50. Статистическая проверка гипотез: сравнение математических ожиданий двух генеральных совокупностей при известных σх2 и σу2

Сравнивая средние показатели для различных серий экспериментов проверяется основная гипотеза Н₀: М(х) = М(у)

Н₁: М(х) ≠ М(у)

М(х) > М(у)

М(х) < М(у)

Существует 2 схемы проверки таких гипотез:

1. Х и у отобраны из нормально распред. генер.совокупностей с известными значениями дисперсий

σ_х² и σ_у² –известны

2. Выбор. Данные отображаются их нормально распределенных генер.совокупностей, значений дисперсий, которые не известны,но известно что они равны.

σ_х² = σ_у²

в 1 случае стат. критерии распр.по закону Гаусса.

m и n – объемы выборок

х и у – выб.средние

П

То не отвергается, в противном случае она отвергается в пользу конкурирующей.

ри заданном σ и в зависимости от вида конкур.гипотезы определяются границы крит.области по таблице функции Лапласса.

Двуст. 1) t_кр.=t_α Если |T_набл.|≤ t_кр

Одност.2) t_кр.=t_2α |T_набл.|< t_кр

3) t_кр.=- t_2α |T_набл.|> t_кр

В

Стьюдент

k=n+m-2

о 2 случае

. 1) t_кр.=t_α |T_набл.|≤ t_кр

.2) t_кр.=t_2α |T_набл.| ≤ t_кр не отвечают

3) t_кр.=- t_2α |T_набл.|≥t_кр

51. Статистическая проверка гипотез: сравнение математических ожиданий двух генеральных совокупностей при неизвестных .

Дана выборка () предположительно отобран из теории распределения генеральных совокупностей, параметры которого нам неизвестны:

СВ Т имеет ЗР Стъюдента с (n-1) степенями свободы. Число степеней свободы определяется как обязательное число наблюдений признака x минус число уравнений, связывающих эти наблюдения.

При заданной надежности Ɣ и числу степени (n-1) определяется критическим значением распределения Гаусса. Из этого следует:

При n≥30 распределения Стъюдента практически совпадает с распределением Гаусса и доверительный интервал неизвестн. мат. ожиданием определяется по формуле:

;

52. Статистическая проверка гипотез: исключение грубых ошибок наблюдений.

Трудность обнаружения грубых ошибок обусловлена следующим обстоятельством. Если число измерений n мало, то доверительный интервал широк, и даже значительные отклонения от среднего  в него укладываются. Если же n велико, то возрастает вероятность того, что хотя бы одно измерение сильно отклонится от среднего на «законных основаниях», т. е. случайно. 

Методы исключения грубых погрешностей измерений для малых выборок изложены в материалах лекционного курса. Для больших выборок на практике используется следующий метод проверки однородности наблюдений. 

Пусть произведено n независимых измерений и вычислены значения эмпирического среднего   и стандарта s. Сомнительный элемент выборки, резко отличающийся от других, будем обозначать через . Это «крайний» элемент выборки, т. е.  или  . 

В основе рассматриваемого метода лежит тот факт, что критические значения максимального относительного отклонения  (1) выражаются через квантили распределения Стьюдента с n-2 степенями свободы:  (2)

На практике обычно вычисляются два значения  при  и :  .

Этими значениями вся область изменения r разбивается на три интервала: 1) ; 2) ; 3) . Наблюдения, попавшие в первый интервал, не рекомендуется отбрасывать ни в коем случае. Наблюдения, попавшие во второй интервал можно исключить, если имеются какие-либо дополнительные соображения в пользу их ошибочности. Наконец, наблюдения, попавшие в третий интервал, всегда отбрасываются как грубо ошибочные.