28. Закон больших чисел. Неравенство Маркова
В широком понимании закон больших чисел состоит в прогнозировании значения многомерной СВ при сравнительно широких условиях. При этом суммарное поведение достаточно большого числа СВ становится практически неслучайным.
Для практики важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие многих СВ приводит к результату, практически независимому от случая.
В узком понимании, закон больших чисел – это ряд теорем, в каждой из которых, при определенных условиях устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым постоянным величинам.
Теорема: Если СВ Х принимает только неотрицательные значения, имеет математическое ожидание М(х), то для любого числа А>0 выполняется неравенство:
P(X→A)
для
СВ Х запишем нерав.Чебышева во 2 форме,
т.е.
переходя
к 
получаем:
,
т.к.
,
то
ч.т.д.
Вторая
форма записи неравенства Маркова.
Рассмотрим
вероятность того, что P(X
A)=1-
P(X>A);
P(X>A)=1-
P(X
A);
1-
P(X
A)
;
P(X
A)
29.Закон больших чисел. Неравенство Чебышева
В широком понимании закон больших чисел состоит в прогнозировании значения многомерной СВ при сравнительно широких условиях. При этом суммарное поведение достаточно большого числа СВ становится практически неслучайным.
Для практики важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие многих СВ приводит к результату, практически независимому от случая.
В узком понимании, закон больших чисел – это ряд теорем, в каждой из которых, при определенных условиях устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым постоянным величинам.
Для любой СВ Х, имеющей математическое ожидание М(х) и дисперсию Д(х) справедливо неравенство Чебышева.
P(|X-
Мх|>E)
Вторая форма записи.
P(|X-
Мх|
E)
Следствие из неравенства Чебышева.
Для сл.в.Х с биномиальным ЗР неравенство Чебышева имеет вид:
Док-во: Х-биномиальный ЗР, M(X)=np, D(X)=npq
Для СВ с нормированным биномиальным ЗР имеет место:
;
M(X)=p,
D(X)=pq/n
30.Закон больших чисел. Теорема Чебышева.
В широком понимании закон больших чисел состоит в прогнозировании значения многомерной СВ при сравнительно широких условиях. При этом суммарное поведение достаточно большого числа СВ становится практически неслучайным.
Для практики важно знание условий, при выполнении которых совокупное действие многих СВ приводит к результату, практически независимому от случая.
В узком понимании, закон больших чисел – это ряд теорем, в каждой из которых, при определенных условиях устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа испытаний к некоторым постоянным величинам.
Теорема Чебышева. Если дисперсия n независимых сл.в. Х1,Х2,…,Хn ограничены одной и той же постоянной С, то есть D(Xi)≤C, i=1,n, то при n стремящемся к бесконечности среднее арифметическое сл..в. сходится ПО ВЕРОЯТНОСТИ к средней ариф.их мат.ожиданий, то есть
«Сходимость по вероятности» означает, что даже при достаточно большом числе сл.в. невозможно гарантировать равенство средней арифместической этих сл.в. и сред.ариф.их мат.ожиданий, хотя существует тенденция их сходимости с ростом числа сл.в.
Следствие. Если независимые СВ x1,x2,…,xn имеют равные мат.ожидания, то при ограниченности их дисперсий одной и той же постоянной С сред.арифметическое исходных СВ сходится ПО ВЕРОЯТНОСТИ к к мат.ожиданию каждой СВ.
Док-во:
