2	=	2	.
0	2	0		2	0					2		2

Мы получили часто встречающийся в теории вероятностей интеграл, который называется интегралом Пуассона:

+∞∫e −x 2dx =	π	(интеграл Пуассона).
	2
0

ГЛАВА 3. ДВОЙНОЙ И ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛЫ

§1. Двойной интеграл

Прежде чем дать определение двойного интеграла, сделаем несколько предварительных замечаний и определений.

Определение 1. Кривая K называется простой кривой, если она распадается на конечное число частей, каждая из которых имеет уравнение вида y = f (x ) или x =ϕ(y ) , при чём функции f (x ) и ϕ(y )

непрерывны на некотором промежутке [a ,b] или соответственно [p ,q ] .

В том случае, если кривая K - простая, замкнутая, самонепересекающаяся кривая, лежащая в плоскости xO y , то множество всех точек плоскости разбивается единственным образом на два связных множества. Мы будем в дальнейшем рассматривать области, ограниченные кривой K . Точки, лежащие на контуре K , мы будем считать принадлежащими области D , которую ограничивает этот контур, т.е. будем рассматривать замкнутую об-

ласть D , ограниченную простым самонепересекающимся контуром K . Мы будем рассматривать в дальнейшем простые области, понимая под

этим области, ограниченные простыми кривыми и такие, что любая прямая, параллельная координатным осям, пересекает границу области не более, чем в двух точках (рис. 1).

y	D		y		D 2
					D 2
				D1
				D1	D3
0	x	0			D3	x
0	x	0				x
	рис 1				рис 2
y		y
	D	N		D
				D

0 M	x	0				R
	рис 3				рис 4	x
	рис 3				рис 4

Естественно, что к числу таких областей мы будем относить и области, которые можно разбить на конечное число областей указанного выше типа (рис. 2). Рассмотрим простую область D (рис. 3), ограниченную кривой K , и обозначим через r (M ,N ) - множество расстояний между точками M и

N , лежащими на кривой K . Наибольшее из расстояний между точками M

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 146 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.03.20162.39 Mб38Математика типовик 3 модуль.pdf
#
23.04.2019514.79 Кб16математика ч.2.docx
#
20.03.20162.47 Mб24Математика, Типовик 1 семестр 2 модуль.doc
#
14.07.2019246.56 Кб3Математика. Экзамен 2 курс 1 семестр.rtf
#
14.04.20152.46 Mб99Математический анализ II Курс Лекций.pdf
#
14.04.20157.4 Mб87Математический анализ II Учебное Пособие.pdf
#
21.03.2016133.76 Кб36Математический язык.docx
#
25.11.2019854.35 Кб26Материалы лекций_ЭКиТ_текущие_В.Скобелев_1.docx
#
21.03.2016596.2 Кб7Материалы тест №2.pdf
#
20.03.201619.35 Кб32матрица переходных вероятностей.docx
#
21.03.201638.28 Кб22менедж_реф.docx